1、第1课时变化率问题、导数的概念核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P101P104的内容，回答下列问题某厂家计划用一种材料生产一种盛500 ml溶液的圆柱形易拉罐(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？提示：计算出圆柱的表面积即可(2)如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S2x2(x0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可2归纳总结，核心必记(1)优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题(2)解决优化问题的基本思路问题思考在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点
2、，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值课前反思(1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题？；(2)解决优化问题的基本思路是什么？讲一讲1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度)(1)将S表示为的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积尝试解答(1)BMAOsin 100
3、sin ，ABMOAOcos 100100cos ，(0，)则SMBAB100sin (100100cos )5 000(sin sin cos )，(0，)(2)S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)令S0，得cos 或cos 1(舍去)，此时.当变化时，S，S的变化情况如下表：所以，当时，S取得最大值Smax3 750 m2，此时AB150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值(2)立体几何中的最值问题
4、往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程练一练1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)
5、最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0得x0(舍)或x20.当x(0，20)时，V0；当x(20，30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.讲一讲2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的
6、能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值尝试解答(1)由题设，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0，当5
7、0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.所以，当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值练一练2一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大的速度航行时，能使每千米的费用总和最少？解：设燃料费ykv3，因为当v10时，y6，k，yv3.每
8、千米总费用：Sv2，Sv.令S0得v20，当v(0，20)时，S0.v20 km/h 是S的极小值点，也是最小值点，v20 km/h 时，每千米的费用总和最少知识点3 利润最大问题讲一讲3某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p(xN*)(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？尝试解答(1)因为次品率p，所以当每天生产x件时，有x件次品，有x件正品所以T200x100x25(xN*)(2)T25，由T0，得x16或x3
9、2(舍去)当0x0；当x16时，T0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为.2用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 cm B8 cm C10 cm D12 cm解析：选B设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积V cm3.由题意，得Vx(482x)2(0x0；当x(8，24)时，V0.当x8时，V取得最大值题组2成本最低(费用最省)问题3做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A6 m B8 m C4 m D
10、2 m解析： 选C设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h.所用材料的面积设为S m2，则有S4xhx24xx2x2.S2x，令S0，得x8，因此h4(m)4某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n，总运费与总存储费之和f(x)4nx2x2，令f(x)x0，解得x20.且当0x20时f(x)20时f(x)0，故x20时，f(x)最小答案：205甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米/时，已知该汽车每
11、小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数是Pv4v315v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值解：(1)QP400v26 000(0v100)(2)Q5v，令Q0，则v0(舍去)或v80，当0v80时，Q0；当800，v80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且QminQ(80)(元)题组3利润最大问题6已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件 C9万件 D7万件
12、解析：选C因为yx281，所以当(9，)时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x9时函数取最大值7某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30 元 B60 元C28 000 元 D23 000 元解析：选D设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30
13、或p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0，0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为_解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x(0，0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，由于y0.096kx3kx2，令y0得x0.032或x0(舍去)，又当0x0；当0.032x0.048时，y0；x时，L(x)0，所以当x时，L(x)在8，11上取到极大值，也是最大值，
14、L(万元)故当每件售价为元时，公司一年的利润L最大，最大利润是万元能力提升综合练1将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A2和6 B4和4C3和5 D以上都不对解析：选B设一个数为x，则另一个数为8x，则其立方和yx3(8x)383192x24x2(0x8)，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40.所以当x4时，y最小2设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A. B. C. D2解析：选C设底面边长为x，高为h，x2hV，h.S表2x23xhx2，S(x)x，令S(x)0可得x，x34V，x.当0x时
15、，S(x)时，S(x)0，当x时，S(x)最小3某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A32 m，16 m B30 m，15 mC40 m，20 m D36 m，18 m解析：选A设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m，其他两边边长为y m，则xy512，堆料场的周长lx2y2y(y0)，令l20，解得y16(另一负根舍去)，当0y16时，l16时，l0，所以当y16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x32.4某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元
16、，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x(0x390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A150 B200 C250 D300解析：选D由题意可得总利润P(x)300x20 000，0x390，由P(x)3000，得x300.当0x0；当300x390时，P(x)0，所以当x300时，P(x)最大5要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为_cm.解析：设高为h，则底面半径r，0h20，Vr2h(400h2)hhh3.由Vh20得h2，h或h(舍去)，因为当0h0，当h时，V0，f(x)是递增的，x时，f(x)0，f(x)是递减的，当x时
17、，f(x)取最大值.答案：7某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4x12)之间满足关系：P 0.1x23.2 ln x3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元(利润盈利亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？解：(1)由题意得，所获得的利润为y102(xP)P20x3x296ln x90(4x12)(2)由(1)知，
18、y.当4x6时，y0，函数在4，6)上为增函数；当6x12时，y0，函数在(6，12上为减函数，所以当x6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y20636296ln 69096ln 678(万元)故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 678)万元8某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千
19、米，以l1，l2所在的直线分别为y，x轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解：(1)由题意知，M点的坐标为(5，40)，N点的坐标为(20，2.5)，代入曲线C的方程y，可得解得(2)由(1)知曲线C的方程为y(5x20)，y，所以yxt即为l的斜率又当xt时，y，所以P点的坐标为，所以l的方程为y(xt)令x0，得y；令y0，得xt.所以f(t)，其中5t20.由知f(t)，其中5t20.
