1、高考资源网（ ），您身边的高考专家第五节直线、平面垂直的判定及其性质 高频考点考点一 直线与平面垂直的判定与性质1直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题2高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个命题角度：(1)同真假命题的判断相结合考查；(2)以多面体为载体，证明线面垂直问题；(3)以多面体为载体，考查与线面垂直有关的探索性问题例1(1)(2013浙江高考)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若m，n，则mnB若m，m，则C若mn，m，则nD若m，则m(2)(2013广东高考)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是
2、AB，AC上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥ABCF，其中BC.证明：DE平面BCF；证明：CF平面ABF；当AD时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG.自主解答(1)设直线a，b，abA，m，ma，mb.又nm，na，nb，n.(2)证明：在等边三角形ABC中，ABAC.ADAE，DEBC，DGBF，又BF平面BCF，DG平面BCF，DG平面BCF.同理可证GE平面BCF.DGGEG，平面GDE平面BCF，又DE平面GDE，DE平面BCF.证明：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，AFCF，BFFCBC.在图2中，BC，BC2BF
3、2FC2，BFC90，CFBF.BFAFF，BF平面ABF，AF平面ABF，CF平面ABF.AD，BD，ADDB21，在图2中，AFFC，AFBF，又BFFCF，AF平面BCF，由知平面GDE平面BCF，AF平面GDE.在等边三角形ABC中，AFAB，FGAF，DGBFGE，SDGEDGEG，VFDGESDGEFG.答案(1)C线面垂直问题的常见类型及解题策略(1)与命题真假判断有关的问题解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定(2)线面垂直的证明证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想
4、(3)线面垂直的探索性问题此类问题的解决方法同“线面平行的探索性问题”的求解方法(见本章第四节的通关锦囊)如图1所示，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2所示(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.又A1DCDD，A1D
5、平面A1DC，CD平面A1DC，所以DE平面A1DC.因为A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，CDDED，CD平面BCDE，DE平面BCDE，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.又DPDED，DP平面DEP，DE平面DEP，所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A
6、1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.考点二面面垂直的判定与性质 例2(2014济南模拟)如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.自主解答(1)法一：取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD，因此四边形DCEH是平行四边形所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD.法二：连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，
7、所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD.又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.【互动探究】在本例条件
8、下，证明：平面EMN平面PAC.证明：因为ABPA，ABAC，且PAACA，所以AB平面PAC.又MNCD，CDAB，所以MNAB，所以MN平面PAC.又MN平面EMN，所以平面EMN平面PAC. 【方法规律】面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质是在课本习题中出现的，在不是很复杂的题目中，要对此进行证明如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中， 侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，
9、BC，A1C1的中点求证：(1)EF平面A1CD；(2)平面A1CD平面A1ABB1.证明：(1)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，连接ED，在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，且DEAC.又F为A1C1的中点，所以A1FA1CAC，且A1FA1C1AC，所以A1FDE，且A1FDE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EFDA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以EF平面A1CD.(2)由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CDAB，又侧棱A1A底面ABC，CD平面ABC，所以AA1CD，又AA1ABA，因此CD平面
10、A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD平面A1ABB1.考点三垂直关系的综合应用 例3如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高(1)证明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.自主解答(1)证明：由于AB平面PAD，PH平面PAD，故ABPH.又PH为PAD中AD边上的高，ADPH.ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，PH平面ABCD.(2)由于PH平面ABCD，E为PB的中点，PH1，故E到平面ABCD的距离hP
11、H.又ABCD，ABAD，ADCD，故SBCFFCAD1.因此VEBCFSBCFh.(3)证明：过E作EGAB交PA于G，连接DG.由于E为PB的中点，所以G为PA的中点ADPD，DGPA.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG.又ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，DG平面PAB.又GEAB，GE=AB，DFAB，DF=ABGEDF. GE=DF.四边形DFEG为平行四边形，故DGEF.EF平面PAB.【方法规律】垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化(2)垂直与平行结合问题求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用(3
12、)垂直与体积结合问题在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中(侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱)，ABBB1，AC1平面A1BD，D为AC的中点求证：(1)B1C平面A1BD；(2)B1C1平面ABB1A1.证明：(1)如图所示，连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1的中点连接OD，D为AC的中点，在ACB1中，有ODB1C.又OD平面A1BD，B1C平面A1BD.B1C平面A1BD.(2)ABB1B，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，四边形ABB1A1为正方形A1BAB1.又AC1平面A1BD，A1B平面A1BD，AC1A1B.又
13、AC1平面AB1C1，AB1平面AB1C1，AC1AB1A，A1B平面AB1C1.又B1C1平面AB1C1，A1BB1C1.又A1A平面A1B1C1，B1C1平面A1B1C1，A1AB1C1.又A1A平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1，A1AA1BA1，B1C1平面ABB1A1.考点四线面角、二面角的求法例4(2014杭州模拟)在几何体中，AA1平面ABC，ABBC，CC1AA1，ABBCAA12，CC11，D，E分别是AB，AA1的中点(1)求证：BC1平面CDE；(2)求二面角EDCA的平面角的正切值自主解答(1)证明：连接AC1交EC于点F，连接EC1，由题意知四边形ACC1E是矩
14、形，则F是AC1的中点，连接DF，D是AB的中点，DF是ABC1的中位线，BC1DF，BC1平面CDE，DF平面CDE，BC1平面CDE. (2)过点A作AH直线CD，垂足为H，连接HE，AA1平面ABC，AA1CD，又AHAA1A，AH，AA1平面AHE，CD平面AHE，CDEH，AHE是二面角EDCA的平面角D是AB的中点，AH等于点B到CD的距离，在BCD中，求得点B到CD的距离为，则AH.在AEH中，tan AHE，即所求二面角的正切值为.【方法规律】1求斜线与平面所成的角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐
15、角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算2求二面角的步骤(1)作出二面角的平面角；(2)证明该角就是二面角的平面角；(3)计算该角的大小以上3步简记为作、证、算3作二面角平面角的方法法一：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图，AOB为二面角a的平面角法二：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，
16、即为二面角的平面角如图，AOB为二面角l的平面角法三：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角如图，AFE为二面角ABCD的平面角(2012广东高考)如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角B PCA的正切值解：(1)证明：PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.同理由PC平面BDE可证得PCBD.又PAPCP，PA、PC平面PAC，BD平面PAC.(2)如图，设BD与AC交于点O，连接OE.P
17、C平面BDE，BE、OE平面BDE，PCBE，PCOE.BEO即为二面角BPCA的平面角由(1)知BD平面PAC.又OE、AC平面PAC，BDOE，BDAC.故矩形ABCD为正方形，BDAC2，BOBD.由PA平面ABCD，BC平面ABCD，得PABC.又BCAB，PAABA，PA，AB平面PAB，BC平面PAB.而PB平面PAB，BCPB.在RtPAB中，PB，在RtPAC中，PC3，在RtPBC中，由PBBCPCBE，得BE.在RtBOE中，OE.tan BEO3，即二面角BPCA的正切值为3.课堂归纳通法领悟1个转化三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，
18、若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直3种方法三种垂直关系的证明(1)判定线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为90；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.(2)判定线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理；利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；利用面面垂直的性质(3)判定面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
