1、一 平面直角坐标系更上一层楼基础巩固1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x2+8y2=0，则曲线C的方程为( )A.25x2+36y2=0 B.9x2+100y2=0C.10x+24y=0 D.x2+y2=0思路解析：将坐标直接代入新方程,即可得原来的曲线方程.将直接代入2x2+8y2=0,得2(5x)2+8(3y)2=0,即25x2+36y2=0为所求曲线C的方程.答案：A2ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是_.思路解析：取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则B(-2,0)、C(2,0),设A(x,y),则D(0
2、,0),所以|AD|=.答案：x2+y2=9(y0)3在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=1.思路分析：根据变换公式,分清新旧坐标代入即可.解：(1)由伸缩变换,得.将其代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x+3y=0.经过伸缩变换后,直线仍然是直线.(2)将代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是=1.经过伸缩变换后,圆变成了椭圆.4在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x2-y2-4x+3=0，求满足图象变换的伸缩变换.思路分析：x2-36y2-8x+12=0可化
3、为()2-9y2=1,x2-y2-4x+3=0可化为(x-2)2-y2=1,比较，可得x-2=,y=3y.解：伸缩变换为将曲线x2-36y2-8x+12=0所在的坐标系的x轴扩大到原来的2倍,y轴伸长到原来的3倍,就可得到曲线x2-y2-4x+3=0的图象.5已知ABC，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且有BDDC=AEEB=CFFA.求证：DEF与ABC的重心重合.思路分析：根据三角形的特点建立坐标系，利用重心坐标公式求解.证明：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图：设A(a,b),B(0,0),C(c,0),由重心G(),设=.则点D(0),E(),F().由
4、重心坐标公式，可知DEF的重心G的坐标为：(=().G与G重合.也就是DEF和ABC的重心重合.6已知ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，sinB-sinC=sinA，求点A的轨迹.思路分析：由于顶点A为动点，所以应该以底边为x轴建立坐标系，利用正弦定理求解.解：以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立xOy坐标系，这时B(-6,0)，C(6,0)，由sinB-sinC=sinA,得b-c=a=6,即|AC|-|AB|=6.所以，点A的轨迹是以B(-6,0)，C(6,0)为焦点，2a=6的双曲线的左支.其方程为=1(x-3).综合应用7如图1-1-5，已知A、B、C是直线m上
5、的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线m于点A，又过B、C作O异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P.图1-1-5（1）求点P的轨迹方程;（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成比等于23，求直线l的方程.思路分析：先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标,列出方程组求点M、N的坐标,从而求出直线方程.解：（1）|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=186
6、=|BC|.P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(ab0).a=9,c=3,b2=72.P点的轨迹方程是=1(y0).（2）设M(x1,y1)、N(x2,y2),C(3,0)分MN所成的比为,=1.又=1,由消去y2,得=1.解得x2=-3,y2=8,即N(-3,8).由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.8如图1-1-6，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.图1-1-6（1）若
7、最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）思路分析：当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到椭圆面积为最小.解：（1）如图建立坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为=1.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=,l=2a=33.3.故隧道的拱宽约为33.3米.（2）由椭圆方程=1,得=1.因为,即ab99,且l=2a,h=b,所以S=lh=.当S取最小值时,有=,
8、得a=,b=.此时l=2a=22231.1,h=b6.4.故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.9某河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？思路分析：求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线,一般用待定系数法.本题中影响通航的因素是高度和宽度,而宽度是首要的,据对称性,可取拱顶为坐标原点,拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy,设抛物线方程为x2=-2py(p0),运用代定系数法确定参数p,问题即可获解.解：根据题意,建立如图所示的直角
9、坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),A（4,-5）在抛物线上,42=-2p(-5),p=1.6.x2=-3.2y(-4x4).设当水面BB上涨到与抛物线拱顶相距h米时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽BB的端点B的坐标为（2,y1）,由22-3.2y1,得y1,h=|y1|+=|+=2（m）.所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,船开始不能通航.10如图1-1-7所示，一个椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，在一直角EOF内滚动，并始终与EOF的两边OE、OF分别相切.求椭圆中心O的轨迹.图1-1-7思路分析：由于椭圆相对于直角是运动的，不便找出中心O相对于直
10、角的变化规律.若反过来变更问题的形式，由于直角与椭圆的动与静是相对的，把椭圆看作是固定的，而与之相切的直角自然就是绕着椭圆转动了.问题就转化为如图所示的“求椭圆=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹”.解：如图所示，在坐标系xOy中设两条互相垂直的切线OE、OF的交点O的坐标为(u,v)，当两条切线的斜率都存在时，设椭圆=1的切线的斜率为k，则过点O(u,v)的切线方程为y=k(x-u)+v，将其代入椭圆方程并整理可以得到(b2+k2a2)x2-2a2(ku-v)x+a2(ku-v)2-b2=0.于是有=-2a2（ku-v）2-4(b2+k2a2)a2(ku-v)2-b2=0.化简得关于k的一元二次方程(u2-a2)k2-2uvk+(v2-b2)=0.这个关于k的一元二次方程的两个根就是切线OE、OF的斜率.因为OEOF，所以两根之积为-1，即=-1.从而有u2+v2=a2+b2.当两条切线的斜率不都存在时，显然也有u2+v2=a2+b2成立.这说明椭圆=1的两条互相垂直的切线OE、OF的交点O与椭圆的中心点O之距恒为定值.再将问题转回到原问题上来，如图所示建立坐标系xOy，则O的轨迹方程为x2+y2=a2+b2(bxa且bya).
