1、2016-2017学年安徽省淮南二中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1设集合M=x|x2=x，N=x|lgx0，则MN=（）A0，1B（0，1C0，1）D（，12已知f（x）=，则f（）的值是（）A0B1CD3设为第二象限的角，cos（）=，则sin2=（）ABCD4设a=sin1，b=cos1，c=tan1，则（）AabcBacbCcabDcba5函数y=2sin（2x+）的图象（）A关于原点对称B关于y轴对称C关于直线x=对称D关于点（，0）对称6为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平
2、移个单位D向左平移个单位7已知f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f（1）1，f（5）=，则实数a的取值范围为（）A1a4B2a1C1a0D1a28若函数f（x）=lnxax+1，aR有两个零点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（0，1）C（1，1）D（1，2）9设函数f（x）在R上可导，其导函数f（x），且函数f（x）在x=2处取得极小值，则函数y=xf（x）的图象可能是（）ABCD10函数f（x）=2sin（x+）（0）在（，）上单调递增，则的取值范围是（）A（0，B，C，D（，）11函数y=cosxsin2x的最小值为（）A1BC2D12已知直线l是曲线C1：y=x2与曲线C
3、2：y=lnx，x（0，1）的一条公切线，若直线l与曲线C1的切点为P，则点P的横坐标t满足（）A0tBt1CtDt二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13计算（+x2）dx的结果是14已知函数f（x）=sin（x+）的图象如图所示，则f（2）=15f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=16已知定义在R上的可导函数f（x）满足f（x）1，若f（1m）f（m）12m，则实数m的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=4cosxsin（x+）1（）求f（x）的周期和单调减区间；（）求f（x）在区间上的取值范围18已
4、知实数x满足9x43x+1+270且f（x）=（log2）（log）（）求实数x的取值范围；（）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值19某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如表：得分60，70）70，80）80，90）90，100甲5103411乙812319（）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；（）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利9
5、0元，若是不合格品则亏损15元在（）的前提下：（1）记X为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率20已知函数f（x）=x33ax2+b（xR），其中a0，bR（）求函数f（x）的单调区间；（）设a，函数f（x）在区间1，2上的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围21己知函数f（x）=xlnx（aR），（） 若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程为x+y+b=0，求实数a，b的值；（） 若函数f（x）0，求实数a取值范围；（） 若函数f（x）有两个不同的极值点分别为x1，x2求证：x1x21选修4-4
6、：坐标系与参数方程22已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为2cos2=1（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长选修4-5：不等式选讲23设不等式2|x1|x+2|0的解集为M，a，bM（）证明：|a+b|；（）比较|14ab|与2|ab|的大小2016-2017学年安徽省淮南二中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1设集合M=x|x2=x，N=x|lgx0，则MN=（）A0，1B（0，1C0，1）D（，1【考点】并集及其运算【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运
7、算得答案【解答】解：由M=x|x2=x=0，1，N=x|lgx0=（0，1，得MN=0，1（0，1=0，1故选：A2已知f（x）=，则f（）的值是（）A0B1CD【考点】对数的运算性质【分析】由01，利用分段函数的性质及对数运算法则能求出f（）=f（）=【解答】解：f（x）=，01，f（）=f（）=故选：C3设为第二象限的角，cos（）=，则sin2=（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】由已知求出sin，再由同角三角函数基本关系式求得cos，再由倍角公式得答案【解答】解：cos（）=，sin，又为第二象限的角，cos=，则sin2故选：D4设a=sin1，b=cos1，c=tan1，