20、令g(t)t2，所以g(t)t.因为5t20，令g(t)0，得100，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0.设x1，x2(x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a1，即a2时，函数f(x
21、)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数，在(a1，)上为增函数依题意当x(1，4)时，f(x)0.故4a16，即5a7.因此a的取值范围是5，7对点训练2求函数f(x)a2ln xx2ax(a0)的单调区间解：因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以f(x)2xa.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)3已知函数f(x)xb(x0)，其中a，bR，若曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线方程为y3x1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)f(x)1，由导数的几何意义得f(1)3，于是a4，由切点P(1，f(1)在直线
22、y3x1上得1ab2，解得b7.所以函数f(x)的解析式为f(x)x7(x0)(2)f(x)1(x0)，由f(x)0得x2或x2；由f(x)0得2x2且x0，f(x)的单调递增区间为(，2)和(2，)，递减区间为(2，0)和(0，2).1.极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质另函数有极值未必有最值，反之亦然2判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：(1)确定函数f(x)的定义域(2)解方程f(x)0的根(3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号：若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值即导数的零点未
23、必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意3求函数f(x)在闭区间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值典例4已知函数f(x)x3ax23x，且x3是f(x)的极值点(1)求实数a的值；(2)求f(x)在x1，5上的最小值和最大值解：(1)f(x)3x22ax3.f(3)0，即276a30，a5.(2)f(x)x35x23x.令f(x)3x210x30，解得x3或x(舍去)当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：因此，当x3时，f(x)在
24、区间1，5上有小值为f(3)9；当x5时，f(x)在区间1，5上是最大值是f(5)15.典例5已知函数f(x)x2axln x，aR.(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；(3)令g(x)f(x)x2，是否存在实数a，当x(0，e(e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解：(1)当a0时，曲线f(x)x2ln x，所以f(x)2xf(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为xy0.(2)因为函数在1，2上是减函数，所以f(x)2xa
25、0在1，2上恒成立，令h(x)2x2ax1，有得得a.即实数a的取值范围为.(3)假设存在实数a，使g(x)axln x(x(0，e)有最小值3，g(x)a.当a0时，g(x)0，所以g(x)在(0，e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，a(舍去)当e时，g(x)0在(0，e上恒成立，所以g(x)在(0，e上单调递减g(x)ming(e)ae13，a(舍去)当0e时，令g(x)00x0，知ax22ax10在R上恒成立因此4a24a4a(a1)0，又由a0，得0g(x)，则构造函数(x)f(x)g(x)，只需证(x)0即可，由此转化成求(x)最小值问题，借助于导数解决典例6证明x3x2x
26、1sin x(x0，xR)证明：令f(x)x3x2x1，则f(x)3x22x1.该导函数对应的一元二次方程的判别式4120恒成立，所以f(x)在R上是递增的因为x0，所以f(x)f(0)1.而sin x1，所以x3x2x1sin x成立对点训练6证明不等式ln x，其中x1.证明：设f(x)ln x(x1)，则f(x).x1，f(x)0，即f(x)在(1，)内为单调递增函数又f(1)0，当x1时，f(x)f(1)0，即ln x0，ln x.解决恒成立问题的方法：(1)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立，则转化为f(x)maxm.(2)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立，则转化为
27、f(x)minm.(3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具典例7已知函数f(x)xln x.(1)若函数g(x)f(x)ax在区间e2，)上为增函数，求a的取值范围；(2)若对任意x(0，)，f(x)恒成立，求实数m的最大值解：(1)由题意得g(x)f(x)aln xa1.函数g(x)在区间e2，)上为增函数，当xe2，)时，g(x)0，即ln xa10在e2，)上恒成立a1ln x.又当xe2，)时，ln x2，)1ln x(，3，a3，即a的取值范围为3，)(2)由题知，2f(x)x2mx3，即mx2xln xx23.又x0，m.令h(x)，h(x)，令h(x)0.解得x
