1、第51讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差【学习目标】1了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的概念，会求某些简单的离散型随机变量的概率分布2会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差，并能解决一些实际问题3理解超几何分布、二项分布的试验模型，会将某些特殊离散型随机变量的分布列、期望与方差转化化归为二项分布求解【基础检测】1设 是服从二项分布 B(n，p)的随机变量，又E()15，D()454，则 n 与 p 的值为()A60，34B60，14C50，34D50，14【解析】由 B(n，p)，有 E()np15，D()np(1p)454，p14，n60.B2已知袋中装有 6 个白球、2
2、 个黑球，从中任取 3个球，则取到白球个数 的期望 E()()A2B.5928C.6128D.94【解析】取到的白球个数 可能的取值为 1，2，3.所以 P(1)C16C22C38 328；P(2)C26C12C38 1528；P(3)C36C38 514.因此取到白球个数 的期望 E()328215283 514632894.D3随机变量 X 的分布列为X124P0.40.30.3则 E(5X4)等于()A15B11C2.2D2.3【解析】E(X)10.420.340.32.2，E(5X4)5E(X)411415.A4(2014 浙江)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和
3、 n 个蓝球(m3，n3)，从乙盒中随机抽取 i(i1，2)个球放入甲盒中(a)放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 i(i1，2)；(b)放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i1，2)则()Ap1 p 2，E(1)E(2)Bp 1 E(2)Cp 1 p 2，E(1)E(2)Dp 1 p 2，E(1)p2；E(1)13623632，E(2)1C23C262C13C13C26 3C23C262，则 E(1)0；E(1)1nmn2 mmn2mnmn，E(2)1 C2nC2mn2C1mC1nC2mn3 C2mC2mn 3m23m4mnn2n（mn）（mn1），E(1)
4、E(2)m2mmn（mn）（mn1）0，故选 A.【知识要点】1离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的每一个试验结果都可以用一个表示，数字随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，等来表示(2)离散型随机变量对于随机变量可能取到的值，可以按一定_一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量确定的数字顺序(3)分布列设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1，x2，xi，xn，而每一个值的概率为 P(Xxi)_(i1，2，n)则称表Xx1x2xixn Pp1p2pipn 为随机变量 X 的概率分布列(4)分布列的两个性质_pi1，i1，2，n.p1p2pn_pi01
5、2两点分布如果随机变量 X 的分布列为X 0 1P p q(其中 0p10 且 nN*)，其中女校友 6 位，组委会对这n 位校友制作了一份校友名单，现随机从中选出 2 位校友代表，若选出的 2 位校友是一男一女，则称为“最佳组合”(1)若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率等于12，求 n 的值；(2)当 n12 时，设选出的 2 位校友中女校友人数为，求 的分布列和 E.【解析】(1)由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率C1n6C16C2n12（n6）n（n1），则12n6nn1 12，化简得 n225n1440，解得 n9(舍去)或 n16，故 n16.(2)由题意得，的可能
6、取值为 0，1，2.则 P(0)C26C212 522，P(1)C16C16C212 611，P(2)C26C212 522.012P522611522 E0 5221 6112 5221.【点评】超几何分布的特征是：(1)样本空间的 N个元素可分为两类元素，其中一类元素共 M 个(MN)；(2)从 N 个元素中取出 n 个元素，随机变量是这 n 个元素中含某类元素的个数二、二项分布及其应用例2(2014 四川)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 1
7、00分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因【解析】(1)X 可能的取值为 10，20，100，200.根据题意，有 P(X10)C13121112238，P(X20)C23122112138，P(X100)C33123112018，P(X200)C03120112318.所以 X 的分布列为：
8、X 10 20 100200P38381818(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1，2，3)，则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1P(A1A2A3)11831 1512511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知，X 的数学期望为 EX10382038100182001854.这表明，获得分数 X 的均值为负 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大【点评】二次分布的题设情境是试验或可化为独立重复试验三、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差例3设袋子中装有 a 个红球
9、，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分(1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若 E53，D59，求 abc.【解析】(1)由题意得，2，3，4，5，6.P(2)336614，P(3)23266 13，P(4)2312266 518，P(5)22166 19，P(6)1166 136.所以 的分布列为 23456P141351819136(2)由
10、题意知 的分布列为 123Paabcbabccabc 所以 Eaabc2babc3cabc53，D1532aabc2532babc3532cabc59，化简得2ab4c0，a4b11c0，解得 a3c，b2c，故 abc321.四、期望与方差的实际应用例4(2014 福建)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50元，其余 3 个均为 10 元，求：()顾客所获的奖励额为 60 元的概率；()顾客所
