1、课后素养落实(十九)椭圆的标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1若曲线1表示椭圆，则k的取值范围是()Ak1Bk1C1k1 D1k0或0k1D曲线1表示椭圆，解得1k1，且k02已知点M是平面内的动点，F1，F2是平面内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件C若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C
2、3已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值是()A8 B2 C10D4A由椭圆的定义得，|PF1|PF2|2a4，|PF1|PF2|8(当且仅当|PF1|PF2|时取等号)4已知ABC的周长为20，且顶点B(0，4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程为()A1(x0) B1(x0)C1(x0) D1(x0)BABC的周长为20，顶点B(0，4)，C(0，4)，BC8ABAC20812，128，点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，焦点在y轴上，a6，c4，b220，点A的轨迹方程是1(x0)5以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点
3、(0，2)的椭圆的标准方程是()A1B1C1或1D1或1C若椭圆的焦点在x轴上，则c1，b2，得a25，此时椭圆方程是1；若焦点在y轴上，则a2，c1，b23，此时椭圆方程是1二、填空题6已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为_1由题意可得故b2a2c23，所以椭圆方程为17已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则椭圆的方程为_1设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)椭圆经过点P1，P2，点P1，P2的坐标适合椭圆方程则解得所求椭圆方程为18如图所示，F1，F2分别为椭圆1的左、右
4、焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则b2_2由题意Sc2，c2，a2b24点P坐标为(1，)，把x1，y代入椭圆方程1中得1，解得b22三、解答题9求与椭圆1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程解法一：因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c225916设所求椭圆的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216又点P(3，)在所求椭圆上，所以1，即1联立可解得a236，b220，故所求椭圆的标准方程为1法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为1又椭圆过点(3，)，则1，解得11或21因为所以9，故21不符合题意，舍去故所求椭圆的标准方程为11
5、0一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x24xy2320内切，求动圆圆心M的轨迹方程解将定圆的方程化为标准形式为(x2)2y262，圆心坐标为B(2，0)，半径为6，如图由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|MC|BM|，而|BC|6，|CM|AM|，|BM|AM|6根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(2，0)和点A(2，0)为焦点的椭圆，且2a6a3，c2，b，所求圆心的轨迹方程为11(多选题)已知P是椭圆E：1上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，且F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是()A点P的纵坐标为3BF1PF2CF
6、1PF2的周长为4(1)DF1PF2的内切圆半径为(1)CD因为c2，所以|F1F2|2c4又F1PF2的面积为3，F1PF2的边F1F2上的高为，即点P的纵坐标为或，故A错误由焦点三角形面积公式可得4tan3，所以tan1，故F1PF2，故B错误F1PF2的周长等于2a2c4(1)，故C正确设内切圆半径为r，则有(44)r3，所以r(1)，故D正确2已知椭圆1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|PF2|()A35 B34 C53D43C依题意知，线段PF1的中点在y轴上，因为原点为F1F2的中点，易得y轴PF2，所以PF2x轴，则有|PF1
7、|2|PF2|24c216，又根据椭圆定义知|PF1|PF2|8，所以|PF1|PF2|2，从而|PF1|5，|PF2|3，即|PF1|PF2|533已知A(1，0)，C(1，0)是椭圆C的两个焦点，过C且垂直于x轴的直线交椭圆于M，N两点，且|MN|3，则椭圆的方程为_，若B是椭圆上一点，则ABC的最大面积为_1设椭圆的方程为1，令xc，则y，由|MN|3，得3，又a2b2c21，a24，b23，所以椭圆的方程为1，结合椭圆知当B点为椭圆与y轴交点时，SABC的面积最大，此时SABC24已知点P(0，1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大5设A(x1，
8、y1)，B(x2，y2)，由2，得即因为点A，B在椭圆上，所以得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2设F1，F2分别是椭圆y21的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，1)(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|的最大值；(2)若C为椭圆上异于B的一点，且，求的值；(3)JP4设P是该椭圆上的一个动点，求PBF1的周长的最大值解(1)因为椭圆的方程为y21，所以a2，b1，c，即|F1F2|2，又因为|PF1|PF2|2a4，所以|PF1|PF2|4，当且仅当|PF1|PF2|2时取“”，所以|PF1|PF2|的最大值为4，即|的最大值为4(2)设C(x0，y0)，B(0，1)，F1(，0)，由得x0，y0又y1，所以有2670，解得7或1，又与方向相反，故1舍去，7(3)因为|PF1|PB|4|PF2|PB|4|BF2|，所以PBF1的周长4|BF2|BF1|8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，PBF1周长最大，最大值为8
