1、第五节 几何概型教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率2根据几何概型的意义，运用几何度量求概率.理解几何概型的概念、概率公式，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.基础梳理1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型长度(面积或体积)2几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有个(2)等可能性：试验结果在每一个区域内分布3几何概型的概
2、率公式P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.无限多均匀三基自测1(必修33.3练习改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案：A2(必修33.3例2改编)已知A(x，y)|1x1，0y2，Bx，y|1x2y.若在区域A中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B中的概率为()A18 B4C.41 D8答案：A3(必修33.3例1改编)在0,60上任取一个数，则x50的概率为答案：164(必修33.3练习改编)在半径为r的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形
3、内的概率为答案：1 考点一|与长度(角度)有关的几何概型(方法突破)【例1】(1)(2016高考全国卷)某公司的班车在7：30，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13 B12C.23D34(2)在区间0,2之间随机抽取一个数x，则x满足2x10的概率为()A.34B12C.14D13(3)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为解析(1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)区间0,2看作总长度为2，区间
4、0,2中满足2x10的只有12，2，长度为32，P32234.(3)如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在yOT内的概率为 6036016.答案(1)B(2)A(3)16名师点拨 1.与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.2与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段跟踪训练(1)如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长
5、度超过 2R的概率是()A.15B14C.13D12答案：D(2)设a0,10，则函数g(x)a2x 在区间(0，)内为增函数的概率为答案：15考点二|与体积有关的几何概型(易错突破)【例2】(1)已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP ABC12VS ABC的概率是()A.78B34C.12D14(2)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为解析(1)当点P到底面ABC的距离小于32时，VP ABC12VS ABC.由几何概型知，所求概率为P1
6、12378.(2)V正238，V半球12431323.V半球V正 283 12，P1 12.答案(1)A(2)1 12名师点拨 求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求跟踪训练 如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到的概率是()A14B 12C.4D1 12解析：鱼食是从鱼缸顶部随机投入的，鱼缸顶面正方形的面积为224，圆锥底面
7、圆的面积为.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1 4，故选A.答案：A考点三|与面积有关的几何概型(方法突破)【例3】(1)(2016高考全国卷)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.4nmB2nmC.4mnD2mn(2)(2018河北模拟)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个
8、用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.316B38C.14D18解析(1)设由0 xn1，0yn1构成的正方形的面积为S，x 2ny 2n1构成的图形的面积为S，所以SS 141 mn，所以4mn，故选C.(2)设AB2，则BCCDDEEF1.SBCI12 22 22 14.S平行四边形EFGH2SBCI21412.所求的概率为P141222 316故选A.答案(1)C(2)A名师点拨 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解跟踪训练(1)在区间0,1上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是()A.1225B1625C.1725D1825答案：C(2)一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形各顶点的距离都大于2的地方停下的概率为答案：1 15
