1、高二数学学科 试题 第 1 页 共 4 页 绝密考试结束前 衢温“5+1”联盟 2022 学年第一学期高二年级期中联考 数 学 试题 命题：浙江省开化中学 程有弟 李承法 张小臣 审题：衢州三中 陈 旭 考生须知：1本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题纸 选择题部分 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合20,(2)(3)0Ax xBx x
2、x=+=+，则 AB=（）A.2,2)B.(3,2)C.2,)+D.(3,2 2.复数 3i12i+在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知圆221:(2)(2)9(2)Cxmymm+=与圆222:88340Cxyxym+=，则“4m=”是“圆1C 与圆2C 外切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，四面体OABC 中，点 E 为OA中点，F 为 BE 中点，G 为CF 中点，设OAa=，OBb=，OCc=，若OG 可用 a b c，表示为（）A.111442abc+B.11184
3、2abc+C.111844abc+D.111882abc+5.设781log 2,log 3,2abc=则（）A.abcB.bacC.acbD.cba6.已知圆锥底面半径为1，母线长为 2，则该圆锥的外接球的表面积为（）A 8 3B16 3C8 D167.超市举行回馈顾客有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后可参加抽奖活动，抽奖原则是：从装有 4 个红球、6 个黄球的甲箱和装有5个红球、5个黄球的乙箱中，各随机摸出一 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖，得奖金 20 元；若只有1个红球，则获二等奖，得奖金10元；若没有红球，则不获奖现某顾客有3次摸奖机会，则该顾客3次摸奖共获得
4、40 元奖励的概率为（）A.93500B.320C.31500D.9250高二数学学科 试题 第 2 页 共 4 页 8.已知正方形 ABCD的边长为 2，点 M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2 MBMD+的最小值为（）A.152B.15C.172D.17二、选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知直线:(12)(1)330(R)lxy+=，圆222:(2)(1)(0)Cxya a+=，下列说法正确的是（）A.圆C 的圆心为(2,1)C，半径 ra=B.直线l
5、 与圆相交且平分圆C 的面积与周长C.若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，则0=D.若直线l 的倾斜角为 2，则1=10.关于函数()22cos3cos 212f xxx=+的描述正确的是（）A.函数()f x 图象的一条对称轴为直线23x=B.函数()f x 在 ,6 2上单调递增C.函数()f x 在0,上有 2 个零点D.将()f x 的图象向右平移 6 个单位，所得图象关于原点对称11.几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段 AB
6、上的点,且,(0,0),ACa BCb abO=为 AB 中点，以 AB为直径作半圆，过点C 作 AB 的垂线，交半圆于 D，连接,OD AD BD,过点C 作OD 的垂线，垂足为 E，取弧 AB 的中点 F，连接 FC，则该图形可以完成的所有无字证明为（）A.2abab+B.222abab+C.211abab+D.2222abab+12.如图，若正方体的梭长为2，点 P 是正方体1111ABCDABC D的底面1111A B C D 上的一个动点（含边界），Q 是棱1CC 的中点，则下列结论正确的是（）A.若保持160PQC=，则点 P 在底面1111A B C D 内运动路径的长度为32B
7、.三棱锥1DPBQ体积的最大值为 43C.若 PQBD，则二面角11BPQC的余弦值的最大值为155D.若 PQBD，则 AB 与 PQ 所成角的余弦值的最大值为 23高二数学学科 试题 第 3 页 共 4 页 非选择题部分 三、填空题:本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13.已知平面上三点(1,1),(5,4),(4,1)ABC,则 AB 在 AC 上的投影向量的坐标为 .14.如图长方体1111ABCDABC D中，15,12AAAB=，上底 面1111A B C D 的中心O 到平面11A BCD 的距离是 .15.设()f x 是定义在 R 上的奇函数,且()()2fxf
8、 x=,若122f=，则92f =.16.已知12FF、为椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点，点 P 为该椭圆上一点，且满足1260F PF=，若12PF F的外接圆面积是其内切圆面积的64 倍，则该椭圆的离心率为 .四、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步诹.17.（10 分）在ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c.已知 22 coscabA=+.（1）求角 B 的值；（2）若1ca=，且13cos13C=，求ABC的面积.18.（12 分）某山村海拔较高，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村民政部门为此