11、获的奖励额的分布列及数学期望(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由【解析】(1)设顾客所获的奖励额为 X.()依题意，得 P(X60)C11C13C24 12.即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为12，()依题意，得 X 的所有可能取值为 20，60.P(X60)12，P(X20)C23C2412，即 X 的分布列为 X2060P0.50
12、.5 所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)200.5600.540(元)(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60元所以，先寻找期望为 60 元的可能方案对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为 60 元是面值之和的最大值，所以期望不可能为 60 元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为 60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60 元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方
13、案是(20，20，40，40)，记为方案 2.以下是对两个方案的分析：对于方案 1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为 X1，则 X1 的分布列为 X120 60100 P162316 X1 的期望为 E(X1)201660231001660，X1的方差为D(X1)(2060)216(6060)223(10060)2161 6003.对于方案 2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为 X2，则 X2 的分布列为 X240 60 80 P162316 X2 的期望为 E(X2)40166023801660，X2的方差为 D(X2)(4060)216(6060
14、)223(8060)2164003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.【点评】分析求解离散型随机变量的分布列、期望和方差综合问题，关键是认真阅读、理解题意，然后由题意确定随机变量的可能取值，同时对所取的每一个值的实际背景理解到位后，才能正确计算其概率，最后解决问题备选题例5随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件，二等品 50 件，三等品20 件，次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而生产 1 件次品亏损 2 万元，设 1 件产品的利润为(单位：万
15、元)(1)求 的分布列；(2)求 1 件产品的平均利润；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%，一等品提高至 70%，如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，那么三等品率最多是多少？【解析】(1)的可能取值为2，1，2，6，P(2)4200 150，P(1)20200 110，P(2)5020014，P(6)126200 63100，故 的分布列为 2126P1501101463100(2)E (2)150 1 110 2 14 6 63100 4.34(万元)(3)设 x，y 为三、二等品率，则 的分布列为 2 1 26P1100 x y70100 其中
16、 xy1 1100 70100 29100，则技术革新后 1 件产品的平均利润为 E(2)1100 x2y6 70100476100 x.令 E4.73 得 x 3100.故要使技术革新后 1 件产品的平均利润不小于4.73 万元，三等品率最多为 3%.1关于离散型随机变量分布列的计算方法如下：(1)写出的所有可能取值(2)用随机事件概率的计算方法，求出取各个值的概率(3)利用(1)(2)的结果写出的分布列2常见的特殊离散型随机变量的分布列(1)两点分布它的分布列为(p0 q1)，其中0p1，且pq1；(2)二项分布它的分布列为(0p0 1p1 2p2 kpk npn)，其中pkCnkpkqn
17、k，k0，1，2，n，且0p1，pq1，pkCnkpkqnk可记为b(k；n，p)3对离散型随机变量的期望应注意：(1)期望是算术平均值概念的推广，是概念意义下的平均(2)E是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量是可变的，可取不同值，而E是不变的，它描述取值的平均状态(3)Ex1p1x2p2xnpn直接给出了E的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加4对离散型随机变量的方差应注意：(1)D 表示随机变量 对 E 的平均偏离程度，D越大表明平均偏离程度越大，说明 的取值越分散；反之 D 越小，的取值越集中，在 E 附近，统计中常用D 来描述 的分散程度(2)D 与 E 一样也是一
18、个实数，由 的分布列唯一确定(2014 江西)随机将 1，2，2n(nN*，n2)这2n 个连续正整数分成 A，B 两组，每组 n 个数A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b2.记 a2a1，b2b1.(1)当 n3 时，求 的分布列和数学期望；(2)令 C 表示事件“与 的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P(C)；(3)对(2)中的事件 C，C表示 C 的对立事件，判断P(C)和 P(C)的大小关系，并说明理由【解析】(1)当 n3 时，的所有可能取值为 2，3，4，5.将 6 个正整数平均分成 A，B 两组，不同的分组方法共有 C3620(种)，所
19、以 的分布列为：2345P1531031015 E2153 3104 31051572.(2)和 恰好相等的所有可能取值为 n1，n，n1，2n2.又 和 恰好相等且等于 n1 时，不同的分组方法有 2 种；和 恰好相等且等于 n 时，不同的分组方法有 2种；和 恰好相等且等于 nk(k1，2，n2)(n3)时，不同的分组方法有 2Ck2k种 所以当 n2 时，P(C)4623；当 n3 时，22122(2C)().CnkkknnP C(3)由(2)，当 n2 时，P(C)13，因此 P(C)P(C)而当 n3 时，P(C)P()理由如下：2221()()2CC.nknknkP CP C等价于
20、4 C用数学归纳法证明：()当 n=3 时，式左边=4(2+C12）=4(2+2)=16,式右边=C36=20,所以式成立.()假设 n=m 时(m3)时式成立，即22212CC.nknknk4成立，那么，当 n=m+1 时，左边=1 22212CCmknknk 4=22212CCmknknk44Cm12（m1）Cm2m4Cm12（m1）（2m）！m！m！4（2m2）！（m1）！（m1）！（m1）2（2m）（2m2）！（4m1）（m1）！（m1）！（m1）2（2m）（2m2）！（4m）（m1）！（m1）！Cm12（m1）2（m1）m（2m1）（2m1）Cm12（m1）右边，即当 nm1 时式也
