1、山东师大附中2019级数学2020年10月学业质量检测题本试卷分第卷和第卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟.注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其它笔.第卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
2、中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知向量分别是直线的方向向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，得，由此可求出答案【详解】解：，且分别是直线的方向向量，故选：C【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题2. 已知，若共面，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知，利用向量相等，列方程组求实数的值.【详解】若共面，则，即，所以，解得：.故选：B【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型.3. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
3、【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可.【详解】.故选：C【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题.4. 若向量，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 或11【答案】A【解析】【分析】根据公式，计算结果.【详解】根据公式，且 解得：（舍）或.故选：A【点睛】本题考查根据空间向量夹角公式求参数，重点考查计算能力，属于基础题型，本题的易错点是容易忽略在解方程是注意这个条件.5. 在长方体中，则与平面所成角的正弦值为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据垂直关系，作，为所求角，直角三角形中求.【
4、详解】如图，作，交于点，连接，因平面，所以，又因为，且，所以平面，即为所求角， 所以，所以 .故选：D【点睛】本题考查线面角的几何求法，重点考查垂直关系，属于基础题型.6. 四棱锥中，则这个四棱锥的高为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出平面的法向量，计算法向量与的夹角得出与平面的夹角，从而可求出到平面的距离【详解】解：设平面的法向量为，则，令可得，即，2，设与平面所成角为，则，于是到平面的距离为，即四棱锥的高为故选：【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题7. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】
5、首先求出向量在向量上的投影，从而求出投影向量，【详解】解：因为，所以，所以向量在向量上的投影为设向量在向量上的投影向量为，则且，所以，所以，解得所以故选：B【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.8. 三棱柱侧棱与底面垂直，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论【详解】如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则0，平面ABC的一个法向量为0，设直线PN与平面ABC所成的角为，当时，此
6、时角最大故选A【点睛】本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 下列命题中不正确的是（ ）A. 是共线的充要条件B. 若共线，则C. 三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面D. 若为空间四点，且有不共线，则是三点共线的充分不必要条件【答案】ABD【解析】【分析】由向量的共线性质，可判定A不正确；由向量的共线与点共线的关系，可判定B不正确；由空间向量的基本定理可判定C正确；由
7、向量的共线定理，可判定D不正确.【详解】由，可得向量的方向相反，此时向量共线，反之，当向量同向时，不能得到，所以A不正确；若共线，则或四点共线，所以B不正确；由三点不共线，对空间任意一点，若，因为，可得四点共面，故C正确；若为空间四点，且有不共线，当时，即，可得，即，所以三点共线，反之也成立，即是三点共线的充要条件，所以D不正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了以向量的基本定理及向量共线的性质的判定为背景的命题的真假判定，其中解答解答中熟记平面向量的共线定理和平面向量的基本定理，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力.10. 已知空间三点，则下列说法正确的是（
8、）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】由坐标求出，即可依次计算判断每个选项正误.【详解】，故A正确；不存在实数，使得，故不共线，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.11. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，则以下结论正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】如图，连接AC和BD交于O，连接SO，由题可知OA，OB，OS两两垂直，则以OA，OB，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用坐标计算即可判断.【详解】如图，连接AC和BD交于O，连接SO，由题可知OA，OB，OS两两垂直，则以OA，O
9、B，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，底面是边长为的正方形，则, ，故A错误；，故B错误；，故C正确；，即，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查空间向量的计算，属于基础题.12. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （ ）A. 直线平面B. 三棱锥的体积为定值C. 异面直线与所成角的取值范围是D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】利用线面垂直的性质判定可判定选项A,对三棱锥转化顶点可判定选项B,找到异面成角的最小值的情况即可判断选项C,转化直线与平面所成角的正弦值的最大值为直线与直线所成角的余弦值最大,进而判断选项D【详解】对于选项A,连接,由正方体
10、可得,且平面,则,所以平面,故；同理,连接,易证得,则平面,故A正确；对于选项B,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,故C错误；对于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,故D正确故选：ABD【点睛】本题考查线面垂直的判定,考查异面成角,线面成角,考查棱锥体积,考查转化思想和空间想象能力第卷三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. 若，且，则实数_.【答案】
