1、3.3一元二次不等式及其解法1理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，能借助二次函数的图象解一元二次不等式2能利用一元二次不等式解决相关的实际问题，并会设计求解一元二次不等式的程序框图3了解简单的分式不等式、含参数的不等式和简单高次不等式的解法1一元二次不等式的概念形如_或_(其中a0)的不等式叫做一元二次不等式用文字表述为：一般地，含有_未知数且未知数的_为2的整式不等式，叫做一元二次不等式【做一做1】已知不等式：x20；x22x15；x35x60；x2y0.其中一元二次不等式的个数为()A1B2 C3 D42二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系如下表所示：设f(x
2、)ax2bxc(a0)b24ac000yf(x)的图象f(x)0的根有两个不等的实根x1，x2，且x1x2有两个相等的实根x1，x2，且x1x2没有实数根f(x)0的解集_f(x)0的解集_对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，常用口诀是：大于取两边，小于取中间即：你只要记住一个前提：a0和四句话：根上等于零，根间小于零，根外大于零，无根大于零对于二次项系数是负数(即a0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解我们把二次项系数为正的一元二次不等式称之为标准一元二次不等式【做一做21】不等式x22x10的解集是()AR Bx|xR，且x1Cx|x1 D
3、x|x1【做一做22】不等式6x2x20的解集是_3用程序框图描述求解一元二次不等式ax2bxc0(a0)的算法过程：【做一做3】函数yf(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_一、借助函数图象解不等式的原理分析剖析：我们知道以自变量的取值为横坐标，对应的函数值作为纵坐标在平面直角坐标系中描出所有的点，这些点就构成了函数的图象因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值，纵坐标是对应的函数值二次函数f(x)ax2bxc的图象上的点的坐标的意义也是一样由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0，位于x轴上的点的纵坐标等于0，位于x轴下方的点的纵坐标小于0，所以二次函数f(x)ax2bxc
4、的图象上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)ax2bxc0的解集，二次函数f(x)ax2bxc的图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)ax2bxc0的解集所以可以用二次函数的图象解一元二次不等式当然，对于任意函数yf(x)，只要能画出它的图象，那么就可以解不等式f(x)0或f(x)0.(1)如果一元二次不等式ax2bxc0的解集是R，则有如果一元二次不等式ax2bxc0的解集是R，则有(2)如果一元二次不等式ax2bxc0的解集是，则有如果一元二次不等式ax2bxc0的解集是，则有二、简单的一元高次不等式的解法剖析：解法有两种：(1)等价转化，把高次不等式转化为
5、低次不等式组(2)穿根法：先化成最高次项系数为正的形式，再把高次不等式中的多项式分解为多个一次或二次因式的积的形式，求出对应方程的根，依次在数轴上把根标出，然后用一条曲线从最大的根的右上方穿起，穿过所有根，曲线与数轴围成的上方区域为“”型不等式的解集，下方区域为“”型不等式的解集当有重根时，偶次重根“穿而不过”，奇次重根按一次根对待三、分式不等式的解法剖析：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于未知数的多项式的不等式称为分式不等式，解法有两种：(1)穿根法，其解题过程为：先化成标准式(右端为0，左端的分子、分母均为一次因式或二次不可约因式的积)，要求各一次因式中的x的系数及二次因式中的x2的系
6、数必须为正数以下过程同一元高次不等式的解法(2)等价转化法，如下表所示.分式不等式同解变形1同解变形200或0f(x)g(x)000或0f(x)g(x)00或00或0四、教材中的“？”1由(1)和(2)的解法，你能否解不等式0，0?剖析：(1)0相当于或即或得x3或x2.(2)0相当于或即或得2x3.2不等式x24x40的解集是什么？x24x40的解集是什么？剖析：x24x40相当于(x2)20，不等式的解集为R.x24x40相当于(x2)20，不等式的解集为x|x2题型一 一元二次不等式的概念【例1】x2x10，x24x50，xy210，mx25x10，x35x0，(a21)x2bxc0(m
