1、导数的几何意义(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1曲线yx32在点(1,)处切线的倾斜角为()A30 B45 C135 D60【解析】选B.y(1x)3(1)3x(x)2(x)3,1x(x)2, 1,所以曲线yx32在点处切线的斜率是1,倾斜角为45.2已知点P(1,1)为曲线上的一点,PQ为曲线的割线,当x0时,若kPQ的极限为2,则在点P处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2【解析】选B.由题意可知, 曲线在点P处的切线方程为y12(x1),即y2x1.3设曲线yax2在点(1,a)处的切线与直线2xy60平行,则a的值为()A1 B C D1【解
2、析】选A.因为y (2aax)2a.所以2a2,a1.4如图所示,函数yf (x)的图象在点P处的切线方程是yx8,则f (5)f (5)等于()A2 B3 C4 D5【解析】选A.易得切点P(5,3),所以f (5)3,k1,即f (5)1.所以f (5)f (5)312.二、填空题(每小题5分,共10分)5曲线yf(x)x23x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为_【解析】设切点坐标为(x0,y0),f(x0)2x031,故x02,y0x3x0462,故切点坐标为(2,2).答案:(2,2)6若抛物线yx2xc上一点P的横坐标是2,抛物线在点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为_【解析】设在P
3、点处切线斜率为k,ky|x2 5,所以切线方程为y5x,所以点P的纵坐标为y5(2)10,将P(2,10)代入yx2xc,得c4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)7若抛物线y4x2上的点P到直线y4x5的距离最短,求点P的坐标【解析】由点P到直线y4x5的距离最短知,点P处的切线方程与直线y4x5平行,设P(x0,y0),则y (8x4x)8x,由得故所求的点P的坐标为.8已知直线l1为曲线yx2x2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1l2.(1)求直线l2的方程(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积【解析】(1)y (2xx1)2x1.y|x12113
4、,所以直线l1的方程为y3(x1),即y3x3.设直线l2过曲线yx2x2上的点B(b,b2b2),则l2的方程为y(2b1)xb22.因为l1l2,则有2b1,b.所以直线l2的方程为yx.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为.l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),.所以所求三角形的面积S.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1若函数f(x)x,则f(1)()A2 B C1 D0【解析】选D.f(1)0.2设P0为曲线f(x)x3x2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y4x1,则P0点的坐标为()A
5、(1,0) B(2,8)C(1,0)或(1,4) D(2,8)或(1,4)【解析】选C.f(x)3x21.由于曲线f(x)x3x2在P0处的切线平行于直线y4x1,所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0,y0),则有f(x0)3x14,解得x01,P0的坐标为(1,0)或(1,4).3已知函数f(x)x22bx的图象在点A(0,f(0)处的切线l与直线xy30垂直,若数列的前n项和为Sn,则S2 017的值为()A B C D【解题指南】由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值,根据f(n)的解析式,用裂项法求得数列的前n项和Sn的值,可得S2 017的值【解析】选B.由题意
6、可得A(0,0),函数f(x)x22bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k 2b,再根据l与直线xy30垂直,可得2b(1)1,所以b.因为f(n)n22bnn2nn(n1),所以,故数列的前n项和为Sn()1,所以S2 0171.4(多选题)下面说法错误的是()A若f(x0)不存在,则曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处有切线,则f(x0)必存在C若f(x0)不存在,则曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处没有切线,则f(x0)有可能存在【解析】选ABD.f(x0)的几何意义是
7、曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率,当切线垂直于x轴时,切线的斜率不存在,但存在切线二、填空题(每小题5分,共20分)5曲线yx22x3在点A(1,6)处的切线方程是_.【解析】因为yx22x3,切点为点A(1,6),所以斜率k (x4)4,所以切线方程为y64(x1),即4xy20.答案:4xy20【补偿训练】已知二次函数f(x)ax2bx c的导数为f(x),f(0)0,对于任意实数x,有f(x)0,则的最小值为_.【解题指南】由导数的定义,先求出f(0)的值,从而求出的表达式,再利用“对于任意实数x,有f(x)0”这一条件,借助不等式的知识即可求解【解析】由导数的定义,得f
8、(0)limx0 a(x)bb.又因为对于任意实数x,有f(x)0,则所以ac,所以c0.所以2(当且仅当acb时,取等号).答案:2 6已知二次函数yf(x)的图象如图所示,则yf(x)在A,B两点处的导数f(a)与f(b)的大小关系为:f(a)_f(b)(填“”).【解析】f(a)与f(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,故f(a)f(b).答案:7已知函数yax2b在点(1,3)处的切线斜率为2,则_.【解析】因为f (1)2,又 (ax2a)2a,所以2a2,所以a1.又f (1)ab3,所以b2.所以2.答案:28已知曲线yf(x)上两点P(2,1),Q.则曲线在点P,Q处的
9、切线的斜率分别为_;曲线在P,Q处的切线方程分别为_【解析】将点P(2,1)代入y,得t1,所以y.y .(1)曲线在点P处的切线斜率为y|x21;曲线在点Q处的切线斜率为y|x1.(2)曲线在点P处的切线方程为y(1)x2,即:xy30,曲线在点Q处的切线方程为yx(1),即:x4y30.答案:1,xy30,x4y30三、解答题(每小题10分,共30分)9已知曲线yx21,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由【解析】由2xx,得y (2xx)2x.设切点为P(x0,y0),则切线斜率为ky|xx02x0,由点斜式得所
10、求切线方程为yy02x0(xx0).又因为切线过点(1,a),且y0x1,所以a(x1)2x0(1x0),即x2x0a10.因为切线有两条,所以(2)24(a1)0,解得a2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且a的取值范围是(,2).10(1)求曲线f(x)在点(2,1)处的切线方程;(2)求经过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程【解析】 (1)因为曲线在点(2,1)处的切线的斜率就等于函数 f(x)在点(2,1)处的导数值而f(2) ,故曲线在点(2,1)处的切线方程为y1(x2),整理得x2y40.(2)可以验证点(2,0)不在曲线上,设切点为P(x0,y0).由y|xx0 ,故所求切线方程为yy0(xx0).由点(2,0)在所求的直线上,得xy02x0,再由P(x0,y0)在曲线y上,得x0y01,联立可解得x01,y01,所以直线方程为xy20.11已知直线l:y4xa和曲线yf(x)x32x23相切求a的值及切点的坐标【解析】设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0),因为f (x) 3x24x.由导数的几何意义,得3x4x04,解得x0或x02.所以切点的坐标为或(2,3),当切点为时,有4a,所以a.当切点为(2,3)时,有342a,所以a5.所以a,切点为;a5,切点为(2,3).