1、第一章集合与函数概念本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=-1,0,1,2,B=x|x2=x,则AB=()A.0B.1C.0,1D.0,1,22.函数g(x)=-x2-x+2x的定义域为()A.(-2,0)(0,1)B.-2,0)(0,1C.(-1,0)(0,1D.-1,0)(0,23.集合M=x|x=3k,kZ,P=x|x=3k+1,kZ,Q=x|x=3k-1,kZ,若aM,bP,cQ,则a+b-c()A.MPB.PC.QD.M4.下列函数是奇函数且在1,+)上单
2、调递增的是()A.y=1xB.y=x2C.y=x+2xD.y=x-1x5.已知函数f(x)=x+1,x0,f(x-1)-f(x-2),x0,则f(3)的值等于()A.-2B.-1C.1D.26.下列说法正确的个数是()空集是任何集合的真子集;若函数f(x)的值域是-2,2,则函数f(x+1)的值域为-3,1;既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个;若AB=B,则AB=A.A.0B.1C.2D.37.若函数y=ax2+bx+3在(-,-1上是增函数,在-1,+)上是减函数,则()A.b0且a0B.b=2a0D.a,b的符号不确定 8.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在0,+)上是增函数,f
3、(3)1B.a1或a-2D.-1a29.如图所示,在直角梯形ABCD中,A=90,B=45,AB=5,AD=3,点E由点B沿折线B-C-D向点D移动,EMAB于M,ENAD于N,设MB=x,矩形AMEN的面积为y,那么y与x的函数关系图象大致是()10.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0a3),若x1x2,x1+x2=1-a,则()A.f(x1)f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定11.已知函数f(x)的定义域是(0,+),且满足f(xy)=f(x)+f(y), f12=1,如果对任意0xf(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)-2的解集为()A.-4,0)B.-1,0
4、)C.(-,0D.-1,412.若关于x的函数f(x)=t+2x+2019x5x4+t的最大值为M,最小值为N,且M+N=8,则实数t的值为()A.2B.2 019C.-2 019D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.设M=a2,a+1,-3,N=a-3,2a-1,a2+1,若MN=-3,则a的值为,此时MN=.(第一空2分,第二空3分)14.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x0时, f(x)=x(x+1).若f(a)=-2,则实数a=. 15.函数f(x)是奇函数,且在-1,1上单调递增,又f(-1)=-1.(1)则f(x)在-1,1上的最大值
5、为;(2)若f(x)t2-2at+1对任意x-1,1及任意a-1,1都成立,则实数t的取值范围是.(第一空2分,第二空3分)16.函数f(x)=x的函数值表示不超过x的最大整数,例如,-3.5=-4,2.1=2.已知定义在R上的函数g(x)=x+2x,若A=y|y=g(x),0x1,则A中所有元素的和为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知集合A=x|x2-2x-15=0,集合B=xx2+2ax+a2-32a=0.(1)若AB=-3,求a的值;(2)若BA,求a的取值范围.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)是R上的
6、偶函数,且当x0时, f(x)=2x-1.(1)用定义证明f(x)在(0,+)上是减函数;(2)当x0)上的最大值;(3)用定义证明函数g(x)=f(x)x在2,+)上是增函数.21.(本小题满分12分)设a,bR,若函数f(x)在定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)的定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=5x+3x+1.(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x0,
7、1时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x10,2,总存在x2-23,1,使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.22.(本小题满分12分)小张经营某一消费品专卖店,已知该消费品的进价为每件40元,该店每月销售量y(百件)与销售单价x(元)之间的关系用下图的折线表示,职工每人每月工资为1 000元,该店还应支付的其他费用为每月10 000元.(1)把y表示为x的函数;(2)当销售单价为每件50元时,该店正好收支平衡(即利润为零),求该店的职工人数;(3)若该店只有20名职工,问销售单价定为多少元时,该专卖店可获得最大月利润?(注:利润=收入-支出)答案全解全析第一章集合与函数
8、概念本章达标检测1.C2.B3.C4.D5.B6.C7.B8.C9.C10.A11.B12.D一、选择题1.C集合A=-1,0,1,2,B=x|x2=x=0,1,AB=0,1.故选C.2.B依题意得-x2-x+20,x0,解得-2x1,且x0,故选B.3.C由题意设a=3k1,b=3k2+1,c=3k3-1(k1,k2,k3Z),则a+b-c=3k1+3k2+1-(3k3-1)=3(k1+k2-k3+1)-1,而k1+k2-k3+1Z,a+b-cQ.故选C.4.D对于A,y=1x是奇函数,但在1,+)上单调递减,不符合题意;对于B,y=x2是偶函数,不符合题意;对于C,y=x+2x是奇函数,但