8、则（）AabcBacbCcabDcba【考点】三角函数线【分析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，可得sin1、cos1、tan1的大小关系【解答】解：如图：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1sin1cos10，即 bac，故选C5函数y=2sin（2x+）的图象（）A关于原点对称B关于y轴对称C关于直线x=对称D关于点（，0）对称【考点】正弦函数的图象【分析】根据正弦函数的图象及性质，求解对称轴和对称中心，考查个选项即可【解答】解：函数y=2sin（2x+），对称轴方程为：2x+=，kZ，得
9、：x=，kZ，考查B，C选项不对由2x+=k，kZ，得：x=，kZ，可得对称中心横坐标为（，0）当k=0时，可得对称中心为（，0）故选D6为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律、诱导公式，得出结论【解答】解：函数=sin（2x+）=sin2（x+），将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，即可得到函数=sin（2x+）的图象，故选：D7已知f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f（1）1，f（5）=，则实数a的取值范
10、围为（）A1a4B2a1C1a0D1a2【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性【分析】根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论【解答】解：f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，f（5）=f（56）=f（1）=f（1），由f（1）1，f（5）=，得f（5）=1，即1=，解得：1a4，故选：A8若函数f（x）=lnxax+1，aR有两个零点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（0，1）C（1，1）D（1，2）【考点】函数零点的判定定理【分析】由题意可得f（x）=0即a=有两个不等的实数解令g（x）=，求出导数和单调区间、极值和最值，画出图象，通过图象即可得到结论【
11、解答】解：函数f（x）=lnxax+1，aR有两个零点，等价为f（x）=0即a=有两个不等的实数解令g（x）=，g（x）=，当x1时，g（x）0，g（x）递减；当0x1时，g（x）0，g（x）递增g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值1当x+，y0画出函数y=g（x）的图象，由图象可得0a1时，y=g（x）和y=a有两个交点，即方程有两个不等实数解，f（x）有两个零点故选：B9设函数f（x）在R上可导，其导函数f（x），且函数f（x）在x=2处取得极小值，则函数y=xf（x）的图象可能是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象【分析】由题设条件知：当x2时，xf（x）0；当x=
12、2时，xf（x）=0；当x2时，xf（x）0由此观察四个选项能够得到正确结果【解答】解：函数f（x）在R上可导，其导函数f（x），且函数f（x）在x=2处取得极小值，当x2时，f（x）0；当x=2时，f（x）=0；当x2时，f（x）0当x2时，xf（x）0；当x=2时，xf（x）=0；当x2时，xf（x）0故选A10函数f（x）=2sin（x+）（0）在（，）上单调递增，则的取值范围是（）A（0，B，C，D（，）【考点】正弦函数的图象【分析】根据正弦函数f（x）的单调性，求出f（x）在R上的单调递增区间，再结合题意列出不等式组即可求出的取值范围【解答】解：函数f（x）=2sin（x+）（0），
13、令+2kx+2k，kZ，解得+x+，kZ；所以f（x）在R上的单调递增区间是+， +（kZ）；又f（x）在（，）上单调递增，解得（kZ）；又0，所以k=0时得的取值范围是0故选：A11函数y=cosxsin2x的最小值为（）A1BC2D【考点】三角函数的最值【分析】由三角函数公式化简可得y=2sin3x+2sinx，令sinx=t，则t1，1，导数法y=2t3+2t在1，1的最小值可得【解答】解：由三角函数公式化简可得y=cosxsin2x=cosx2sinxcosx=2sinxcos2x=2sinx（1sin2x）=2sin3x+2sinx，令sinx=t，则t1，1，对y=2t3+2t求导
14、数可得y=6t2+2，令y=6t2+20可得t，y=2t3+2t在1，单调递减，在，单调递增，在，1单调递减，当t=时，y=当t=1时，y=0，原函数的最小值为故选：B12已知直线l是曲线C1：y=x2与曲线C2：y=lnx，x（0，1）的一条公切线，若直线l与曲线C1的切点为P，则点P的横坐标t满足（）A0tBt1CtDt【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设P（t，t2），切线与曲线C2的交点为（s，lns）（0s1），分别求得函数的导数和切线的斜率及方程，运用两直线重合的条件，消去s，可得t2ln（2t）1=0，令f（t）=t2ln（2t）1，t，再由零点存在定理，即可判断t的
15、范围【解答】解：设P（t，t2），切线与曲线C2的交点为（s，lns）（0s1），y=x2的导数为y=2x，即有切线的斜率为2t，可得直线l的方程为yt2=2t（xt），即为y=2txt2；y=lnx的导数为y=，即有切线的斜率为，可得切线的方程为ylns=（xs），即为y=x+lns1则有2t=，t2=lns1，0s1，t，可得t2ln（2t）1=0，令f（t）=t2ln（2t）1，f（t）=2t=，即有f（t）在（，）递减，在（，+）递增，由f（）=2ln（2）10，f（）=3ln（2）10，可得f（t）在（，）内存在一个零点故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13计算（+
