1、课后素养落实(二十五)直线与圆锥曲线的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1已知双曲线1的右焦点为F，过点F作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A，O为坐标原点，则SOAF()A3B3C2DD双曲线1的右焦点为F(3，0)，F到渐近线x2y0的距离|FA|则|AO|2则SOAF|FA|OA|22直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为()A48B56C64D72A由消去y得，x210x90，x1或9，或|AP|10，|BQ|2或|BQ|10，|AP|2，|PQ|8，梯形APQB的面积为48，故选A3过椭圆x22y24的
2、左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()ABCDB椭圆的方程可化为1，F(，0)又直线AB的斜率为，直线AB的方程为yx由得7x212x80设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|4已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4B8C16D32B因为抛物线C：y28x的焦点为F(2，0)，准线为x2，所以K(2，0)，设A(x0，y0)，如图所示，过点A向准线作垂线，垂足为B，则B(2，y0)因为|AK|AF|，又|AF|AB|x0(2)x02，所以由|BK|2|AK|2|AB|2，得y(x02)2
3、，即8x0(x02)2，解得x02，y04，所以SAFK的面积为|KF|y0|4485如果AB是椭圆1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kABkOM的值为()Ae1B1eCe21D1e2C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，1，1，作差得，所以kABkOMe21二、填空题6直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_0或1当k0时，直线与抛物线有唯一交点，当k0时，联立方程消y得：k2x24(k2)x40，由题意16(k2)216k20，k17若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大
4、值为_6由1可得F(1，0)设P(x，y)，2x2，则x2xy2x2x3x2x3(x2)22，当且仅当x2时，取得最大值68设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_ 设双曲线方程为1(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为yx，而kBF1，整理得b2acc2a2ac0两边同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)三、解答题9已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解(1)证明：如图所示，显然k0，由消去x得，ky2yk0设A(x1，y1)，B(x2
5、，y2)，由根与系数的关系得y1y21，y1y2A，B在抛物线y2x上，yx1，yx2，yyx1x2kOAkOB1，OAOB(2)设直线与x轴交于点N，显然k0令y0，得x1，即N(1，0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，SOAB1SOAB，解得k10已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x3)2(y1)23相切(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标解(1)圆M的圆心为(3，1)，半径r由题意知A(0，1)，F(c，0)，直线AF的方程为y1，即xcy
6、c0由直线AF与圆M相切，得，解得c22，所以a2c213，故椭圆C的方程为y21(2)法一：由0知APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为ykx1(k0)，则直线AQ的方程为yx1由消去y并整理得(13k2)x26kx0，解得x0或x，故点P的坐标为，同理，得点Q的坐标为所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为y，即yx所以直线l过定点法二：由0知APAQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为ykxt(t1)，由消去y并整理得(13k2)x26ktx3(t21)0设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(*)由(6kt)24(13k2)3(t21)0，得3k2t2
7、1由0，得(x1，y11)(x2，y21)(1k2)x1x2k(t1)(x1x2)(t1)20，将(*)代入，得t所以直线l过定点1已知椭圆C：y21的左、右顶点分别为A，B，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，PB分别交直线x4于M，N两点，则|MN|的最小值为()A2B2C4D4B依题意可知，直线AP，PB的斜率存在且不为零根据椭圆的几何性质可知A(2，0)，B(2，0)设直线AP的方程为yk(x2)，令x4，得yM6k由消去y，得(14k2)x216k2x16k240，解得xA2，xP，故yPk(xP2)所以kPB故直线PB的方程为y(x2)，令x4，得yN所以|MN|yMyN
8、|6k|22，当且仅当|6k|，即|k|时，等号成立故|MN|的最小值为22(多选题)已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q若抛物线C上存在一点E(t，2)到焦点F的距离等于3则下列说法正确的是()A抛物线的方程是x22yB抛物线的准线是y1CsinQMN的最小值是D线段AB的最小值是6BC抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，得抛物线的准线方程为y，点E(t，2)到焦点F的距离等于3，可得23，解得p2，则抛物线C的方程为x24y，所以A不正确；抛物线的准线方程：y1，所以B正确；由题知直线l
9、的斜率存在，F(0，1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为ykx1，由消去y得x24kx40，所以x1x24k，x1x24，所以y1y2k(x1x2)24k22，所以AB的中点Q的坐标为(2k，2k21)，|AB|y1y2p4k2224k24，所以圆Q的半径为r2k22，在等腰QMN中，sinQMN11，当且仅当k0时取等号所以sinQMN的最小值为所以C正确；线段AB的最小值是：y1y224k244所以D不正确3椭圆1(ab0)第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e_，若此三角形的面积是4，则b2_18如图，由OPF为正三角形，可得P，代入椭圆方
10、程，可得1，又b2a2c2，得(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，解得e1，若SOPFcc4，则c4，a2168，则b2a2c284过抛物线y22px(p0)的焦点F且斜率大于0的直线l交抛物线于点A，B(点A在第一象限)，交其准线于点C，若|BC|3|BF|，则直线AB的斜率为_2如图，作BDl于D(l是准线)，则|BD|BF|，由题意|BC|3|BD|，|CD|2|BD|，tanCBD2，由BDl知BDx轴，CBD与直线AB倾斜角相等，AB的斜率为2如图，椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB
11、的长为(1)求椭圆C的方程(2)若点E的坐标为，点A在第一象限且横坐标为，过点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求PAB的面积(3)是否存在点E，使得为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)由，设a3k(k0)，则ck，b23k2，所以椭圆C的方程为1当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，xAxBk，将xk代入椭圆方程，解得yk，于是2k，即k，所以椭圆C的方程为1(2)将x代入1，解得y1因为点A在第一象限，所以A(，1)，由点E的坐标为，得kAB，则直线AB的方程为y，联立直线AB与椭圆C的方程，解得B又PA过原点O，则P(，1)，|PA|4，直线PA的方程为xy0，所以点B到直线PA的距离h，所以SPAB4(3)假设存在点E，使得为定值，设E(x0，0)当直线AB与x轴重合时，有，当直线AB与x轴垂直时，有，由，解得x0，2，所以若存在点E，此时点E的坐标为(，0)，为定值2根据对称性，只需考虑直线AB过点E(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为xmy由得(m23)y22my30，所以y1y2，y1y2又，所以2综上所述，存在点E(，0)，使得为定值2
