1、专题40 圆的“双切线”问题【方法点拨】1.涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，根据对称性,常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”(切点、圆心、圆外点为顶点)，向点与圆心的距离问题转化.2.圆上存在一点、圆心与圆外一点（或圆上存在两点与圆外一点）的张角有最大值，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.【典型题示例】例1 （2020新课标理科11）已知M：，直线：，为上的动点，过点作M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，
2、求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，此时最小即，由解得，所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程例2 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:y=kx+6上存在点P，过点P作圆O: x2+ y2=4的切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1 x2+ y1y2=2，则实数k的取值范围为 .【答案】(，)【分析】由x1 x2+ y1y2=2的结构联想“数量积”的定义，“算两次”得ACB=1200，双切线问题利用对称性，转化为特
3、征直角PAC，易得APC=300，PC=4，故当直线l:y=kx+6上的点P 只需满足PC=4即满足题意.而点C与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C到直线的距离不大于4.【解析】由x1 x2+ y1y2=2得：，则，在PAC，APC=300，PC=4，当直线l上的点 P满足PC=4即满足题意.又因为点C与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C到直线的距离不大于4.由点到直线的距离公式得：，解之得所以k的取值范围为(，).例3 过点作圆: 的切线,切点分别为,则 的最小值为_.【答案】【分析】为了求出的最小值，需建立目标函数，这里选择使用数量积的定义作为突破口，选择线段长为“元”.设AP
4、C=q，则，故又点在直线，故即所以故 的最小值为.点评：（1）求最值问题要牢固树立建立目标函数的意识；（2）涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”，向点与圆心的距离问题转化.例4 已知圆O：x2y21，圆M：(xa3)2(y2a)21(a为实数)若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得OQP30，则a的取值范围为 【答案】，0【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将Q固定不动，则点P在圆O运动时，当PQ为圆O的切线时，OQP最大，故满足题意，需OQP30，再将角的范围转化为O、Q间的距离问题，即需OQ2.再固定
5、P不动，易得只需OM3即可，利用两点间距离公式(a3)2(2a)29，解得 a 0.点评：圆上存在一点（或两点）与圆外一点的张角问题，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.例5 平面直角坐标系xOy中，点P在x轴上，从点P向圆C1：x2(y3)25引切线，切线长为d1，从点P向圆C2：(x5)2(y4)27引切线，切线长为d2，则d1d2的最小值为_【答案】5【分析】求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题.【解析】设点P(x，0)，则d1，d2，d1d2，几何意义：点P(x，0)到点M(0，2)，N(5，3)的距离和当M，P，N三点共线时，d1d2有最小值5，此时P(2，0)
6、.【巩固训练】1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2(y3)22，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围是_2.已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点若圆M上存在两点B，C，使得BAC60，则点A横坐标的取值范围是_3.已知椭圆C1：（ab0）与圆C2：，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是_4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O: x2+ y2= r2 (r0) 与圆C: (x6)2+ (y8)2=4，过圆O上任意一点P作圆C的切线，切点分别为A，B，
7、则实数r的取值范围为 .5.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，若对于直线 上的任意一点P，在圆C上总存在Q使PQC，则实数m的取值范围为 6.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y21，直线l：xay30(a0)，过直线l上一点P作圆O的两条切线，切点分别为M，N.若，则正实数a的取值范围是_7. 过直线l：yx2上任意一点P作圆C：x2y21的两条切线，切点分别为A，B，当切线最短时，PAB的面积为_8. 已知圆C：(x1)2(y4)210上存在两点A，B，P为直线x5上的一个动点且满足APBP，那么点P的纵坐标的取值范围是_【答案与提示】1.【答案】 ,2)【提示】直线与圆相切时，
8、利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化.2【答案】1，5【提示】BAC最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.3.【答案】【分析】如图，设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.【解析】如图，设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，又因为在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，所以，即得，所以，所以椭圆C1的离心率，又，所以.4.【答案】5.【答案】6.【答案】，+【解析】如下图，设MPO，由切线的性质知NPO，PMPN，则|cos 2|2(12sin 2)，即(PO21)，解得PO，故点P的轨迹为x2y23.因为点P在直线l：xay30(a0)上，所以直线l与圆x2y23有交点，即圆心到直线l的距离为d，解得a.7.【答案】128.【答案】2,6
