1、导数的几何意义(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1曲线yx32在点(1，)处切线的倾斜角为()A30 B45 C135 D60【解析】选B.y(1x)3(1)3x(x)2(x)3，1x(x)2， 1，所以曲线yx32在点处切线的斜率是1，倾斜角为45.2已知点P(1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当x0时，若kPQ的极限为2，则在点P处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2【解析】选B.由题意可知， 曲线在点P处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.3设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a的值为()A1 B C D1【解
2、析】选A.因为y (2aax)2a.所以2a2，a1.4如图所示，函数yf (x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f (5)f (5)等于()A2 B3 C4 D5【解析】选A.易得切点P(5，3)，所以f (5)3，k1，即f (5)1.所以f (5)f (5)312.二、填空题(每小题5分，共10分)5曲线yf(x)x23x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为_【解析】设切点坐标为(x0，y0)，f(x0)2x031，故x02，y0x3x0462，故切点坐标为(2，2).答案：(2，2)6若抛物线yx2xc上一点P的横坐标是2，抛物线在点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为_【解析】设在P
3、点处切线斜率为k，ky|x2 5，所以切线方程为y5x，所以点P的纵坐标为y5(2)10，将P(2，10)代入yx2xc，得c4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)7若抛物线y4x2上的点P到直线y4x5的距离最短，求点P的坐标【解析】由点P到直线y4x5的距离最短知，点P处的切线方程与直线y4x5平行，设P(x0，y0)，则y (8x4x)8x，由得故所求的点P的坐标为.8已知直线l1为曲线yx2x2在(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程(2)求由直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积【解析】(1)y (2xx1)2x1.y|x12113
4、，所以直线l1的方程为y3(x1)，即y3x3.设直线l2过曲线yx2x2上的点B(b，b2b2)，则l2的方程为y(2b1)xb22.因为l1l2，则有2b1，b.所以直线l2的方程为yx.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为.l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1，0)，.所以所求三角形的面积S.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1若函数f(x)x，则f(1)()A2 B C1 D0【解析】选D.f(1)0.2设P0为曲线f(x)x3x2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y4x1，则P0点的坐标为()A
5、(1，0) B(2，8)C(1，0)或(1，4) D(2，8)或(1，4)【解析】选C.f(x)3x21.由于曲线f(x)x3x2在P0处的切线平行于直线y4x1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f(x0)3x14，解得x01，P0的坐标为(1，0)或(1，4).3已知函数f(x)x22bx的图象在点A(0，f(0)处的切线l与直线xy30垂直，若数列的前n项和为Sn，则S2 017的值为()A B C D【解题指南】由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值，根据f(n)的解析式，用裂项法求得数列的前n项和Sn的值，可得S2 017的值【解析】选B.由题意
6、可得A(0，0)，函数f(x)x22bx的图象在点A(0，0)处的切线l的斜率k 2b，再根据l与直线xy30垂直，可得2b(1)1，所以b.因为f(n)n22bnn2nn(n1)，所以，故数列的前n项和为Sn()1，所以S2 0171.4(多选题)下面说法错误的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在【解析】选ABD.f(x0)的几何意义是
7、曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线二、填空题(每小题5分，共20分)5曲线yx22x3在点A(1，6)处的切线方程是_.【解析】因为yx22x3，切点为点A(1，6)，所以斜率k (x4)4，所以切线方程为y64(x1)，即4xy20.答案：4xy20【补偿训练】已知二次函数f(x)ax2bx c的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x，有f(x)0，则的最小值为_.【解题指南】由导数的定义，先求出f(0)的值，从而求出的表达式，再利用“对于任意实数x，有f(x)0”这一条件，借助不等式的知识即可求解【解析】由导数的定义，得f
8、(0)limx0 a(x)bb.又因为对于任意实数x，有f(x)0，则所以ac，所以c0.所以2(当且仅当acb时，取等号).答案：2 6已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)在A，B两点处的导数f(a)与f(b)的大小关系为：f(a)_f(b)(填“”).【解析】f(a)与f(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f(a)f(b).答案：7已知函数yax2b在点(1，3)处的切线斜率为2，则_.【解析】因为f (1)2，又 (ax2a)2a，所以2a2，所以a1.又f (1)ab3，所以b2.所以2.答案：28已知曲线yf(x)上两点P(2，1)，Q.则曲线在点P，Q处的
9、切线的斜率分别为_；曲线在P，Q处的切线方程分别为_【解析】将点P(2，1)代入y，得t1，所以y.y .(1)曲线在点P处的切线斜率为y|x21；曲线在点Q处的切线斜率为y|x1.(2)曲线在点P处的切线方程为y(1)x2，即：xy30，曲线在点Q处的切线方程为yx(1)，即：x4y30.答案：1，xy30，x4y30三、解答题(每小题10分，共30分)9已知曲线yx21，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】由2xx，得y (2xx)2x.设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为ky|xx02x0，由点斜式得所
10、求切线方程为yy02x0(xx0).又因为切线过点(1，a)，且y0x1，所以a(x1)2x0(1x0)，即x2x0a10.因为切线有两条，所以(2)24(a1)0，解得a2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，且a的取值范围是(，2).10(1)求曲线f(x)在点(2，1)处的切线方程；(2)求经过点(2，0)且与曲线y相切的直线方程【解析】 (1)因为曲线在点(2，1)处的切线的斜率就等于函数 f(x)在点(2，1)处的导数值而f(2) ，故曲线在点(2，1)处的切线方程为y1(x2)，整理得x2y40.(2)可以验证点(2，0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0).由y|xx0 ，故所求切线方程为yy0(xx0).由点(2，0)在所求的直线上，得xy02x0，再由P(x0，y0)在曲线y上，得x0y01，联立可解得x01，y01，所以直线方程为xy20.11已知直线l：y4xa和曲线yf(x)x32x23相切求a的值及切点的坐标【解析】设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，因为f (x) 3x24x.由导数的几何意义，得3x4x04，解得x0或x02.所以切点的坐标为或(2，3)，当切点为时，有4a，所以a.当切点为(2，3)时，有342a，所以a5.所以a，切点为；a5，切点为(2，3).