7、，aR)其中关于x的不等式是一元二次不等式的是_(请把正确的序号都填上)反思：当所给不等式的二次项系数含字母时，要注意二次项系数是否为零，这一点决定了这个不等式是否为一元二次不等式题型二 一元二次不等式的解法【例2】解不等式：x22x30.分析：可对不等式左边进行因式分解，再利用积的符号法则把它转化为不等式组求解；也可以利用二次函数图象求解反思：解法一的具体步骤是：(1)因式分解；(2)转化为不等式组；(3)写解集解法二的具体步骤是：(1)构造函数；(2)画图象；(3)写解集【例3】解关于x的不等式：x2(aa2)xa30(aR)分析：这是一个含有参数的一元二次不等式，首先考虑因式分解，分解之
8、后可知方程的根是a，a2，需要对两根进行大小比较，所以要进行讨论反思：熟练掌握一元一次和一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对含字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要注意不重、不漏题型三 已知一元二次不等式的解集求参数问题【例4】若不等式px2qx20的解集为x|1x2，求pq.分析：本题需要通过不等式的解集来确定不等式的系数，它类似于在初中所碰到的由方程的根确定方程的系数于是我们很自然地想到能否将不等式问题转化为方程问题反思：在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题这类问题也可以用下面的方法来解：(1
9、)先作出一个解集符合要求的不等式；(2)根据不等式同解的要求，确定其系数的数值利用此法确定不等式系数时，必须注意：将两不等式化为同向不等式；同向二次不等式的二次项系数同号，否则就会产生错误题型四 分式不等式的解法【例5】解下列不等式：(1)0；(2)0；(3)0.反思：在分式转化为整式的过程中注意分母不为零，对于“”“”型的分式不等式，转化后应变为不等式组1已知集合Mx|x|3，Nx|x2x60，则MN为()ARBx|2x3Cx|3x2或x3Dx|3x22函数y的定义域是()Ax|x4或x3Bx|4x3Cx|x4或x3 Dx|4x33不等式2x2mxn0的解集是x|x3或x2，则二次函数y2x
10、2mxn的表达式是()Ay2x22x12 By2x22x12Cy2x22x12 Dy2x22x124不等式x2x20的解集是_5二次函数yax2bxc(xR)的部分对应值如下表：x32101234y60466406则不等式ax2bxc0的解集是_答案：基础知识梳理1ax2bxc0ax2bxc0一个最高次数【做一做1】B2x|xx1或xx2x|xRx|x1xx2【做一做21】B【做一做22】x|x或x原不等式等价于6x2x20，6x2x20的两根为x1，x2，6x2x20的解集为x|x或x3(，)(，)(，x1)(x2，)(，)【做一做3】典型例题领悟【例1】是；不是；不一定是，因为当m0时，它
11、是一元一次不等式；不是，因为未知数的最高次数是3；是，尽管x2的系数含有字母，但a210，所以与不同，故答案为.【例2】解：解法一：原不等式化为(x1)(x3)0，即或解得x3或x1.故原不等式的解集为x|x1或x3解法二：作函数yx22x3的图象，如图所示，由图可知，yx22x3的图象在x轴上方(即函数值大于零)的点的横坐标的取值范围是x1或x3.故原不等式的解集为x|x1或x3【例3】解：将不等式x2(aa2)xa30变形为(xa)(xa2)0.当a0或a1时，有aa2，解集为x|xa或xa2；当0a1时，有aa2，解集为x|xa2或xa；当a0时，解集为x|x0；当a1时，解集为x|x1
12、【例4】解：不等式px2qx20的解集为(1,2)，方程px2qx20的两根是x11，x22，且p0.由韦达定理，可知pq0.【例5】解：(1)0x|x4或x(2)0(2x1)(3x1)0x|x或x(3)0ax(x1)0，当a0时，ax(x1)0x(x1)0x|1x0；当a0时，原不等式的解集为；当a0时，ax(x1)0x(x1)0x|x0或x1随堂练习巩固1D2C要使函数有意义，只需x2x120.方程x2x120的解为x14，x23.函数yx2x12的开口向上且与x轴有两个交点(4,0)，(3,0)原不等式的解集为x|x4或x33D依题意知x3和x2是方程2x2mxn0的两个根，所以解得m2，n12.故二次函数的表达式为y2x22x12.4x|1x2原不等式可以变化为(x1)(x2)0，可知方程x2x20的解为1和2，所以原不等式的解集为x|1x25(，2)(3，)根据所给数表中函数的单调性可以看出a0，且方程ax2bxc0的两个根为2和3.
