1、第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论”，但大前提错误D使用了“三段论”，但小前提错误解析大前提是错误的，故选C2已知ab0，下列不等式中成立的是(C)Aa2b2B1Ca4bD解析令a2，b1，满足abb2，21，故A、B、D都不成立，排除A、B、D，选C3用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火
2、柴棒的根数为(C)A6n2B8n2C6n2D8n2解析归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an6n2.4已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an(B)ABCD解析a2S2S122a21，a2，a3S3S232a322a29a34，a3.a4S4S342a432a316a49，a4.由此猜想an.5分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且abc0，求证0Bac0D(ab)(ac)0解析a，即证b2a
3、c3a2.abc0，b(ac)只需证(ac)2ac0，即证a2c2a2ac0，即证(ac)(ac)a(ac)0，即证(ac)(ac)a0.又b(ac)，即证(ac)(ab)0.故选C6已知圆x2y2r2(r0)的面积为Sr2，由此类比椭圆1(ab0)的面积最有可能是(C)Aa2Bb2CabD(ab)2解析圆的方程可以看作是椭圆方程1(ab0)中，ab时的情形，S圆r2，类比出椭圆的面积为Sab.7(2017全国文，9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我
4、的成绩根据以上信息，则(D)A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩故选D8已知f1(x)cos x，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn1(x)，则f2016(x)等于(A)Asin xBs
5、in xCcos xDcos x解析由已知，有f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，可以归纳出：f4n(x)sin x，f4n1(x)cos x，f4n2(x)sin x，f4n3(x)cos x(nN*)所以f2016(x)f4(x)sin x.9已知各项均不为零的数列an，定义向量cn(an，an1)，bn(n，n1)，nN*.下列命题中真命题是(A)A若nN*总有cnbn成立，则数列an是等差数列B若nN*总有cnbn成立，则数列an是等比数列C若nN*总有cnbn成立，则数列an是等差数列D若nN*总有cnbn成立
6、，则数列an是等比数列解析对nN*总有cnbn，则存在实数0，使cnbn，ann，an是等差数列10下列函数f(x)中，满足“对任意x1、x2(0，)，当x1f(x2)”的是(A)Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)exDf(x)ln(x1)解析若满足题目中的条件，则f(x)在(0，)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由基本函数性质知，A是减函数，故选A11已知函数f(x)lg，若f(a)b，则f(a)等于(B)AbBbCD解析f(x)定义域为(1,1)，f(a)lglg()1lgf(a)b.12已知f(x)x3x，a、b、cR，且ab0，ac0，bc0，则f(a)f(b)f(c)的值
7、(A)A一定大于零B一定等于零C一定小于零D正负都有可能解析f(x)x3x是奇函数，且在R上是增函数，由ab0得ab，所以f(a)f(b)，即f(a)f(b)0，同理f(a)f(c)0，f(b)f(c)0，所以f(a)f(b)f(c)0.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13“因为AC、BD是菱形ABCD的对角线，所以AC、BD互相垂直且平分”以上推理的大前提是_菱形对角线互相垂直且平分_.14设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：
8、当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x).解析由已知可归纳如下：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，fn(x).15由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，acbcab”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“”类比得到“”以上类比得到的结论正确的是_.解析都正确；错误，因为向量不能相除；可由数量积定义判断，所以错误；向量中结合律不成立，所以错误16观察下列等式：11131
9、123 132391236 13233336123410 132333431001234515 1323334353225 可以推测：132333n3.(nN*，用含有n的代数式表示)解析由条件可知：1312,1323932(12)2,1323333662(123)2，不难得出132333n3(123n)22.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)已知a、b、cR，求证：.解析分析法：要证，只需证：()2，只需证：3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca，只需证：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，只需证：(ab)2(b
10、c)2(ca)20，而这是显然成立的，所以成立综合法：a、b、cR，(ab)2(bc)2(ca)20，2(a2b2c2)2(abbcac)，3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ac，3(a2b2c2)(abc)2，.18(本题满分12分)(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列an的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以说明解析(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列(2)由(1)知anan1an1an2，an2an.等和数列的奇数项相等，偶数项也相等19(本题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式
11、子的值都等于同一个常数.(1)sin2 13cos2 17sin 13cos 17.(2)sin2 15cos2 15sin 15cos 15.(3)sin2 18cos2 12sin 18cos 12.(4)sin2 (18)cos2 48sin (18)cos 48.(5)sin2 (25)cos2 55sin (25)cos 55.试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析选择(2)式计算如下sin2 15cos2 15sin 15cos 151sin2 30.三角恒等式为sin2 cos2 (30)sin cos (30
12、).证明如下：sin2 cos2 (30)sin cos (30)sin2 (cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin2 sin2 cos2 .20(本题满分12分)已知ABC的三个内角A、B、C为等差数列，且a，b，c分别为角A、B、C的对边.求证：(ab)1(bc)13(abc)1.分析利用分析法得出c2a2b2ac，再利用综合法证明其成立解析要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，只需证3.化简，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需证c2a2
13、b2ac.因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60，所以cosB，即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc)1成立21(本题满分12分)等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列解析(1)设等差数列公差为d，则3a1d93，解得d2，an1(n1)22n1，Snnn(n)(2)bnn.用反证法证明设bn，bm，bk成等比数列(m、n、k互不相等)，则bnbkb，即(n)(k)(m)2，整理得：nkm2(2mnk)，左边为有理数，右边是无理数，矛盾，故任何
14、不同三项都不可能成等比数列22(本题满分12分)(2017哈六中期中)已知函数f(x)(x2)exx2x2.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)证明：当x1时，f(x)x3x.解析(1)f (x)(x1)(ex1)，当x0或x1时，f (x)0，当0x1时，f (x)0，f(x)在(，0)，(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当x0时，f(x)有极大值f(0)0，当x1时，f(x)有极小值f(1)e.(2)设g(x)f(x)x3x，则g(x)(x1)(ex)，令u(x)ex，则u(x)ex，当x1时，u(x)ex0，u(x)在1，)上单调递增，u(x)u(1)e20，所以g(x)(x1)(ex)0，g(x)f(x)x3x在1，)上单调递增g(x)f(x)x3xg(1)e0，所以f(x)x3x.
