1、题型专项练5解答题组合练(B)1.(2021广东揭阳一模)已知正项等差数列an的前n项和为Sn,满足6Sn=anan+1+2(nN*),a11时,2ex-1lnxx2+1x2-x.题型专项练5解答题组合练(B)1.解 (1)设等差数列an的公差为d,则由6Sn=anan+1+2,得6Sn-1=an-1an+2(n2),相减得6(Sn-Sn-1)=an(an+1-an-1),即6an=an2d(n2).又an0,所以d=3.由6S1=a1a2+2,得6a1=a1(a1+3)+2,解得a1=1(a1=2舍去),由an=a1+(n-1)d,得an=3n-2.(2)bn=(-1)nlg(anan+1)
2、=(-1)n(lgan+lgan+1),T33=b1+b2+b3+b33=-lga1-lga2+lga2+lga3-lga3-lga4+-lga33-lga34=-lga1-lga34=-lg100=-2.2.解 选:cos2A+22cos(B+C)+2=0,得2cos2A-1-22cosA+2=0,即(2cosA-1)2=0,解得cosA=22.因为0A,所以A=4.选:因为2+2cosCcosB=cos(C-B)-cos(C+B),所以2+2cosCcosB=cosCcosB+sinCsinB-cosCcosB+sinCsinB,即2cos(C+B)=-2,cosA=22,因为0A,所以A
3、=4.选:2ctanB=2b(tanA+tanB),所以2sinBsinCcosB=2sinBsinAcosA+sinBcosB,所以2sinBsinCcosA=2sinBsinC.因为sinB0,sinC0,所以cosA=22.因为A(0,),所以A=4.(1)在ABC中,由余弦定理:cosA=b2+c2-a22bc=b2+2-522b,可得b=3,所以cosC=a2+b2-c22ab=255.(2)因为cosADB=45,所以cosBDC=-45.即BDC为钝角,且sinBDC=35.又BDC+C+DBC=180.由(1)知,cosC=255,sinC=1-cos2C=55.所以sinDB
4、C=sin(C+BDC)=sinBDCcosC+cosBDCsinC=35255-4555=2525.3.(1)证明 连接AB1,B1C.因为AC=2BC=2,所以BC=1.因为2CAB=3,所以CAB=6.在ABC中,BCsinA=ACsinB,即1sin6=2sinB,所以sinB=1.即ABBC.又因为平面ABC平面B1C1CB,平面ABC平面B1C1CB=BC,AB平面ABC,所以AB平面B1C1CB.又B1C平面B1C1CB,所以ABB1C.在B1BC中,B1B=2,BC=1,CBB1=3,所以B1C2=B1B2+BC2-2B1BBCcos3=3,即B1C=3,所以B1CBC.而AB
5、B1C,AB平面ABC,BC平面ABC,ABBC=B,所以B1C平面ABC.又B1C平面ACB1,所以平面ABC平面ACB1.(2)解 以B为坐标原点,以BC为x轴,BA为y轴,过B作平面ABC的垂线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,3,0).B1C平面ABC,B1(1,0,3),BB1=(1,0,3).在三棱柱中,AA1BB1CC1,可得C1(2,0,3),A1(1,3,3),P为BC中点,P12,0,0.A1P=-12,-3,-3,AB1=(1,-3,3),CB1=(0,0,3).设平面ACB1的一个法向量为n=(x,y,z),则AB1n=
6、0,CB1n=0,即x-3y+3z=0,3z=0,不妨取x=3,可得y=1,z=0,则n=(3,1,0).设直线A1P与平面ACB1所成角为,则sin=|cos|=A1Pn|A1P|n|=-32-3+0522=3310.故直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值为3310.4.解 (1)“销售员”的日薪y1(单位:元)与销售件数x1的函数关系式为y1=20x1+50,x15,x1N,30x1,x15,x1N,“送外卖员”的日薪y2(单位:元)与所送单数x2的函数关系式为y2=3x2,x220,x2N,4x2-20,2040,x2N.(2)由柱状图知,日平均销售量满足如下表格:销售量/件34567
7、频率0.050.20.250.40.1所以X1的分布列为X1110130150180210P0.050.20.250.40.1所以E(X1)=1100.05+1300.2+1500.25+1800.4+2100.1=162(元).由频率分布直方图可知,日送单数满足如下表格:单数/单1030507090频率0.050.250.450.20.05所以X2的分布列如下表:X230100185275365P0.050.250.450.20.05所以E(X2)=300.05+1000.25+1820.45+2750.2+3650.05=183(元).由以上计算得E(X2)E(X1),做“送外卖员”挣的更
8、多,故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适.5.解 (1)若选:设P(x,y),根据题意,得(x-3)2+y2x-433=32,整理得x24+y2=1,所以动点P的轨迹方程为x24+y2=1.若选:设P(x,y),S(x,0),T(0,y),则(x)2+(y)2=3.(i)因为OP=23OS+13OT,所以x=23x,y=13y,整理,得x=32x,y=3y,代入(i)得x24+y2=1,所以动点P的轨迹方程为x24+y2=1.若选:设P(x,y),直线l与圆相切于点H,则|PA|+|PB|=d1+d2=2|OH|=423=|AB|.由椭圆的定义,知点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,所以2a=
9、4,2c=|AB|=23,故a=2,c=3,b=1.所以动点P的轨迹方程为x24+y2=1.(2)设Q(0,y0),当直线l的斜率不存在时,y0=0.当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为G(x3,y3).由x124+y12=1,x224+y22=1,得(x1+x2)(x1-x2)4+(y1+y2)(y1-y2)=0,所以k=y1-y2x1-x2=-x1+x24(y1+y2)=-2x342y3=-x34y3.线段MN的垂直平分线的方程为y-y3=4y3x3(x-x3).令x=0,得y0=-3y3.由k=-x34y3=y3x3-1,得y32
10、=-14x32+14x3=-14x3-122+116.由y320得0x31,所以0y32116,则-14y30或0y314,所以-34y00或0y034.综上所述,点Q纵坐标的取值范围是-34,34.6.(1)解 函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=a(2x-1)-1x=2ax2-ax-1x.令g(x)=2ax2-ax-1.当a=0时,g(x)=-10,f(x)=g(x)x0,故f(x)在(0,+)上单调递减;当a0时,g(x)为二次函数,=a2+8a.若0,即-8a0,即a0.令g(x)=0,得x1=a-a2+8a4a,x2=a+a2+8a4a.当a-8时,g(x)图象为开口向下的抛
11、物线,0x2x1,所以当x(0,x2)或x(x1,+)时,g(x)0,所以f(x)0,所以f(x)0,f(x)单调递增;当a0时,g(x)图象为开口向上的抛物线,x10x2,所以当x(0,x2)时,g(x)0,所以f(x)0,所以f(x)0,f(x)单调递增.综上,当a0时,f(x)在0,a+a2+8a4a上单调递减,在a+a2+8a4a,+上单调递增;当-8a0时,f(x)在(0,+)上单调递减.(2)证明 由(1)知,当a=1时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,因此对任意x1恒有f(x)f(1),即x2-xlnx.因为0lnx1恒有(x)(1)=0,即2ex-1x2+1.当x1时,0lnx1x2-x0.由不等式的基本性质可得2ex-1lnxx2+1x2-x.因此,原不等式成立.