11、【解析】【分析】利用已知条件求出，然后，求出即可.【详解】，,即，解得：.故答案为：【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.14. 已知正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是BC，AD的中点，则的值为_【答案】【解析】【分析】由正四面体的定义知，正四面体相对的棱互相垂直，从而可得出，进而得出.【详解】如图，四面体是正四面体，四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为，又点E、F分别是BC，AD的中点，.故答案为：.【点睛】本题考查了正四面体的定义，正四面体的相对的棱互相垂直，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计
12、算公式，考查了计算和推理能力，属于基础题15. 四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的重心，则直线与所成的角的余弦值为_，与底面所成的角的正弦值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由重心的性质可求得的长，从而得的长，在中，由即可得解；由底面，知，结合第一空的结果即可得解【详解】解：是的重心，底面，在中，直线与所成的角的余弦值为底面，即为与底面所成的角，由上可知，与底面所成的角的正弦值为故答案为：；【点睛】本题考查线面角的求法，理解线面角的定义以便找出线面角的平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题16. 点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该
13、四面体内切球的一条直径，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】作出图形，计算出正四面体内切球的半径，由此可求得，由空间向量数量积的运算性质得出，进而可知当点为正四面体的顶点时，取得最大值，即可得解.【详解】如下图所示：正四面体的棱长为，其内切球球心为点，连接并延长交底面于点，则为正的中心，且平面，连接并延长交于点，则为的中点，且，平面，平面，则，的面积为，正四面体的体积为，设球的半径为，则，当点位于正四面体的顶点时，取最大值，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题.四、解答题（本题共6个小题，共70分.解
14、答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，已知是四棱柱，底面是正方形，且，设.（1）试用表示；（2）已知为对角线的中点，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可表示出来；（2）由可计算出.【详解】（1） ；（2）由题意知， ，.【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题.18. 已知空间三点.（1）若点在直线上，且，求点的坐标；（2）求以为邻边的平行四边形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由点在直线上，可设，利用可求出，进而得出点的坐标；（2）由求出，进而求出，即可利用面积公式求解.【详解】解：（1），点在直线上，
15、设，.（2），所以以为邻边得平行四边形的面积为.【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，分别是的中点.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）以为 原点，以所在的直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，证明即可；（2）求出平面的法向量，利用即可求出.【详解】（1）证明：以为 原点，以所在的直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， ，所以，所以.（2），设平面的法向量为，则，令，则.设与平面所成角为，所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查向量法证明线线垂直，考查线面角的向量求法，属
16、于基础题.20. 如图，在直三棱柱中，是棱的中点，且.（1）求证： 平面；（2）求直线到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）以为原点，以，所在的直线分别为，轴，求出平面的法向量，通过数量积推出，得到平面（2）通过直线上任一点到平面的距离都相等，设直线到平面的距离为，利用空间向量的数量积转化求解即可【详解】（1）证明：以为原点，以，所在的直线分别为，轴，如图建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，则，令，则，所以，因为平面，所以平面（2）解：因为平面，所以直线上任一点到平面的距离都相等，设直线到平面的距离为，则，所以直线到平面的距离为【点睛】本题考查直线与平面垂直的
17、判断定理的应用，向量法的应用，直线到平面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题21. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，圆柱的侧面积为，.（1）求点到直线的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，证明，于是点到直线的距离等于线段的长；（2）证明平面，则为所求二面角的平面角，在直角三角形中计算即可【详解】解：（1）取的中点，连接，是的中点，是得中点，又，到直线的距离等于到直线的距离，平面，平面，即到直线的距离等于线段的长，是圆的直径，点到直线的距离为（2）设圆柱高为，则圆柱的侧面积
18、为：，解得，即，又，平面，平面，是圆的直径，又，平面，又，平面，为平面与平面所成二面角的平面角，由平面可得，在直角三角形中，所以平面与平面的夹角的余弦值为【点睛】本题考查了线面平行与垂直的判定，考查空间距离与空间角的计算，属于中档题22. 如图（1）所示，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）所示.（1）求证：平面；（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；（3）线段（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）不存在，答案见解析.【解析】【分析】(1)证明垂直平面内两条相交直线即可；(2)建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面的法向量，利用向量夹角公式，即可得与平面所成角.(3)假设存在点，设点的坐标为，求出平面法向量，假设平面与平面垂直，则，得出的值，从而得出结论.【详解】（1），,是平面内两条相交直线，平面,又平面，,又,是平面内的两条相交直线，平面.（2）如图建系，则，设平面的一个法向量为则 取，得，又，与平面所成角，与平面所成角的大小.（3）设点的坐标为，设平面的法向量为，则，令，则.要使平面与平面垂直，需，解得，不满足条件.所以不存在这样的点.【点睛】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会，是中档题.