28、1，或x3(舍)当x(0，1)时，h(x)0，函数h(x)在(1，)上单调递增h(x)minh(1)4，即m的最大值为4.对点训练7已知函数f(x)x3x2bxc.(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；(2)若f(x)在x1处取得极值，当x1，2时，则f(x)0得112b0，解得b.即b的取值范围为.(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)0，31b0，得b2.令f(x)0，得x或x1，fc，f(1)c.又f(1)c，f(2)2c.f(x)maxf(2)2c，由f(x)c2在x1，2上恒成立，得2c0.解得c2或c0，当x时，f(x)0，因此x1，x2分别为f(x)的极大值点、极小值点(2)
29、由(1)的分析可知yf(x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线ya与yf(x)的图象有3个不同交点需54f()a1，所以kx2x5在(1，)上恒成立，令g(x)x2x5，由二次函数的性质得g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)3，所以所求k的取值范围是为(，3法二：直线yk(x1)过定点(1，0)且f(1)0，曲线f(x)在点(1，0)处切线斜率f(1)3，由(2)中草图知要使x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立需k3.故实数k的取值范围为(，3对点训练8设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明若f(x)有零点，则f(x)在区间(1，)上仅有
30、一个零点解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)x.因为k0，所以令f(x)0得x，列表如下：减区间为(0，)，增区间为(，)当x时，取得极小值f().(2)当1，即00，所以f(x)在区间(1，)上没有零点当1，即1k0，f0，f0，此时函数没有零点当，即ke时，f(x)在上单调递减，f(1)0，f()0，函数为增函数；当y时，S0，函数为减函数当y时，S有最大值这时|PQ|2y2，|PN|4y24.游乐园的最大面积为Smax(km2)对点训练9某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两端桥墩相距m米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的
31、相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解：(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256(0xm)(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0，64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64，640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值，此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最
32、小时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知f(x)，则f(e)()A. B. C D解析：选Df(x)，f(e).2若函数f(x)x3f(1)x2x，则f(1)的值为()A0 B2 C1 D1解析：选Af(x)x3f(1)x2x，f(x)x22f(1)x1，f(1)12f(1)1，f(1)0.3曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选Ay，ky|x12，切线方程为：y12(x1)，即y2x1.4已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)
33、且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0，g(x)0Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0Df(x)0，g(x)0时单调递增，所以x0; g(x)为偶函数且x0时单调递增，所以x0时单调递减，g(x)0，f(x)ln x12ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正根，即函数yln x1与y2ax的图象有两个不同的交点(x0)，则a0.设函数yln x1上任一点(x0，1ln x0)处的切线为l，则kly，当l过坐标原点时，x01，令2a1a，结合图象知0a.8方程2x36x270在(0，2)内根的个数为()A0 B1 C2 D3解析：选B设f(x)2x36x27，则f(x)
34、6x212x6x(x2)x(0，2)，f(x)f(x)，则当ab时，下列不等式成立的是()Aeaf(a)ebf(b) Bebf(a)eaf(b)Cebf(b)eaf(a) Deaf(b)ebf(a)解析：选Db，ebf(a)11设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0，1) B(1，0)(1，)C(，1)(1，0) D(0，1)(1，)解析：选A当x0时，令F(x)，则F(x)0时，F(x)为减函数f(x)为奇函数，且由f(1)0，得f(1)0，故F(1)0.在区间(0，1)上，F(x)0；在(1，)上，F
35、(x)0.即当0x0；当x1时，f(x)0；当x(1，0)时，f(x)0的解集为(，1)(0，1)12若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列结论中一定错误的是()AfCf解析：选C构造函数F(x)f(x)kx，则F(x)f(x)k0，函数F(x)在R上为单调递增函数0，FF(0)F(0)f(0)1，f1，即f1，f，故C错误二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y2ax及导数的几何意义得y
36、|x12a10，解得a.答案：14函数yxex在其极值点处的切线方程为_解析：由题知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故切线方程为y.答案：y15已知a0，函数f(x)ax3ln x，且f(1)的最小值是12，则实数a的值为_解析：f(x)3ax2，则f(1)3a.a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx，求a，b的值解：(1)法一：由题设和均值不等式可知，f(x)axb2b，当且仅当ax1等号成立，即当x时，f(x)取最小值为2b.法二：f(x)的导数f(x)a，当x时，f(
