1、20212022学年第一学期高三年级第一次月考理科数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合，则等于（ ）A. B. C. D. 2. 已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个3. “”是“函数在区间上为增函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知，是两个命题，若是假命题，那么（ ）A. 是真命题且是假命题B. 真命题且是真命题C. 是假命题且是真命题D. 是假命题且是假命题5. 已知函数，则
2、等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 7. 定义在上的函数，则（ ）A. 既是奇函数，又是增函数B. 既是奇函数，又是减函数C. 既是偶函数，又是增函数D. 既是偶函数，又是减函数8. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 9. 已知函数，则（ ）A. 的图象关于点对称B. 的图象关于直线对称C. 在上单调递减D. 在上单调递减，在上单调递增10. 已知，当时，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 11. 已知函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 12. 已知定义在上的函数
3、，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在上单调递减，设函数，则对任意，均有（ ）A. B. C. D. 第卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）13. 设集合，则的一个充分不必要条件是_.14. 若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为_.15. 已知是上的减函数，那么的取值范围是_.16. 如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列有关说法中：函数是圆：的一个太极函数；函数是圆：的一个太极函数；函数是圆：的一个
4、太极函数函数是圆：的一个太极函数.所有正确的是_.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知集合，集合，集合.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.18. 设命题：函数的定义域为；命题：不等式对任意恒成立.（1）如果是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“或”为真命题且“且”为假命题，求实数的取值范围.19. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）解关于的不等式.20. 设函数，已知的解集为.（1）求，的值；（2）若函数在区间上的最小值为-4，求实数的值.21. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越
5、来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.（1）试判断哪个函数模型更适合并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.（参考数据：，）.22. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.理科数学答案及解析1. D 2
6、. D 3. A 4. A 5. B 6. D 7. A 8. A 9. A 10. B 11. A 12. C 13. （或或）14. 15. 16. 17. 解 （1），或，.于是，解得，.（2），.若，则，即；若，则或，解得，综上，实数的取值范围是或.18. 解 （1）命题是真命题，则恒成立，得，即，所以的取值范围为.（2）若命题是真命题，则不等式对一切均成立，设，令，则，当时，所以.若命题“”为真命题，“”为假命题，则，一真一假.即有或，综上，实数的取值范围为.19. 解 （1）由题意，得当时，则，由是定义在上的奇函数，得，且，综上，.（2）当时，解得，所以；当时，显然成立，所以成立当
7、时，解得.综上，不等式的解集为.20. 解 （1）由的解集为可得的解为，则，则，此时即为，满足题意.，.（2），二次函数在上单调递减，在上单调递增，当，即时，在上单调递减，的最小值为，则，解得，不满足；当，即时，在上先递减后递增，的最小值为，则，解得或-4，由，可得；当，即时，在上单调递增，的最小值为，不满足最小值为-4.综上可知，.21. 解 （1）函数与在上都是增函数，随着的增加，函数的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤明莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型符合要求.根据题意可知当时，；当时，所以，解得.故该函数模型的解析式为，.（2）当时，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，由，得，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.22. 解 （1）对于函数的定文域内存在，则无解，故不是“依赖函数”.（2）因为在上单调递增，故，即，由，故，得，从而在上单调递增，故.（3）若，故在上的最小值为0，此时不存在，舍去；若，故在上单调递减，从而，解得（舍）或，从而存在，使得对任意的，有不等式都成立，即恒成立，由，得.由，可得，又在上单调递减，故当时，从而，解得，综上，实数的最大值为.