9、在1,+)上先减再增,不符合题意;对于D,y=x-1x是奇函数,且在1,+)上单调递增,符合题意.故选D.5.B由分段函数可知f(3)=f(2)-f(1),而f(2)=f(1)-f(0),f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-1,故选B.6.C由空集不是它本身的真子集,知错误;由f(x)与f(x+1)的值域相同,知错误;设f(x)=0,且xD,D是关于原点对称的区间,则f(x)既是奇函数又是偶函数,由于D有无数个,故f(x)有无数个,正确;由AB=B,得AB,从而AB=A,正确.故选C.7.B由已知可得,函数y=ax2+bx+3的图象开口向下,对称轴为直线x
10、=-1,所以a0,-b2a=-1,所以b=2a0.故选B.8.C因为函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且f(3)f(2a+1),所以f(3)f(|2a+1|),又函数f(x)在0,+)上是增函数,所以31或a-2.故选C.方法点拨由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-x)将f(g(x)中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.9.CEMAB,B=45,EM=MB=x,AM=5-x.当点E在BC上运动时,矩形AMEN的面积y=x(5-x)=-x-522+254,0x3;当点E在CD上运动时,
11、矩形AMEN即为矩形AMED,此时y=-3x+15,3x5.y与x的函数关系为y=-x-522+254(0x3),-3x+15(3x5).画出大致图象如选项C所示.故选C.10.A由题意得f(x1)-f(x2)=a(x12-x22)+2a(x1-x2)=a(x1+x2)(x1-x2)+2a(x1-x2)=a(1-a)+2a(x1-x2)=a(3-a)(x1-x2).0a0,又x1x2,x1-x20,f(x1)f(x2),故选A.11.B令x=y=1,得f(1)=2f(1),故f(1)=0;令x=12,y=2,得f(1)=f(2)+f12,故f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=
12、-2.由f(-x)+f(3-x)-2,可得f(x2-3x)f(4),又因为函数f(x)的定义域是(0,+),且对任意0xf(y),所以-x0,3-x0,x2-3x4,即x0,x3,-1x4,解得-1x0,故不等式f(-x)+f(3-x)-2的解集为-1,0).12.D设函数g(x)=2x+2019x5x4+t,易知g(x)是奇函数,则g(x)的最大值S和最小值s互为相反数,即S+s=0.又函数f(x)的最大值为M,最小值为N,M+N=(S+t)+(s+t)=2t,又M+N=8,2t=8,t=4.故选D.二、填空题13.答案-1;-4,-3,0,1,2解析MN=-3,a-3=-3或2a-1=-3
13、,解得a=0或a=-1.当a=0时,M=0,1,-3,N=-3,-1,1,得MN=1,-3,不符合题意,舍去.当a=-1时,M=1,0,-3,N=-4,-3,2,得MN=-3,符合题意.MN=-4,-3,0,1,2.14.答案-1解析当x0时, f(x)=x(x+1)0.因为f(a)=-2,所以a0,又因为f(x)为R上的奇函数,所以f(a)=-f(-a)=-2,即f(-a)=-a(-a+1)=2,解得a=-1或a=2(舍),所以a=-1.15.答案(1)1(2)t|t-2或t=0或t2解析(1)函数f(x)是奇函数,且在-1,1上为增函数, f(-1)=-1,f(1)=1,f(x)在-1,1
14、上的最大值为f(1)=1.(2)若f(x)t2-2at+1对任意x-1,1都成立,则t2-2at+1f(x)max=1,即t2-2at0,令(a)=t2-2at=(-2t)a+t2,则(a)0在a-1,1上恒成立,则(1)0且(-1)0,解得t-2或t=0或t2,故实数t的取值范围为t|t-2或t=0或t2.16.答案4解析当x0,12时,02x1,g(x)=x+2x=0;当x12,1时,12x2,g(x)=x+2x=1;当x=1时,2x=2,g(x)=x+2x=3,所以A=y|y=g(x),0x1=0,1,3,所以A中所有元素的和为4.三、解答题17.解析(1)由题意得A=-3,5.AB=-
15、3,-3B,(2分)9-6a+a2-32a=02a2-15a+18=0,解得a=6或a=32,(4分)经检验,均符合题意.(5分)(2)当B=时,=4a2-4a2-32a0,得a0,满足BA.(7分)当B时,由BA可知B=-3或B=5或B=-3,5,经检验,均不符合题意.(9分)综上,a的取值范围是(-,0).(10分)18.解析(1)证明:在(0,+)上任取x1,x2,且0x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2-1=2x1-2x2=2(x2-x1)x1x2.(3分)0x10,x2-x10,f(x1)-f(x2)0,故f(x1)f(x2),f(x)在(0,+)上是减函数.(6分
