1、25曲线与方程1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想2掌握求曲线方程的步骤与一般方法3.体会解析几何的本质，用坐标法研究几何图形的知识4了解圆锥曲线的统一定义并能利用定义解决一些简单应用问题1方程的曲线与曲线的方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：点在曲线上点的坐标满足方程即：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点此时，方程叫曲线的方程，曲线叫方程的曲线2求曲线的方程的步骤(1)建立适当
2、的平面直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐标x，y表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.圆锥曲线的统一定义任意给定常数e(e0)，点F和直线l(Fl)，设动点P到F的距离和到l的距离之比等于e，则P的轨迹是圆锥曲线F是这条圆锥曲线的焦点，l称为它的准线当0eC1时是双曲线椭圆1有两条准线x，双曲线1有两条准线x1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)x2y21(x0)表示的曲线是单位圆()(2)若点M(x，y)的坐标是方程
3、f(x，y)0的解，则点M在曲线f(x，y)0上()(3)方程yx与方程y表示同一曲线()答案：(1)(2)(3)2设方程f(x，y)0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A坐标满足方程f(x，y)0的点都不在曲线C上B曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)0C坐标满足方程f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0答案：D3如果曲线C的方程是f(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？解：若点P在曲线C上，则f(x0，y0)0；若f(x0，y0)0
4、，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)0.曲线与方程的概念(1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是真命题，下列命题中正确的是()A方程f(x，y)0表示的曲线是CB方程f(x，y)0表示的曲线不一定是CCf(x，y)0是曲线C的方程D以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上(2)已知方程x2(y1)210.判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；若点M在此方程表示的曲线上，求出m的值【解】(1)选B.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”但“以方程f(x，y)0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，
5、C，D都不正确故选B.(2)因为12(21)210，()2(31)210，所以点P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，而点Q(，3)不在方程x2(y1)210表示的曲线上若点M在方程x2(y1)210所表示的曲线上，则(m1)210，解之得m2或m.判定曲线和方程对应关系的两个关注点(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性注意只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程 判断下列命题是否正确：(1)设点A(2，0)，B(0，2)，则线段AB的方程是xy
6、20；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2y20.解：(1)方程xy20表示一条直线，坐标满足该方程的点如(1，3)等不在线段AB上，故命题错误(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为yx，满足x2y20，反过来坐标满足方程x2y20的点到两坐标轴的距离相等，故命题正确由方程判断曲线(1)方程(xy2)0表示的曲线是()A一个圆和一条直线B半个圆和一条直线C一个圆和两条射线D一个圆和一条线段(2)如图所示，方程y表示的曲线是()【解析】(1)(xy2)0变形为x2y290或表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线xy20在圆x2y290外面的两条射线故选C.(2)因为y所以函数值恒为正，且
7、在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减故选B.【答案】(1)C(2)B若把本例(1)中的方程改为(xy1)0，又表示什么曲线？解：由方程(xy1)0可得或即xy10(x1)或x1.故方程表示一条直线xy10(x1)和一条直线x1. (1)方程表示的曲线的判断步骤 (2)判断方程表示曲线的注意事项方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想1.方程(xy1)(1)0表示的是()A两条互相垂直的直线B两条射线C一条直线和一条射线D一个点(2，1)解析：选C.因为(xy1)(1)0，所以可得或者10，也就是xy10(x3)或x4.故
8、方程表示一条射线和一条直线故选C.2方程lg(x2y21)0所表示的曲线是()解析：选D.原方程等价于0或lg(x2y21)0.所以x1或x2y211，即x1或x2y22.另外，要使方程有意义，必须x10且x2y21，即x1，且当x1时y0，故选D.求曲线的方程设圆C：(x1)2y21，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程【解】法一：(直接法)设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CPOQ.因为OC的中点为M，连接MP，故|MP|OC|，得方程y2，由圆的范围知0x1.法二：(定义法)因为OPC90，所以动点P在以点M为圆心，OC为直径的圆上由圆的方程得y2(0x1)法三：
9、(代入法)设所作弦OQ的中点P(x，y)，Q(x1，y1)，则又因为点Q(x1，y1)在圆C上，所以(x11)2y1，所以(2x1)2(2y)21，即y2(0x1)法四：(参数法)设动弦OQ的方程为ykx，代入圆的方程得(x1)2k2x21，即(1k2)x22x0，所以x，ykx，消去k即可得(2x1)2(2y)21，即y2(0b0)的右焦点为F(c，0)，离心率e，点A在椭圆上，d为点A到定直线l：x的距离(1)求证：e；(2)试判断以右焦点弦AB为直径的圆与直线l的位置关系并说明理由【解】(1)证明：设A(x，y)为椭圆1(ab0)上任意一点，m(m0)，则m，两边平方整理得(1m2)x2
10、y2(2c)x(c2)，比较椭圆方程y2b2的各项系数得，2c0，所以m2()2，因为m0，所以m，即e.(2)设A，B两点到直线l：x的距离分别为d1，d2，焦点弦AB的中点M到直线l：x的距离为d，由(1)可知e，所以d(因为0e1)，故以AB为直径的圆与定直线l相离椭圆、抛物线、双曲线三种圆锥曲线的共同特征表现在以下三个方面：(1)从方程的形式来看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程(包括圆)f(x，y)0都是二元二次方程，所以统称为二次曲线(2)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与定点和定直线的距离的比是常数e的点的集合(或轨迹)，只是当0e1时为双曲线(3)从曲线的形状生成