21、成立 综合()，()得：对于 n3 的所有正整数，都有P(C)P()成立CD1已知 XB(n，p)，E(X)8，D(X)1.6，则 n和 p 值分别为()A100 和 0.08B20 和 0.4C10 和 0.2D10 和 0.8【解析】XB(n，p)，E(X)np，D(X)np(1p)，从而有np8np（1p）1.6，解得 n10，p0.8.2设随机变量 的分布列为 P(k)ck（k1），k1，2，3，c 为常数，则 P(0.52.5)_89【解析】由 c12 c23 c341，知 c43，P(0.52.5)P(1)P(2)89.3某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世
22、博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E_(结果用最简分数表示)【解析】可取 0，1，2，因此 P(0)C25C271021，P(1)C15C12C27 1021，P(2)C22C27 121，E01021110212 12147.474(2014 浙江)随机变量 的取值为 0，1，2.若P(0)15，E()1，则 D()_【解析】设 P(1)x，P(2)y，则xy45，x2y1x35，y15，所以 D()(01)215(11)235(21)21525.255袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有10 个，记上 n 号的有 n 个(n1，2，3，4)现
23、从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求 的分布列、期望和方差；(2)若 ab，E()1，D()11，试求 a，b的值【解析】(1)的分布列为：01234P1212011032015 所以 E()0121 1202 1103 3204151.5，D()(01.5)212(11.5)2 120(21.5)2 110(31.5)2 320(41.5)2152.75.(2)由 D()a2D()，得 a22.7511，即 a2.又 E()aE()b，所以当 a2 时，由 121.5b，得 b2；当 a2 时，由 121.5b，得 b4.所以a2，b2或a2，b4.6已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，
24、三次正面均朝上的概率为 127.(1)求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；(2)抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为，求随机变量 的分布列及期望 E.【解析】(1)设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为 p，依题意有 C33p3 127，解得 p13.所以抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为 P3(2)C231322329.(2)随机变量 的可能取值为 0，1，2，3，4.P(0)C0323312 427；P(1)C0323312C1313232121027；P(2)C131323212C23132231213；P(3)C23132
25、2312C3313312 754；P(4)C3313312 154.所以 的分布列为 01234P427102713754154E0 427110272133 7544 15432.7某公司规定：员工的销售津贴按季度发放，如果员工没有完成季度销售任务，则在其相应季度的销售津贴中扣除 500 元，但每个员工全年最多扣除 1 000元销售津贴设某员工完成季度销售任务的概率为 0.8，且每个季度是否完成销售任务是相互独立的，计算(结果精确到 0.01)：(1)一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率；(2)一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴的概率；(3)一年内该员工平均扣多少销售津贴【解析】用 Ai
26、 表示一年内该员工第 i 个季度完成销售任务，由已知有：P(Ai)0.8，P()0.2，i1，2，3，4，且 A1，A2，A3，A4 相互独立(1)一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率为 P1P()P(A1 )P(A1A2 )P()P()P(A1)P()P()P(A1)P(A2)P()P()0.220.80.220.820.220.04(10.80.82)0.10.iAA A12A A23A A34A12A2A3A3A4A(2)设一年内该员工有 X 个季度完成销售任务，由题设知 X 服从二项分布 B(4，0.8)一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴，即一年内该员工至少有两个季度没有完成销售任
27、务，故其概率为 P21P(X3)P(X4)140.830.20.84 120.840.18.(3)设一年内该员工扣 Y 元销售津贴，Y0，500，1 000.P(Y0)0.840.409 6，P(Y500)40.830.20.409 6，P(Y1 000)1P(Y0)P(Y500)0.180 8.所以 EY5000.409 61 0000.180 8385.60，即一年内该员工平均扣 385.60 元销售津贴8某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：
28、元)关于当天需求量 n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量 n 14 15 1617181920频数10 20 1616151310以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率()若花店一天购进 16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列、数学期望及方差；()若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由【解析】(1)当 n16 时，y16(105)80，当 n15 时，y5n5(16n)10n80，得：y 10n80（n15）80（n16）
29、(nN)(2)()X 可取 60，70，80，P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X 的分布列为X607080P0.10.2 0.7 EX600.1700.2800.776.DX1620.1620.2420.744.()答案一：花店一天应购进 16 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为 Y55657585P0.10.2 0.160.54 Y 的数学期望为 EY550.1650.2750.16850.5476.4，Y 的方差为 DY(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，DXDY，即购进 16枝玫瑰花时利润波动相对较小 另外，虽然 EXEY，但两者相差不大 故花店一天应购进 16 枝玫瑰花答案二：花店一天应购进 17 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为 Y55657585P0.10.20.160.54 Y 的数学期望为 EY550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，EXEY，即购进 17枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润，故花店一天应购进 17 枝玫瑰花