37、x)0，f(x)在上单调递增；当0x时，f(x)0，即(x22)ex0，注意到ex0，所以x220，解得x0，因此x2(a2)xa0在(1，1)上恒成立，也就是ax1在(1，1)上恒成立设yx1，则y10，即yx1在(1，1)上单调递增，则y0时，f(x)2aaln.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x.当a0时，f(x)0，f(x)没有零点；当a0时，设u(x)e2x，v(x)，因为u(x)e2x在(0，)上单调递增，v(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)，可设f
38、(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故当a0时，f(x)2aaln.20已知函数f(x).(1)判断函数f(x)的单调性；(2)若yxf(x)的图象总在直线ya的上方，求实数a的取值范围解：(1)f(x).当0x0，f(x)为增函数；当xe时，f(x)0，f(x)为减函数(2)依题意得，不等式a0恒成立令g(x)ln x，则g(x).当x(1，)时，g(x)0，则g(x)是(1，)上的增函数；
39、当x(0，1)时，g(x)0，则g(x)是(0，1)上的减函数所以g(x)的最小值是g(1)1，从而a的取值范围是(，1)21已知函数f(x)ln x.(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；(2)设g(x)ln xa，若g(x)0)，当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上是增函数，f(x)不存在最小值；当a0时，由f(x)0得xa，且0xa，时f(x)a时，f(x)0.xa时，f(x)取得最小值，f(a)ln(a)12，解得ae.(2)g(x)x2即ln xaln xx2，故g(x)ln xx2在(0，e上恒成立设h(x)ln xx2，则h(x)2x，由h(x)0及0xe得x.
40、当0x0，当xe时，h(x)0，即h(x)在上为增函数，在上为减函数，所以当x时h(x)取得最大值为hln .所以g(x)0(0xg(0)0，x(0，1)，即当x(0，1)时，f(x)2.(3)由(2)知，当k2时，f(x)k对x(0，1)恒成立当k2时，令h(x)f(x)k，则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x 时，h(x)0，因此h(x)在区间上单调递减故当0x 时，h(x)h(0)0，即f(x)2时，f(x)k并非对x(0，1)恒成立综上可知，k的最大值为2.模块综合检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一
41、项是符合题目要求的)1设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是()A若ab，则|a|b|B若ab，则|a|b|C若|a|b|，则abD若|a|b|，则ab解析：选D命题若p则q的逆命题为若q则p，故选D.2.下列命题中的假命题是()AxR，2x10BxN*，(x1)20CxR，lg x1DxR, tan x2解析：选B当x1N*时，x10，不满足(x1)20，B为假命题3已知条件p：x1，条件q：1，则綈q是p的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选Aq：x0或x1，綈q：0x1，由集合法判断知綈q是p的充分不必要条件，故选A.4双曲线1
42、的焦距是()A4 B2 C8 D与m有关解析：选C依题意，a2m212，b24m2，所以c4.所以焦距2c8.5设f(x)10xlg x，则f(1)等于()A10 B10ln 10lg eC.ln 10 D11ln 10解析：选Bf(x)10xln 10，f(1)10ln 10lg e，故选B.6抛物线y212x的准线与双曲线1的两条渐近线所围成的三角形面积等于()A3 B2C2 D.解析：选A抛物线y212x的准线为x3，双曲线的渐近线为yx，则准线与渐近线交点为(3，)、(3，)所围成三角形面积S323.7若命题“xR，使x2(a1)x10”是假命题，则实数a的取值范围为()A1a3 B1
43、a3C3a3 D1a1解析：选B根据题意可得xR，都有x2(a1)x10，(a1)240.1a3.8对于命题p：双曲线1(m0)的离心率为；命题q：椭圆y21(m0)的离心率为，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A双曲线1(m0)的离心率为 时可得m2；椭圆y21(m0)的离心率为时，可得m2或m.所以p是q的充分不必要条件9若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3C6 D9解析：选Df(x)12x22ax2b，4a296b0，又x1是极值点，f(1)122a2b0，即ab6，ab9
44、，当且仅当ab时“”成立，ab的最大值为9，故选D.10设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点解析：选C由题意得f(x)，令f(x)0得x3；令f(x)0得0x3；f(x)0得x3，故知函数f(x)在区间(0，3)上为减函数，在区间(3，)上为增函数，在点x3处有极小值1ln 30；又f(1)0，f(e)10，f10.故选C.11过点P(0，3)的直线与双曲线1只有一个公共点，则这样的直线有()A1条 B2条C3条 D4条解析：选D数形结合
45、直线与双曲线只有一个公共点，有两个可能：一是直线恰与双曲线相切，二是直线与双曲线的渐近线平行根据图形的对称性共有4条12已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x1x2)，则()Af(x1)0，f(x2)Bf(x1)0，f(x2)Cf(x1)0，f(x2)Df(x1)0，f(x2)解析：选D函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x1x2)，则f(x)ln x2ax1有两个零点，即方程ln x2ax1有两个根，由数形结合易知0a且0x11x2，因为在(x1，x2)上f(x)递增，所以f(x1)f(1)f(x2)，即f(x1)af(x2)，所以f(x1)
