1、实际问题中的函数模型(建议用时：40分钟)一、选择题1一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是()ABC1D1D设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1x)11ma，所以1x，即x1.2某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()Ay0.2x(0x4 000)By0.5x(0x4 000)Cy0.1x1 200(0x4 000)Dy0.1x1 200(0x4 000)C由题意得y0.3(4 000x)0
2、.2x0.1x1 200.3若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()Ay0.957 6By0.957 6100xCyxDy10.042 4A设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%1(1t%)100,1t%0.957 6，y(1t%)x0.957 6.4某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()Ax15，y12Bx12，y15Cx14，y10Dx10，y14A由三角形相似得，得x(24y)，Sxy(y
3、12)2180(8y24)当y12时，S有最大值，此时x15.5根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是()A75,25B75,16 C60,25 D60,16D由题意知，组装第A件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c60.将c60代入15，得A16.二、填空题6用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是_m2.9设矩形的一边长为x m，则与这条边垂直的边长为 m，所以矩形面积Sxx26x(0x6)，当x3
4、m时，S最大9 m2.7工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系ya0.5xb，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为_万件1.75由题意有解得y20.5x2，3月份产量为y20.5321.75(万件)8某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_年7由题意知，第一年产量为a11233，以后各年产量分别为anf(n)f(n1)n(n1)
5、(2n1)n(n1)(2n1)3n2(nN*)，令3n2150，得1n51n7，故生产期限最长为7年三、解答题9某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元(1)试求a的值；(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y10x800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？解(1)按30元销售，可获利50%，a(150%)30，解得a20.(2)销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y10x800，则每
6、天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足W(10x800)(x20)10x21 000x16 00010(x50)29 000，故当x50时，W取最大值9 000，即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9 000元10国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止旅行社需支付各种费用共计15 000元(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解(1)当0x30时，y900；当30x75，y90
7、010(x30)1 20010x；即y(2)设旅行社所获利润为S元，则当0x30时，S900x15 000；当30x75时，Sx(12 0010x)15 00010x21 200x15 000；即S因为当0x30时，S900x15 000为增函数，所以x30时，Smax12 000；当3012 000.所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润11(多选)如图是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图所示 图图图则下列说法中，正确的有()A图的建议：提高成本，并提高票价B图的建议：
8、降低成本，并保持票价不变C图的建议：提高票价，并保持成本不变D图的建议：提高票价，并降低成本BC根据题意和图知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由图可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确12某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在
9、此处汇合，则这个装饰物的高度应该为()A5 mB3.5 mC5.5 mD7.5 mD根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是：ya1(x2)28(10x0)或ya2(x2)28(0x10)，由x10，y0，可得a1；由x10，y0，可得a2，于是所求函数解析式是y(x2)28(10x0)或y(x2)28(0x10)当x0时，y7.5，装饰物的高度为7.5 m故选D.13某市居民生活用水收费标准如下：用水量x/t每吨收费标准/元不超过2 t部分m超过2 t不超过4 t部分3超过4 t部分n已知某用户1月份用水量为8 t，缴纳的水费为33元；2月份用
10、水量为6 t，缴纳的水费为21元设用户每月缴纳的水费为y元(1)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为_元；(2)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，则该用户最多可以用水_吨(1)7.5(2)6.5(1)由题设可得y当x8时，y33；当x6时，y21，代入得解得所以y关于x的函数解析式为y当x3.5时，y33.537.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元(2)令6x1524，解得x6.5.故该用户最多可以用6.5 t水14在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v2 000ln.当燃料
11、质量是火箭质量的_倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒e61当v12 000时，2 000ln12 000，ln6，e61.15某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)1(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：x/天10202530Q(x)/件110120125120已知第10天的日销售收入为121元(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：Q(x)axb，Q(x)a|x25|b，Q(x)abx
12、，Q(x)alogbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；(3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f(x)的最小值解(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)Q(10)110121，解得k1.(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选Q(x)a|x25|b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)125|x25|(1x30，xN)(3)由(2)知Q(x)125|x25|所以f(x)P(x)Q(x)当1x25时，yx在1,10上单调递减，在10,25)上单调递增，所以当x10时，f(x)取得最小值，f(x)min121；当25x30时，yx为减函数，所以当x30时，f(x)取得最小值，f(x)min124.综上所述，当x10时，f(x)取得最小值，f(x)min121.所以该小物品的日销售收入的最小值为121元.
