1、考点规范练 66 不等式选讲 基础巩固 1.(2021 全国,理 23)已知函数 f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)6 的解集;(2)若 f(x)-a,求 a 的取值范围.解:(1)当 a=1 时,由 f(x)6 可得|x-1|+|x+3|6.当 x-3 时,不等式可化为 1-x-x-36,解得 x-4;当-3x-a,则 f(x)min-a,所以|a+3|-a,即 a+3-a,解得 a(32 ).故 a 的取值范围为(-32,).2.设 a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca0;(2)用 maxa,b,c表示 a,b,c
2、的最大值,证明:maxa,b,c 3.答案:证明(1)由题设可知,a,b,c 均不为零,所以 ab+bc+ca=12(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=-12(a2+b2+c2)0,b0,c0.由 bc )2,可得 abc 3,故 a 3,所以 maxa,b,c 3.3.(2021 全国,理 23)已知函数 f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.(1)画出 y=f(x)和 y=g(x)的图象;(2)若 f(x+a)g(x),求 a 的取值范围.解:(1)f(x)=-2,2,2-,2 g(x)=-,-32,2,-32 12,12 (2)取临界状态,如图,设点 Q(x,0
3、),P(12,),令过点 P,Q 的直线的斜率是 1,即0-12=1,解得 x=-2.由函数 f(x)=|x-2|知 f(x+a)=|x+a-2|=|x-(2-a)|,函数 f(x+a)=|x-(2-a)|的图象的对称轴是直线 x=2-a.当 2-a-2,即 a112 时,f(x+a)g(x)成立.所以 a112,).4.(2019 全国,理 23)设 x,y,zR,且 x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 13成立,证明:a-3 或 a-1.答案:(1)解由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)
4、2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3 x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 3,当且仅当 x=3,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为 3 (2)证明由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3 x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 2 )23,当且仅当 x=-3,y
5、=1-3,z=2-23 时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为 2 )23 由题设知 2 )23 13,解得 a-3 或 a-1.5.已知函数 f(x)=m-|x-2|,mR,且 f(x+2)0 的解集为-1,1.(1)求 m 的值;(2)若 a,b,c 都大于 0,且1 12 13=m,求证:a+2b+3c9.答案:(1)解f(x+2)=m-|x|,f(x+2)0 等价于|x|m.由|x|m 有解,得 m0,且其解集为x|-mxm.又 f(x+2)0 的解集为-1,1,故 m=1.(2)证明由(1)知1 12 13=1,且 a,b,c 都大于 0,由柯西不等式知:
6、a+2b+3c=(a+2b+3c)(1 12 13)(1 2 12 3 13)2=9,当且仅当 a=2b=3c=3 时,等号成立.因此 a+2b+3c9.能力提升 6.已知函数 f(x)=|x+1|-2|x|.(1)求不等式 f(x)-6 的解集;(2)若 f(x)的图象与直线 y=a 围成的图形的面积不小于 14,求实数 a 的取值范围.解:(1)f(x)=|x+1|-2|x|=-1,-1,3 1,-1 0,1-,0 则不等式 f(x)-6 等价于 -1,-1 -6 或-1 0,3 1 -6或 0,1-6,解得 x-5 或 x.故不等式 f(x)-6 的解集为x|x-5 或 x.(2)作出函
7、数 f(x)的图象,如图.若 f(x)的图象与直线 y=a 围成的图形是三角形,则当 a=-2 时,ABC 的面积为12 43=6.f(x)的图象与直线 y=a 围成的图形的面积不小于 14,该图形一定是四边形,即 a-2.ABC 的面积是 6,梯形 ABED 的面积不小于 8.AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,12 (4-2a)(-2-a)1-6=8,即 a212.又 a-2,a-23 故实数 a 的取值范围是(-,-23.7.已知函数 f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)解不等式 f(x)-2;(2)对任意 xa,+),都有 f(x)x-a 成立,求实数 a 的取值范围.解:(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|-2.当 x-2 时,x-2,即 x2,故 x;当-2x1 时,3x-2,即 x-23,故-23 x5;(2)若 f(x)a|x+3|,求 a 的最小值.解:(1)当 a=-2 时,f(x)=1-3,-1,3-,-1 1,3-1,1 由 f(x)的单调性及 f(-3)=f(2)=5,得 f(x)5 的解集为|-3,或 2 (2)由 f(x)a|x+3|得 a 1 -1 3 由|x-1|+|x+3|2|x+1|得 1 -1 3 12,即 a 12(当且仅当 x1 或 x-3 时等号成立).故 a 的最小值为12