9、组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶，扶贫组在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展乡村经济，带动全村父老乡亲脱贫奔小康为了解贫困户的帮扶情况，该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100 户对去年的年收入进行了一个抽样调查，得到如下表所示的频数表：收入 千元 6,8)8,10)10,12)12,14)14,16)16,18 频数 151035201010（1）估计本村的贫困户的年收入的众数、第 75 百分位数和平均数；（2）用分层抽样的方法从这100 户贫困户抽取 20 户贫困户进行帮扶，若再从抽样调查收入在6,8)和8,10)的贫困户中随机选取 2 户作为重点帮扶对象，求至少有一户来自收入在8
10、,10)千元的概率；19.（12 分）已知在梯形 ABCD中，ADBC=，(1,1)A ，(3,1)B，1 17(,)5 5C，E 为 AD 中点.（1）求直线CD 的方程；（2）求ABE的外接圆的方程及该圆上一点到点C 的距离的最小值.高二数学学科 试题 第 4 页 共 4 页 20.（12 分）函数221(),()31xxf xg xxaxx+=+.（1）当1,4x时，总有()g xa成立，求实数 a 的取值范围；（2）若3a ，对122,),2,)xx+，使得12()()f xg x=，求实数 a 的取值范围.21.（12 分）如图 1，等腰梯形 AECD是由三个全等的等边三角形拼成，现
11、将BCE沿 BC 翻折至 BCP，使得32PDAB=，如图 2 所示.（1）求证：PDBC;（2）在直线 PD 上是否存在点 M,使得直线 BM 与平面 APD所成角的余弦值为104？若存在，求出 PMDM 的值；若不存在，说明理由.22.（12 分）已知椭圆22221(0)xyCabab+=：的离心率为 12，其左、右焦点为12FF、，过2F 作不与 x轴重合的直线 l 交椭圆C 于 MN、两点，1F MN的周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）设线段 MN 的垂直平分线 1l 交 x 轴于点 P，是 否存在实数 ，使得2MNPF=？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由（3）以1F 为
12、圆心 4 为半径作圆，过2F 作直线 21/ll 交圆1F 于 A、B 两点，求四边形 AMBN 的面 积的最小值及取得最小值时直线 l 的方程.衢温“5+1”联盟 2022 学年第一学期高二年级期中联考 数 学 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678选项ADCBCBAD二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9101112BDACACDABD三、填空题（本
13、大题共 4 小题，多空题每题 5 分，共 20 分)13(4,0)14 301315 216 45四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.解：（1）22 cos 2sinsin2sincoscabACABA=+=+，.2 分 2sin()sin2sincosABCABABA+=+=+，.3 分12cossinsin cos 2BAAB=，3B=.5 分132 39(2)cos sin1313CC=，.6 分3 39sinsin()26ABC=+=.7 分,43sinsinacacAC=由得8 分又1ca=，所以解得34ac=，.9 分1sin3
14、 32ABCSacB=10 分18.解：（1）众数为1012112+=；2 分由于前三组的频率之和为0.150.100.350.60+=，前四组的频率之和为0.050.300.350.100.80+=，第 75 百分位数在第 4 组中,设第75 百分位数为，则有：120.750.6020.2t=，解得：13.5t=,即第75 百分位数为13.5；4 分 平均数为7 0.159 0.1 11 0.35 13 0.2 15 0.1 17 0.1 11.6+=；6 分（2）由分层抽样比例为100:205:1=，所以这在6,8)和8,10)的贫困户两组中所抽取的人数分别为 3，2.8 分 记年收入在6
15、,8)的 3名贫困户分别为,A B C，年收入在8,10)的名贫困户分别为,a b，则从中随机抽取 2 户的所有可能结果为：,AB AC BC Aa Ab，,Ba Bb Ca Cb ab 共10种，其中抽到至少有一名在8,10)的贫困户的可能结果：,Aa Ab，,Ba Bb Ca Cb ab，有 7 种，10 分故年收入在8,10)的贫困户至少有 人被抽到的概率：710P=12 分19.解：（1）因为梯形 ABCD，ADBC=，故/ABDC，所以12CDABkk=，2 分 又直线CD 过点1 17(,)5 5C，所以直线CD 的方程为：1711()525yx=+，即270 xy+=4 分（2）
16、设点(,)D m n，则270mn+=又由 ADBC=，得22(1)(1)4mn+=联立，解得13mn=或21575mn=（舍,此时四边形 ABCD为平行四边形）7 分 即(1,3)D，从而 AD 中点(1,1)E，又(3,1)B，所以 BEAE，即 ABE为直角三角形，所以 ABE的外接圆圆心为 AB 的中点(1,0)F，半径152rAB=，所以 ABE外接圆方程为22(1)5xy+=.10 分 由22117(1)(0)1355CF=+=，得 ABE的外接圆的方程及该圆上一点到点C 的最小值为 13512 分（设 ABE的外接圆方程为220 xyDxEyF+=，则20210300204DEF
17、DDEFEDEFF+=+=+=，所以 ABE的外接圆方程为22240 xyx+=.求圆方程这部分给 3 分）20.解：（1）方法一：由()g xa得2(1)(3)a xx+，.2 分当1x=时，此时Ra；.3 分当14x时，234(12)11xaxxx+=+，14x，10 x ，44122(1)2611xxxx+=，当且仅当411xx=时等号成立，即3x=时等号成立，6a 6 分方法二：2()1,4301,4g xaxxaxax+对恒成立对恒成立，设2()3,1,4h xxaxa x=+，对称轴为2ax=，2 分 当12a，即2a 时，只需min()(1)40h xh=，符合题意；当142a，
