1、课时素养检测四十九正切函数的性质与图象(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)已知函数f(x)=cos x,则下列说法正确的是()A.f(x)的最小正周期为B.f(x)的值域为-1,1C.f(x)在区间上单调递增D.f(x)的图象关于中心对称【解析】选C、D.因为f(x+)=cos(x+)=-cos xf(x),所以不是函数的周期,A错;当tan x0时,f(x)=sin x,当tan x0时,f(x)=-sin x,因为x,所以sin x1,所以f(x)的值域为(-1,1),B错;当x时,f(x)=-sin
2、x是单调递增的,C正确;f=cos=-cos=-cos=-f,所以函数f(x)的图象关于点成中心对称.D正确.2.下列函数中,同时满足:在上是增函数,为奇函数,以为最小正周期的函数的是()A.y=tan xB.y=cos xC.y=tanD.y=|sin x|【解析】选A.选项B,D所给函数都是偶函数,不符合题意;选项C中所给的函数的周期为2,不符合题意.3.函数f(x)=的定义域为()A.x|xR且x,kZB.x|xR且xk+,kZC.x|xR且xk+,kZD.x|xR且xk-,kZ【解析】选A.(kZ)得所以x且x,x,kZ.【补偿训练】函数f(x)=-2tan的定义域是()A.B.C.D
3、.【解析】选D.由2x+k,得x+,kZ.所以函数f(x)=-2tan的定义域是.4.f(x)=-tan的单调区间是()A.,kZB.(k,(k+1),kZC.,kZD.,kZ【解析】选C.令-+kx+k,kZ,解得-+kx0)的图象上的相邻两支曲线截直线y=1所得的线段长为,则的值是()A.1B.2C.4D.8【解析】选C.由题意可得f(x)的周期为,则=,所以=4.【补偿训练】已知函数f(x)=tan,则下列说法中正确的是()A.函数f(x)图象的对称中心为,kZB.函数f(x)图象的一条对称轴方程是x=C.函数f(x)在区间上为增函数D.函数f(x)的最小正周期是【解析】选D.对于A,当
4、x+=k或x+=k+时,即或(kZ) 是函数的对称中心,故错误;对于B,正切型函数无对称轴,故错误;对于C,当x时,x+,正切函数在此区间不单调,故错误;对于D,周期T= ,故正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在(0,2)内,使tan x1成立的x的取值范围为_.【解析】利用图象y=tan x位于y=1上方的部分对应的x的取值范围可知.答案:8.tan 2与tan 3的大小关系是_(用“”连接).【解析】因为23,函数y=tan x在上单调递增,所以tan 2tan 3.答案:tan 2tan 3三、解答题(每小题10分,共20分)9.求函数y=tan 2x的定义域、值域和周期,并作
5、出它在区间-,内的图象.【解析】定义域为;值域为(-,+);周期为;对应图象如图所示:10.若函数f(x)=2tan(0)的最小正周期为2,求f(x)的单调区间.【解析】因为f(x)=2tan(0)的最小正周期为2,所以=2,所以|=.又因为0,所以=-.即f(x)=2tan=-2tan.由k-x+k+(kZ),得2k-x2k+(kZ),所以函数f(x)的单调减区间为(kZ).【补偿训练】求函数y=tan的单调区间及最小正周期.【解析】y=tan=-tan,由k-x-k+(kZ),得2k-x2k+(kZ),所以函数y=tan的单调递减区间是,kZ,周期T=2.(35分钟70分)一、选择题(每小
6、题5分,共20分)1.关于函数f(x)=的性质,下列叙述不正确的是()A.f(x)的最小正周期为B.f(x)是偶函数C.f(x)的图象关于直线x=(kZ)对称D.f(x)在每一个区间(kZ)内单调递增【解析】选A.因为f=f(x),所以A错;f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,B正确;结合f(x)=的图象可知,C、D均正确.2.函数y=的定义域为()A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ【解析】选C.由题可知,1-tan0,tan1,-+kx-+k,kZ,-+kx+k,kZ.x+k,kZ,所以x,kZ.3.已知函数y=tan x在内单调递减,则()A.01B.-10C.1D.-1
7、【解析】选B.因为y=tan x在内是减函数,所以0且T=,所以|1,即-10.【补偿训练】函数y=|tan|的单调增区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)【解析】选D.令t=x+,则y=|tant|的单调增区间为(kZ).由kx+k+,得k-xk+(kZ).4.若a=lotan 70,b=losin 25,c=locos 25,则()A.abcB.bcaC.cbaD.acb【解析】选D.因为0sin 25sin 65=cos 251=tan 45locos 25lotan 70,即acb.二、填空题(每小题5分,共20分)5.y=tan满足下列哪些条件_(填序号).在上单
8、调递增;为奇函数;以为最小正周期;定义域为x|x+,kZ.【解析】令x,则,所以y=tan在上单调递增,正确;tan=-tan,故y=tan为奇函数,正确;T=2,所以不正确;由+k,kZ,得x|x+2k,kZ,所以不正确.答案:6.函数y=tan的单调递增区间为_.【解析】令=2x-,因为y=tan 的增区间是,kZ,所以2x-,kZ,所以x,kZ.答案:,kZ7.给出下列命题:(1)函数y=tan|x|不是周期函数;(2)函数y=tan x在定义域内是增函数;(3)函数y=的周期是;(4)y=sin是偶函数.其中正确命题的序号是_.【解析】y=tan|x|是偶函数,由图象知不是周期函数,因
9、此(1)正确;y=tan x在每一个区间(kZ)内都是增函数,但在定义域上不是增函数,所以(2)错;y=的周期是.所以(3)正确;y=sin=cos x是偶函数,所以(4)正确.因此,正确的命题的序号是(1)(3)(4).答案:(1)(3)(4)8.若tan1,则x的取值范围是_.【解析】令z=2x-,在上满足tan z1的z的值是-z,在整个定义域上有-+kz+k,解不等式-+k2x-+k,得-+x+,kZ.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知-x,f(x)=tan2x+2tan x+2,求f(x)的最值及相应的x值.【解析】因为-x,所以-tan x1,f(x)=tan2x+
10、2tan x+2=(tan x+1)2+1,当tan x=-1即x=-时,f(x)有最小值1,当tan x=1即x=时,f(x)有最大值5.10.已知函数f(x)=3tan.(1)求f(x)的定义域、值域.(2)讨论f(x)的周期性,奇偶性和单调性.【解析】(1)由x-+k,kZ,解得x+2k,kZ.所以定义域为x|x+2k,kZ,值域为R.(2)f(x)为周期函数,周期T=2.f(x)为非奇非偶函数.由-+kx-+k,kZ,解得-+2kx+2k,kZ.所以函数的单调递增区间为(kZ).11.已知函数f(x)=x2+2xtan -1,其中+k,kZ.(1)当=-,x-1,时,求函数f(x)的最大值与最小值;(2)函数g(x)=为奇函数,求的值;(3)求的取值范围,使y=f(x)在区间-1,上是单调的.【解析】(1)当=-时,f(x)=x2-x-1=-, 因为x,所以当x=时,f(x)min=-,当x=-1时,f(x)max=.(2)g=x-+2tan ,因为g为奇函数,所以0=g+g=-x+2tan +x-+2tan =4tan ,所以tan =0,所以=k,kZ.(3)函数f(x)的对称轴为x=-tan ,因为f(x)在区间上是单调的,所以-tan -1或-tan ,即tan -或tan 1,则-+k-+k,kZ或+k+k,kZ.
