1、专题26 有关三角形中的范围问题【方法点拨】1.正弦平方差公式sin2asin2bsin(ab) sin(ab).2.化边、化角、作高三个方向如何选择是难点，但一般来说，涉及两内角正切间的等量关系时作高更简单些.【典型题示例】例1 在锐角中，则的取值范围为_.【答案】【解析】，利用正弦定理可得：，由正弦平方差公式得，即，易知，故又为锐角三角形，即，又，令，则，由对勾函数性质知，在上单调递增，又，.例2 若的内角满足，则的最小值是 【答案】【分析】将已知和所求都“化边”，然后使用基本不等式即可.所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可【解析】sin A
2、sin B2sin C.由正弦定理可得ab2c，即c，cos C，当且仅当3a22b2即时等号成立.cos C的最小值为.例3 在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为【答案】【解析一】（作高线，化斜为直，角化边）由正弦定理，得：，如图，作BDAC于D，设ADx，CDy，BDh，因为，所以，化简，得：，解得：x3y，.【解析二】（边化角）由正弦定理，得：，即，由余弦定理得：，即，由正弦定理，得：，即，化简得，以主元，化简得.例4 在中，角所对的边分别为，若，则的面积的最大值为 【答案】【解析一】（余弦定理+二次函数）看到式子的结构特征，联想余
3、弦定理得：所以当时，的面积的最大值为【解析二】（三角形中线长定理+基本不等式）设BC边上的中线为AM，则 代人得：，即根据基本不等式得：又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高所以所以，当且仅当中线等于高，即中线垂直于底边时，等号成立，此时的面积的最大值为【解法三】（隐圆）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系设A，B，C(x，y)，则由a2b22c28，得2y22y22c28，即x2y24c2，所以点C在以原点(0,0)为圆心，为半径的圆上，所以S.【巩固训练】1. （多选题）在中，角的对边分别为，若，则角可为（ ）ABCD2.在ABC中，若，则cosB的最小值是 .3.
4、 已知中， ，则的最大值是( )A B C D4.若的内角满足，则角的最大值是 .5.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，当A，B则变化时，存在最大值，则正数的取值范围为_.A. B. C. D. 7. 在ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a，b，c成等差数列，则 3sinA+2sinC的最小值为_【答案与提示】1. 【答案】BC【解析】，利用正弦定理可得：，由正弦平方差公式得，即，易知，故，即， ，故选：BC.2.【答案】【提示】已知可化为，弦化切得，.3.
5、 【答案】A【提示】化边、化角、作高三个方向均可解决.4.【答案】【解析】由可得：， 在递减，5. 【答案】C【解析】由得：，即即，而，所以又为锐角三角形，即，6. 【答案】A【解析】由，得：根据正弦定理得：，即又为锐角三角形，即， ，（）欲使存在最大值，必有，故，即.7.【答案】23+1【解析】由题得2b=2a+c，cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-(22a+c2)22ac，所以cosB=12a2+34c2-22ac2ac212a234c2-22ac2ac=6-24，所以0B750，0sinB6+24，因为2sinB=2sinA+sinC，2sinA+sinC6+22，2sinA+sinC6+221所以3sinA+2sinC (3sinA+2sinC)2sinA+sinC6+22=42+2sinAsinC+3sinCsinA6+2242+22sinAsinC3sinCsinA6+22=42+266+22=2(3+1)故答案为：23+1