16、)(2)若x0,f(-x)=-2x-1,(9分)又f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=-2x-1,故f(x)=-2x-1(x0).(12分)19.解析(1)f(x)为R上的奇函数,f(-x)=-f(x),f(-x)+f(x)=0,(2分)-ax+bx2+1+ax+bx2+1=0对一切x恒成立,2bx2+1=0恒成立,b=0,f(x)=axx2+1.(4分)又f12=25,a=1.f(x)=xx2+1.(5分)(2)任取x1,x22,4,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1x12+1-x2x22+1=x1(x22+1)-x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=x1x2(x2-x
17、1)+(x1-x2)(x12+1)(x22+1)=(x2-x1)(x1x2-1)(x12+1)(x22+1).(8分)又2x10,x1x2-10,x12+10,x22+10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).函数f(x)在2,4上单调递减,f(x)max=f(2)=25.(10分)若f(x)m2-35在区间2,4上恒成立,则f(x)maxm2-35,故25m2-35,m21,解得m-1或m1,m的取值范围是(-,-11,+).(12分)20.解析(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0).f(0)=4,c=4.f(x+1)-f(x)=2x-1,a(x+1)2+b(x+1)+4-
18、(ax2+bx+4)=2x-1,(2分)即2ax+a+b=2x-1,2a=2,a+b=-1,a=1,b=-2,f(x)=x2-2x+4.(4分)(2)f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,结合图象(图略)可知,当02时,最大值为f(t)=t2-2t+4.(8分)(3)证明:g(x)=f(x)x=x+4x-2,任取x1,x22,+),且x1x2,则g(x1)-g(x2)=x1-x2+4x1-4x2=(x1-x2)(x1x2-4)x1x2,(10分)2x1x2,x1-x20,x1x20,g(x1)-g(x2)0,故g(x1)g(x2),故函数g(x)=f(x)x在2,+)上是增函数.(12分
19、)21.解析(1)证明:g(x)=5x+3x+1,x(-,-1)(-1,+),a=-1,b=5,g(-2-x)=5x+7x+1.g(x)+g(-2-x)=5x+3x+1+5x+7x+1=10,(2分)即对任意的x(-,-1)(-1,+),都有g(x)+g(-2-x)=10成立.函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称.(3分)(2)易知g(x)在-23,1上单调递增,g(x)在-23,1上的值域为-1,4.记函数y=h(x),x0,2的值域为A.若对任意的x10,2,总存在x2-23,1,使得h(x1)=g(x2)成立,则A-1,4.(4分)x0,1时,h(x)=x2-mx+m+1,h(1)=
20、2,即函数h(x)的图象过对称中心点(1,2).(i)当m20,即m0时,函数h(x)在(0,1)上单调递增.由对称性知,h(x)在(1,2)上单调递增,函数h(x)在(0,2)上单调递增.(6分)易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,h(2)=3-m,则A=m+1,3-m.由A-1,4,得-1m+1,43-m,m0,解得-1m0.(7分)(ii)当0m21,即0m2时,函数h(x)在0,m2上单调递减,在m2,1上单调递增.由对称性,知h(x)在1,2-m2上单调递增,在2-m2,2上单调递减.(8分)函数h(x)在0,m2上单调递减,在m2,2-m2上单调递增,在2-m2,2上单
21、调递减.结合对称性,知A=h(2),h(0)或A=hm2,h2-m2.(9分)0m2,h(0)=m+1(1,3).又h(0)+h(2)=4,h(2)=3-m(1,3).易知hm2=-m24+m+1(1,2).又hm2+h2-m2=4,h2-m2(2,3).当0m2时,A-1,4成立.(10分)(iii)当m21,即m2时,函数h(x)在(0,1)上单调递减.由对称性,知h(x)在(1,2)上单调递减.函数h(x)在(0,2)上单调递减.易知h(0)=m+1.又h(0)+h(2)=4,h(2)=3-m,则A=3-m,m+1.由A-1,4,得-13-m,4m+1,m2,解得2m3.(11分)综上可
22、知,实数m的取值范围为-1,3.(12分)22.解析(1)当40x60时,设AB所在直线的方程为y=k1x+b1(k10),将A,B两点坐标代入方程得60=40k1+b1,20=60k1+b1,解得k1=-2,b1=140,所以AB所在直线的方程为y=-2x+140;(2分)当60x80时,同理可得BC所在直线的方程为y=-12x+50.所以y=-2x+140(40x60),-12x+50(60x80).(4分)(2)设该店有职工m名,当x=50时,该店总收入为100(-2x+140)(x-40)=40 000(元),(6分)又该店的总支出为(1 000m+10 000)元,所以依题意得40
23、000=1 000m+10 000,解得m=30.所以该店有30名职工.(8分)(3)设月利润用S表示,若该店只有20名职工,则月利润S=(-2x+140)(x-40)100-30000(40x60),-12x+50(x-40)100-30000(60x80).(10分)当40x60时,S=-200(x-55)2+15 000,所以当x=55时,S取最大值15 000(元);当60x80时,S=-50(x-70)2+15 000,所以当x=70时,S取最大值15 000(元).故当x=55或x=70时,S取最大值15 000元,即销售单价定为每件55元或每件70元时,该专卖店可获得最大月利润.(12分)