16、x2）dx的结果是+【考点】定积分【分析】法一：令x=2sint，dx=2costdt，x=2时，t=，x=0时，t=0，则（+x2）dx=+（x3），由此能求出结果法二：由是圆x2+y2=4的面积的，得（+x2）dx=，由此能求出结果【解答】解法一：令x=2sint，dx=2costdt，x=2时，t=，x=0时，t=0，则（+x2）dx=+（x3）=2+=（2tsin2t）+=+解法二：是圆x2+y2=4的面积的，（+x2）dx=故答案为：14已知函数f（x）=sin（x+）的图象如图所示，则f（2）=【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】根据周期求出，再根据五点法作
17、图求得，可得函数的解析式，从而求得f（2）的值【解答】解：根据函数f（x）=sin（x+）的图象可得T=31，=再根据五点法作图可得1+=，=，f（x）=sin（x），f（2）=sin（）=sin=sin=，故答案为：15f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=1【考点】函数奇偶性的判断【分析】根据函数奇偶性的定义，解方程f（x）=f（x），即可得到结论【解答】解：若f（x）=在定义域上为奇函数，则f（x）=f（x），即=，即=，则（k2x1）（1+k2x）=（k2x）（k+2x），即k222x1=（k222x，则k222x1+k222x=0，即k21=0，解得k=1，故答案为：116已知定义
18、在R上的可导函数f（x）满足f（x）1，若f（1m）f（m）12m，则实数m的取值范围是（，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系【分析】根据导数的定义，将不等式进行转化，构造函数g（x）=f（x）x，利用导数的研究函数的单调性，进行求解即可【解答】解：设g（x）=f（x）x，则g（x）=f（x）1，f（x）满足f（x）1，g（x）=f（x）10，即函数g（x）在定义域上为减函数，若f（1m）f（m）12m，则f（1m）f（m）（1m）m，即f（1m）（1m）f（m）m，即g（1m）g（m），则1mm，得m，故实数m的取值范围是（，+），故答案为：（，+）三、解答题（本
19、大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=4cosxsin（x+）1（）求f（x）的周期和单调减区间；（）求f（x）在区间上的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】（）先利用辅助角公式或二倍角和两角和余差的基本公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；（）x在上，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的取值范围【解答】解：函数f（x）=4cosxsin（x+）1化简可得
20、：f（x）=4cosxsinxcos+4cosxcosxsin1=sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（）f（x）的周期T=令2k2x2k+，解得：kxk+，（kZ）；f（x）的单调递增区间为k，k+（kZ）；（）：x在上，2x，可得：sin（2x+），1故f（x）1，2，f（x）在区间上的取值范围是1，218已知实数x满足9x43x+1+270且f（x）=（log2）（log）（）求实数x的取值范围；（）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值【考点】对数函数的图象与性质【分析】（1）转化为二次不等式求解即可（2）根据对数的运算法则，化简f（x），转
21、化为二次函数求解值域【解答】解：（1）实数x满足9x43x+1+270，化解可得：（3x）2123x+270，即（3x3）（3x9）0，得33x9，1x2，故得x的取值范围为1，2；（2）f（x）=（log2）（log）化解可得：f（x）=（log2xlog22）（）=（log2xlog22）（log2xlog24）=（log2x1）（log2x2）=（）2x1，2，log2x0，1，0=（）22当x=2时，f（x）有最小值0，当x=1时，f（x）有最大值219某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分
22、不低于80的为合格品，可以出厂现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如表：得分60，70）70，80）80，90）90，100甲5103411乙812319（）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；（）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元在（）的前提下：（1）记X为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（I）求解运用古典概率得出甲，乙下生产
23、线时为合格品的概率，（）（1）确定随机变量X的所有可能取值为190，85，70，35求解P（X=190），P（X=85），P（X=70），P（X=35），求解分布列，（2）设生产5件乙所获得的利润不少于300，运用二项分布问题求解，【解答】解：（）甲为合格品的概率约为： =，乙为合格品的概率约为： =； （）（1）随机变量x的所有取值为190，85，70，35，而且P（X=190）=，P（X=85）=，P（X=70）=，P（X=35）=；所以随机变量X的分布列为：X190857035P所以：EX=125，（2）设生产的5件乙中正品有n件，则次品有5n件，依题意，90n15（5n）300，解得：