18、即 82a 时，只需2min()()306224aah xhaa=+，故 62a ；当42a，即8a 时，只需min19()(4)19303h xhaa=+，又8a ，无解.5 分综上所述，6a .6 分（2）)(),2,(),2,Ay yf x xBy yg x xAB=+=+记由题意得.8 分()1()113,231f xxxAy yx=+=又当时，等号成立，=9 分)3,()2+ag x 在，上单调递增()(2)72,72g xgaBy ya=+=+.10 分,723,2ABaa+即(3,3,2aa 又.12 分21.证明：（1）在图 1 连接 DE 交 BC 于O 点，则在图 2 中，
19、BCD、BCP 都是等边三角形，,DOBC POBC,.2 分 DOPOO=,直线 BC 平面 POD,.4 分 直线 PD 平面 POD，PDBC.5 分（2）解法一假设存在点 M，符合题意.设2AB=,则3PD=，则在 POD 中，由3,3ODOPPD=,由余弦定理得120POD=，6 分由（1）得直线 BC 平面 POD，又/ADBC,直线 AD 平面 POD,AD 平面 ADP，平面 ADP 平面 POD 作OQPD,垂足为Q，则OQ 平面 ADP,在 POD，由3,3ODOPDP=,120POD=所以32OQ=7 分 如图 3，取 AP 中点 N，连接 BN，QN，由1/2QNAD=
20、，1/2OBAD=得四边形 BNQO 为平行四边形，因为OQ 平面 ADP,所以 BN 平面 ADP，则直线 BM 与平面 APD所成角 为BMN，且32BNOQ=.9 分 由已知10cos4=，26sin1cos4=,由3sin2BNBMBMN=，得2BM=在 BDM 中，设 DMt=，由余弦定理得222222232(2)222223tt+=+即2320tt+=，解得1t=或2t=.11 分所以存在点 M,使得直线 BM 与平面 APD所成角的余弦值为104，此时2PMDM=或 12.12 分解法二（等体积法）：设2AB=,则3PD=,则在 POD 中，由3,3ODOPPD=,由余弦定理得1
21、20POD=，6 分 作 PHDO,垂足为 H,连接OH,得60POH=,3sin602PHPO=，由（1）得直线 BC 平面 POD，又/ADBC,直线 AD 平面 POD,ADPD,所以 ADP是直角三角形，所以 ADP的面积为 1123322ADPD=，设点 B 到平面 ADP的距离为h，由P ABDB ADPVV=得 1113323432342h =，得32h=，.9 分设直线 BM 与平面 APD所成角为，则10cos4=，所以26sin1cos4=所以3sin2hBM=，得2BM=,在 BDM 中，设 DMt=，由余弦定理得222222232(2)222223tt+=+即2320t
22、t+=，解得1t=或2t=.11 分所以存在点 M,使得直线 BM 与平面 APD所成角的余弦值为104，此时2PMDM=或 12 12 分 解法三（向量法）由解法一知32PH=,如图 3，以 BC 的中点O 为原点，,OB DB OZ 分别为,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(2,3,0)BA,(0,3,0)D,所以3 3(0,)22P，因此，(2,0,0)AD=,33(0,3,)22PD=,.7 分设平面 ADP的法向量为(,)nx y z=，则由00n ADn PD=得203 33022xyz=，取法向量(0,1,3)n=，.9 分设存在存在点 M,(01)D
23、MDP=,满足题意,则3 3 33 33(0,)(0,)2222DM=，所以 BMBDDM=+3 33(1,3,)22=,设直线 BM 与平面 APD所成角为，则10cos4=，所以26sin1cos4=所以sincos,BM nBM nBMn=23642 994=+，解得1221,33=，11 分 所以存在点 M,使得直线 BM 与平面 APD所成角的余弦值为104，此时2PMDM=或 12 12 分22.【解析】（1）根据椭圆定义知1F MN周长为 4a，依题意有122148caaca=，从而2223bac=，故椭圆C 的方程为22143xy+=.3 分（2）设:1l xmy=+，1122
24、(,),(,)M x yN xy，由22221(34)690431xymymyxmy+=+=+，则121222693434myyy ymm+=+，4 分所以22222121212222363611()41(34)34mMNmyymyyy ymmm=+=+=+2212(1)34mm+=+，5 分 设线段 MN 中点坐标为00(,)xy，则12023234yymym+=+，0024134xmym=+=+，即设线段 MN 中点坐标为2243(,)34 34mmm+，所以线段 MN 的垂直平分线 1l 方程为：2234()3434mym xmm+=+，6 分 令0y=，当0m=时，1l 与 x 轴重合
25、，不合题意；当0m 时，得2134xm=+，即点21(,0)34Pm+，所以222213(1)13434mPFmm+=+，7 分 所以24MNPF=，即存在4=满足题设 8 分（3）直线 2:(1)lym x=，即0mxym+=，圆心1(1,0)F 到直线 2l 的距离为221mdm=+，9 分 则弦 AB 的长：22222243422 16411mmABrdmm+=+，10 分 所以222222113412(1)14242213434AMBNmmmSABMNmmm+=+四边形，11 分 设21mt+=，则21mt=，且1t ，所以2211242424131343AMBNmtStmt+=+四边形，易知1()2413f tt=+在1,)+单调递增，所以当1t=，即0m=时，()min12AMBNS=四边形，此时直线:1l x=12 分