46、0，f(x2).故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13设命题为“若k0，则关于x的方程x2xk0有实数根”该命题的否定、逆命题、否命题和逆否命题中假命题的个数为_解析：命题的否定：若k0，则关于x的方程x2xk0没有实数根假命题；逆命题：若关于x的方程x2xk0有实数根，则k0.假命题；否命题：若k0，则关于x的方程x2xk0没有实数根假命题；逆否命题：若关于x的方程x2xk0没有实数根，则k0.真命题答案：314椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|10，则SPF1F2_解析：由已知，a264，b248，c216，P在椭圆上，|PF1|PF2|16.|P
47、F1|10，|PF2|6.|F1F2|2c8，PF1F2为直角三角形，且PF2F190，SPF1F224.答案：2415若函数f(x)kx33(k1)x2k21在区间(0，4)上是减函数，则k的取值范围是_解析：f(x)3kx26(k1)x.由题意，知或解得k.答案：16已知点F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_解析：如图所示，由题意可知|AF1|，若ABF2是钝角三角形，则需AF2B为钝角，故AF2F145，即tanAF2F11，化简可得b22ac，即c2a22ac0，两边同
48、除以a2，可得e22e10，因为e1，所以解得e1.答案：(1，)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知p：“直线xym0与圆(x1)2y21相交”；q：“mx2xm40有一正根和一负根”，若pq为真，綈p为真，求实数m的取值范围解：直线xym0与圆(x1)2y21相交，则1，m(1，1)mx2xm40有一正根和一负根，则0，即0m4.又pq为真，为真，p假，q真，m1，4)18设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P到这个椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标解：设所求椭圆方程为1(ab0)
49、，由e，得a2b.设椭圆上任一点M的坐标为(x，y)，点M到点P的距离为d，则x2a2，且d2x2a2y23y23y4b234b23，其中byb.如果b，则当yb时，d2取得最大值，即有()2，解得b与b矛盾如果b，则当y时，d2取得最大值，即有()24b23.由、可得b1，a2.所求椭圆方程为y21.由y可得椭圆上到点P的距离等于的点的坐标为和.19若函数f(x)ax22xln x在x1处取得极值(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间及极值解：(1)f(x)2ax2，由f(1)2a0，得a.(2)f(x)x22xln x(x0)f(x)x2.由f(x)0，得x1或x2.当f(x)0时
50、，1x2；当f(x)0时，0x1或x2.当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下：因此f(x)的单调递增区间是(1，2)，单调递减区间是(0，1)，(2，)函数的极小值为f(1)，极大值为f(2)ln 2.20已知函数f(x)x33ax23x1.(1)当a时，讨论f(x)的单调性；(2)若x2，)时，f(x)0，求a的取值范围解：(1)当a时，f(x)x33x23x1，f(x)3x26x3.令f(x)0，得x11，x21.当x(，1)时，f(x)0，f(x)在(，1)上是增函数；当x(1，1)时，f(x)0，f(x)在(1，1)上是减函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增
51、函数(2)由f(2)0得a.当a，x(2，)时，f(x)3(x22ax1)33(x2)0，所以f(x)在(2，)上是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是.21已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.(1)求椭圆C的方程； (2)已知动直线yk(x1)与椭圆C相交于A、B两点若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；若点M，求证：为定值解：(1)因为1(ab0)满足a2b2c2，b2c.解得a25，b2，则椭圆方程为1.(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由 (1)将yk(x1)代入1中得(13k2
52、)x26k2x3k250，x1x2.因为AB中点的横坐标为，所以，解得k.证明：由知x1x2，x1x2，所以y1y2k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x1x2)k2(1k2)k2k2k2.即为定值22设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20，2，使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M.(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解：(1)存在x1，x20，2，使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.由g(x)x3x23，得g3x22x3x.令g(x)0得x0，或x，又x0，2，所以
53、g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)ming，g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)ming(x)max.由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在区间上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x1时，h(x)0.即函数h(x)xx2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，)
