1、第一节 平面向量的概念及线性运算教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义(3)理解向量的几何表示2向量的线性运算(1)掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义3平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.从近几年的高考试
2、题看，向量的线性运算、共线问题是高考的热点，尤其是向量的线性运算多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题目预计高考仍将以向量的线性运算、向量的基本概念、向量的坐标运算、共线向量的坐标表示为主要考点，也可与向量加、减的三角形法则和平行四边形法则交汇命题透彻理解平面向量的有关概念及运算是学好本节的基础，因此复习时应注意运用概念分析和求解相关问题，运用平面向量基本定理，进一步解题基础梳理1向量的有关概念(1)向量的定义：既有，又有的量叫向量，常用a或AB表示(2)向量的模：向量的大小，即表示向量的有向线段的叫作向量的模，记作|a|或|AB|.大小方向长度(3)几个特殊向量：特点名称 长度(模)方向零
3、向量0单位向量1任意相等向量相等相反向量平行向量任意相同相等相反相同或相反2.向量的加法、减法与数乘定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算 法则法则(1)交换律：ab；(2)结合律：(ab)c三角形平行四边形baa(bc)减法向量a加上向量b的叫作a与b的差法则aba(b)相反向量三角形数乘实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a与a的方向；当0时，a与a的方向；当0时，a0(1)()a；(2)()a；(3)(ab)相同相反(a)aaab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使.4平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个
4、向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a.(2)基底：的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底不共线不共线ba1e12e25平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.(x，y)6平面向量的坐标运算向量的加法、减法设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab，ab向量的数乘设a(x，y)，R，则a向量坐标的求法设A(x1，y1)，B(x2，
5、y2)，则AB(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x，y)(x2x1，y2y1)7.向量共线的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab0.x1y2x2y1三基自测1(必修4习题2.1A组改编)已知ABC，设D是BC边的中点，用AB 与AC 表示向量AD，则AD _.答案：12AB12AC2(必修4习题2.3A组改编)已知向量a(2,3)，b(x,6)共线，则实数x的值为()A3 B.3C4 D.4答案：C3(必修42.3例题改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1,3)，P2(4,0)且P是P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A(2,2)B.(3，1)C(2,2
6、)或(3，1)D.(2,2)或(3,1)答案：D4(必修4习题2.2B组改编)在四边形ABCD中，ABDC，且|AB|BC|，那么四边形ABCD为()A平行四边形B.菱形C长方形D.正方形答案：B考点一|向量的基本概念(易错突破)【例1】(1)给出下列五个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab；在ABCD中，一定有ABDC；若mn，np，则mp；若ab，bc，则ac.其中不正确的个数是()A2 B.3C4 D.5(2)给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与
7、b共线其中错误的命题的个数为()A1 B.2 C3 D.4解析(1)两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故不正确；|a|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故不正确；、正确；零向量与任一非零向量都平行，当b0时，a与c不一定平行，故不正确(2)错误，两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时，ab0，此时，a与b可以是任意向量答案(1)B(2)C名师点拨 把握向量有关概念的关键点(1)定义：方向和长度，二者缺
8、一不可；(2)非零共线向量：方向相同或相反，长度没有限制，与直线平行不同；(3)相等向量：方向相同且长度相等，与共线向量不同；(4)单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度；(5)零向量：方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线跟踪训练 已知a，b，c是任意向量，给出下列命题：(1)任何向量的方向都是唯一确定的；(2)若ab，则a，b方向相同或相反；(3)若ab，则|a|b|；(4)若a，b不共线，则a，b中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是()A4 B.3C2 D.1答案：D考点二|平面向量基本定理及线性运算(方法突破)方法1 数形结合思想，求基底表示的向量【例2】(1)
9、如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，ABa，ACb，则AD()Aa12bB.12abCa12bD.12ab(2)(2018威海检测)在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD 2DB，CD 13CA CB，则()A13B.23C.13D.23解析(1)如图，连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，有AOCCODBOD60，且OAOCOD，则OAC与OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以AD AO AC 12ABAC12ab.(2)据向量运算的几何意义，画图如图所示，其中D，E分别是AB和AC的三等分点，以EC和ED为邻边作平行
10、四边形，得CF23CB.故23.答案(1)D(2)D方法2 方程思想求基本定理中参数【例3】如图所示，在ABO中，OC 14OA，OD 12OB，AD与BC相交于点M，设OA a，OB b.试用a和b表示向量OM.解析 设OM manb，则AM OM OA manba(m1)anb.AD OD OA 12OB OA a12b.又A，M，D三点共线，AM 与AD 共线存在实数t，使得AM tAD，即(m1)anbta12b.(m1)anbta12tb.m1t，nt2，消去t得，m12n，即m2n1.又CM OM OC manb14am14 anb，CBOB OC b14a14ab.又C，M，B三
11、点共线，CM 与CB共线存在实数t1，使得CM t1CB，m14 anbt114ab，m1414t1，nt1.消去t1得，4mn1.由得m17，n37，OM 17a37b.名师点拨 1.选定基底后，结合平行四边形或三角形的几何性质，用向量的线性运算，把相关向量用基底表示出来2多次应用基本定理时，可利用向量相等用方程思想求参数跟踪训练(1)如图，在ABC中，设 AB a，AC b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则AP()A.12a12bB.13a23bC.27a47bD.47a27b答案：C(2)如图，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于点H，M为AH的中点若A
12、M ABBC，则_.答案：23考点三|向量坐标运算及向量共线(思维突破)【例4】(1)若向量a(2,1)，b(1,2)，c0，52，则c可用向量a，b表示为()A.12abB.12abC.32a12bD.32a12b(2)已知非零向量e1和e2不共线，若向量2te1e2和向量e12e2共线，则实数t的值为_解析(1)设cxayb，则 0，52(2xy，x2y)，所以2xy0，x2y52，解得x12，y1，则c12ab，故选A.(2)因为2te1e2与e12e2共线，所以存在实数，使2te1e2(e12e2)，则(2t)e1(21)e2.由于e1和e2不共线，所以2t0，210，解得t14.答案
13、(1)A(2)14名师点拨 1.有关向量的线性运算可放在坐标系中进行，利用坐标可简化运算2证明三点共线的方法若ABAC，则A，B，C三点共线3共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2)若a，b不共线，则ab0的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛跟踪训练 设两个非零向量a与b不共线(1)若ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解析：(1)证明：因为ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，所以BD BCCD 2a8b3(ab)5(ab)5AB，所以AB，BD 共线又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以kk10，所以k210.所以k1.