24、n，取n=4或n=5，设“生产5件元件乙所获得的利润不少于300元”为事件A，则：P（A）=C54（）4+（）5= 20已知函数f（x）=x33ax2+b（xR），其中a0，bR（）求函数f（x）的单调区间；（）设a，函数f（x）在区间1，2上的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）对于含参数的函数f（x）的单调区间的求法，需要进行分类讨论，然后利用导数求出函数的单调性；（）求出f（x）在1，2a内是减函数，在2a，2内是增函数，设 g（a）=4a312a+8，求出g（a）在内是减函数，问题得以解决【解答】解：（）f（
25、x）=3x26ax=3x（x2a），令f（x）=0，则x1=0，x2=2a，（1）当a0时，02a，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，0）0（0，2a）2a（2a，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值函数f（x）在区间（，0）和（2a，+）内是增函数，在区间（0，2a）内是减函数（2）当a0时，2a0，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，2a）2a（2a，0）0（0，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值函数f（x）在区间（，2a）和（0，+）内是增函数，在区间（2a，0）内是减函数（）由及（），f（x）在1，2a内是减函数，在2a，2内是增函数，又
26、f（2）f（1）=（812a+b）（13a+b）=79a0，M=f（2），m=f（2a）=8a312a3+b=b4a3，Mm=（812a+b）（b4a3）=4a312a+8，设 g（a）=4a312a+8，g（a）=12a212=12（a+1）（a1）0（a），g（a）在内是减函数，故 g（a）max=g（）=2+=，g（a）min=g（）=1+4=Mm21己知函数f（x）=xlnx（aR），（） 若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程为x+y+b=0，求实数a，b的值；（） 若函数f（x）0，求实数a取值范围；（） 若函数f（x）有两个不同的极值点分别为x1，x2求证：x1x
27、21【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【分析】（）求出原函数的导函数，利用函数在点（1，f（1）处的切线方程为x+y+b=0列式求得a，b的值；（）把f（x）0恒成立转化为恒成立，构造函数，利用导数求其最大值得答案；（）利用函数f（x）在极值点处的导数等于0，得到ln（x1x2）=a（x1+x2）2=再把证x1x21转化为证令换元后再由导数证明【解答】（）解：由f（x）=xlnx，得f（x）=lnxax+1，切线方程为x+y+b=0，f（1）=1a=1，即a=2又，可得切点为（1，1），代入切线方程得b=0；（） 解：f（x）0恒成立等价于恒成立，即，设，则，当x（
28、0，e）时，g（x）0；当x（e，+）时，g（x）0当x=e时，即； （）证明：若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，即f（x1）=lnx1ax1+1=0，f（x2）=lnx2ax2+1=0，即lnx1+lnx2a（x1+x2）+2=0且lnx1lnx2a（x1x2）=0也就是ln（x1x2）=a（x1+x2）2=要证x1x21，只要证0即证，不妨设x1x2，只要证成立，即证令，即证，令h（t）=lnt，则h（t）在（1，+）上是增函数，h（t）h（1）=0，原式得证选修4-4：坐标系与参数方程22已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为2cos2=1（1）求曲线C的普通
29、方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用倍角公式、极坐标与直角坐标互化公式即可得出（2）把直线参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得：t24t6=0，利用弦长公式即可得出【解答】解：（1）由曲线C：2cos2=2（cos2sin2）=1，得2cos22sin2=1，化成普通方程x2y2（2）把直线参数方程（t为参数） 把代入得：整理，得t24t6=0设其两根为t1，t2，则t1+t2=4，t1t2=6从而弦长为选修4-5：不等式选讲23设不等式2|x1|x+2|0的解集为M，a，bM（）证明：|a+b|；（）比较|14ab|与2|ab|的大小【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明；（）利用（）的结果，说明ab的范围，比较|14ab|与2|ab|两个数的平方差的大小，即可得到结果【解答】解：（）记f（x）=|x1|x+2|=，由22x10解得x，则M=（，）a、bM，|a|，|b|，|a+b|a|+|b|（）由（）得a2，b2因为|14ab|24|ab|2=（18ab+16a2b2）4（a22ab+b2）=（4a21）（4b21）0，所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|2017年4月19日
