1、23.4平面向量共线的坐标表示预习课本P98100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？ 平面向量共线的坐标表示前提条件a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0结论当且仅当x1y2x2y10时，向量a、b(b0)共线点睛(1)平面向量共线的坐标表示还可以写成(x20，y20)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a0，b0时，ab，此时x1y2x2y10也成立，即对任意向量a，b都有：x1y2x2y10ab.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则必有x1y2x2y1.()(2)向
2、量(2,3)与向量(4，6)反向()答案：(1)(2)2若向量a(1,2)，b(2,3)，则与ab共线的向量可以是()A(2,1)B(1,2)C(6,10)D(6,10)答案：C3已知a(1,2)，b(x,4)，若ab，则x等于()A B. C2 D2答案：D4已知向量a(2,3)，ba，向量b的起点为A(1,2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为_答案：向量共线的判定典例(1)已知向量a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，则的值等于()A.B.C1D2(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解析(1)法一：
3、a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)，由(a2b)(2a2b)可得2(12)4(22)0，解得.法二：假设a，b不共线，则由(a2b)(2a2b)可得a2b(2a2b)，从而方程组显然无解，即a2b与2a2b不共线，这与(a2b)(2a2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以，即.答案A(2)解(0,4)(2,1)(2,3)，(5，3)(1,3)(4，6)，(2)(6)340，共线又2，方向相反综上，与共线且方向相反向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由ab(b0)推出ab.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10直接求解活
4、学活用已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，若kab与a3b平行，则4(k3)10(2k2)0，解得k，此时kabab(a3b)，故kab与a3b反向k时，kab与a3b平行且方向相反三点共线问题典例(1)已知(3,4)，(7,12)，(9,16)，求证：A，B，C三点共线；(2)设向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解(1)证明：(4,8)，(6,12)，即与共线又与有公共点A，A，B，C三点共线(2)
5、若A，B，C三点共线，则，共线，(4k，7)，(10k，k12)，(4k)(k12)7(10k)0.解得k2或k11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用，或，或都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式活学活用设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？解：(2x,2)(x,1)(x,1)，(1,2x)(2x,2)(12x,2x2)，(5,3x)(1,2x
6、)(4，x)由与共线，所以x214，所以x2.又与方向相同，所以x2.此时，(2,1)，(3,2)，而2231，所以与不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上所以A，B，C，D不在同一条直线上向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于E，用向量的方法证明：DEBC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系， 设| |1，则| |1，|2.CEAB，而ADDC，四边形AECD为正方形，可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)(1,1)(0,
7、0)(1,1)，(0,1)(1,0)(1,1)，即DEBC.题点二：几何形状的判断2已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形证明：由已知得，(4,3)(1,0)(3,3)，(0,2)(2,4)(2，2)3(2)3(2)0，与共线(1,2)，(2,4)(4,3)(2,1)，(1)12(2)0，与不共线四边形ABCD是梯形(2,1)，(1,2)，|，即BCAD.故四边形ABCD是等腰梯形题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标解：法一：设tt(4,4)(4t,4t)
8、，则(4t,4t)(4,0)(4t4,4t)，(2,6)(4,0)(2,6)由，共线的条件知(4t4)64t(2)0，解得t.(3,3)P点坐标为(3,3)法二：设P(x，y)，则(x，y)，(4,4)，共线，4x4y0.又(x2，y6)，(2，6)，且向量，共线，6(x2)2(6y)0.解组成的方程组，得x3，y3，点P的坐标为(3,3)应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2解析：选BA中向量
9、e1为零向量，e1e2；C中e1e2，e1e2；D中e14e2，e1e2，故选B.2已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a(2，)，若a，则实数的值为()AB.C. D解析：选C根据A，B两点的坐标，可得(3,1)，a，2130，解得，故选C.3已知A(2，1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是()A(2,1) B(6，3)C(1,2) D(4，8)解析：选D(1,2)，向量(2,1)、(6，3)、(1,2)与(1,2)不平行；(4，8)与(1,2)平行且方向相反4已知向量a(x,2)，b(3，1)，若(ab)(a2b)，则实数x的值为()A3 B2C4 D6解析：选D因为(ab)
10、(a2b)，ab(x3,1)，a2b(x6,4)，所以4(x3)(x6)0，解得x6.5设a，b，且ab，则锐角为()A30 B60C45 D75解析：选Aab，tan cos 0，即sin ，30.6已知向量a(3x1,4)与b(1,2)共线，则实数x的值为_解析：向量a(3x1,4)与b(1,2)共线，2(3x1)410，解得x1.答案：17已知A(1,4)，B(x，2)，若C(3,3)在直线AB上，则x_.解析：(x1，6)，(4，1)，(x1)240，x23.答案：238已知向量a(1,2)，b(2,3)，若ab与ab共线，则与的关系是_解析：a(1,2)，b(2,3)，ab(1,2)
11、(2,3)(1,5)，ab(1,2)(2,3)(2，23)，又(ab)(ab)，1(23)5(2)0，.答案：9已知A，B，C三点的坐标为(1,0)，(3，1)，(1,2)，并且，求证：.证明：设E，F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，依题意有(2,2)，(2,3)，(4，1)，(x11，y1)(2,2)点E的坐标为.同理点F的坐标为，.又(1)40，.10已知向量a(2,1)，b(1,1)，c(5,2)，mbc(为常数)(1)求ab；(2)若a与m平行，求实数的值解：(1)因为a(2,1)，b(1,1)，所以ab(2,1)(1,1)(3,2)(2)因为b(1,1)，c(5,2)，所
12、以mbc(1,1)(5,2)(5，2)又因为a(2,1)，且a与m平行，所以2(2)5，解得1.层级二应试能力达标1已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线解析：选C因为ab(0,1x2)，所以ab平行于y轴2若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三点共线，则y()A13B13C9 D9解析：选DA，B，C三点共线，而(8,8)，(3，y6)，8(y6)830，即y9.3已知向量a(1,0)，b(0,1)，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1
13、且c与d同向Dk1且c与d反向解析：选Da(1,0)，b(0,1)，若k1，则cab(1,1)，dab(1，1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k1，则cab(1,1)，dab(1,1)，即cd且c与d反向4已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，则第四个顶点的坐标是()A(1,5)或(5,5)B(1,5)或(3，5)C(5，5)或(3，5)D(1,5)或(5，5)或(3，5)解析：选D设A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，第四个顶点为D，若这个平行四边形为ABCD，则，D(3，5)；若这个平行四边形为ACDB，则，D(5，5)；若这个平行四边形为ACB
14、D，则，D(1,5)综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，5)或(3，5)5已知(6,1)，(x，y)，(2，3)，则x2y的值为_解析：(6,1)(x，y)(2，3)(x4，y2)，(x4，y2)(x4，y2)，x(y2)(x4)y0，即x2y0.答案：06已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为_解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线(3,1)，(2m,1m)，3(1m)2m，即m.答案：m7已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a与b之间的数量关系；(2)若2，求点C的坐标解：(1)若A，B，C三点共线，则与共线(3，1)(1,1)(2，2)，(a1，b1)，2(b1)(2)(a1)0，ab2.(2)若2，则(a1，b1)(4，4)，点C的坐标为(5，3)8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标解：设P(x，y)，则(x1，y)，(5,4)，(3,6)，(4,0)由B，P，D三点共线可得(5，4)又(54,4)，由于与共线得，(54)6120.解得，P的坐标为.