11、过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线 曲线M上的点Q(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x8的距离的比是常数.(1)求曲线M的方程；(2)已知点P(1，3)，点Q在曲线M上移动，当|PQ|2|QF|取最小值时，求Q点的坐标，并求出最小值解：(1)设d是点Q到直线l的距离，则，即，整理得1，即曲线M的方程为1.(2)如图，由(1)知，d2|QF|，设Q在l上的射影为Q，过P作PPl于P，则d|QQ|2|QF|，所以|PQ|2|QF|PQ|QQ|，所以当P、Q、Q共线时，即Q与P重合时，|PQ|QQ|取最小
12、值，为8(1)9，此时Q点纵坐标为3，代入曲线M的方程得x2，因为Q在线段PP上，所以x2，所以Q运动到(2，3)时，|PQ|2|QF|取最小值为9.1理解曲线与方程的定义应注意(1)定义中的第一条“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的解的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性)(2)定义中的第二条“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)(3)定义的实质是平面曲线上的点集和方程f(x，y)0的解集(x，y)|f(x，y)0之间的一一对应关系曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性
13、质，又可以求出曲线的方程2坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同3一般的，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x，y)等4方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)0化成x，y的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明5“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状1椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x4，则该椭圆的方程为 ()A.1B.1C.1 D. 1解析
14、：选C.由题意知椭圆的焦点在x轴上，故可设椭圆方程为1(ab0)由题意知所以所以b2a2c24，故所求椭圆方程为1.2下列各组方程表示相同曲线的是()Ayx与yByx2与y|x|C(x1)2(y2)20与(x1)(y2)0Dy与y|x|解析：选D.A中yx表示直线，y|x|表示两条射线；B中yx2表示抛物线，y|x|表示两条射线；C中前者表示一个点，后者表示两条直线x1和y2，故选D.3平面内有两定点A，B且|AB|4，动点P满足|4，则点P的轨迹是()A线段 B半圆C圆 D直线解析：选C.以AB的中点为原点O，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(2，0)，B(2，0)设P(x，y)，
15、则22(x，y)所以x2y24.4已知A(3，0)，B(3，0)，动点M满足1，求点M的轨迹方程解：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，(3x，y)，(3x，y)因为1，所以(3x，y)(3x，y)1，所以(9x2)y21，所以x2y28.所以点M的轨迹方程为x2y28. A基础达标1命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|PB|2a(a0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分又不必要条件解析：选B.利用椭圆定义若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|PB|2a(a0，常数)所以甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2
16、a(a0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的这是因为：仅当2a|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a|AB|时，P点无轨迹所以甲不是乙的充分条件2已知直线l：xy30及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2，1)()A在直线l上，但不在曲线C上B在直线l上，也在曲线C上C不在直线l上，也不在曲线C上D不在直线l上，但在曲线C上解析：选B.将x2，y1代入直线l：xy30及曲线C：(x3)2(y2)22的方程均成立，故点M(2，1)在直线l上，也在曲线C上故选B.3方程x22y22x2y0表示的曲线是()A一个点B一条直线C一个圆 D两条线段解析：选A.方
17、程可化为(x1)22(y)20，所以即，它表示点(1，)故选A.4已知分别过点A(1，0)和点B(1，0)的两条直线相交于点P，若两直线的斜率之积为1，则动点P的轨迹方程是()Ax2y21 Bx2y21(x1)Cx2y21(x0) Dy解析：选B.设P(x，y)，则由题意得1，化简得x2y21(x1)5已知点P是直线x2y30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则点Q的轨迹方程是()Ax2y30 Bx2y50Cx2y70 Dx2y70解析：选D.设P(x0，y0)，则x02y030(*)又设Q(x，y)，由|PM|MQ|，知点M是线段PQ的中点，则，即
18、(*)将 (*)代入(*)，得(2x)2(4y)30，即x2y70.故选D.6若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR)，则k的取值范围为_解析：因为曲线y2xy2xk0过点(a，a)，所以a2a22ak0.所以k2a22a2.所以k，所以k的取值范围是.答案：7若等腰三角形底边的两个顶点是B(2，1)，C(0，3)，则另一顶点A的轨迹方程是_解析：由题意，知另一顶点A在边BC的垂直平分线上又BC的中点为(1，1)，边BC所在直线的斜率kBC2，所以边BC的垂直平分线的斜率为，垂直平分线的方程为y1(x1)，即x2y10.又顶点A不在边BC上，所以x1.故另一顶点A的轨迹方程是x2y10(x
19、1)答案：x2y10(x1)8方程|x1|y1|1表示的曲线所围成的图形的面积是_解析：方程|x1|y1|1可写成或或或，其图形如图所示，它是边长为的正方形，其面积为2.答案：29已知曲线C的方程为x，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积解：由x，得x2y24.又x0，所以方程x表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S42.所以所求图形的面积为2.10等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4，2)，B(2，0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程解：设点C的坐标为(x，y)，因为ABC为等腰三角形，且A为顶点所
20、以|AB|AC|.又因为|AB|2，所以|AC|2.所以(x4)2(y2)240.又因为点C不能与B重合，也不能使A、B、C三点共线所以x2且x10.所以点C的轨迹方程为(x4)2(y2)240(x2且x10)B能力提升11a、b为任意实数，若点(a，b)在曲线f(x，y)0上，则点(b，a)也在曲线f(x，y)0上，那么曲线f(x，y)0的几何特征是()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线yx对称解析：选D.由于点(a，b)和(b，a)关于直线yx对称，所以f(x，y)0表示的曲线关于直线yx对称，故选D.12已知圆C的方程为x2y24，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m
21、，设m与y轴的交点为N，若向量，则动点Q的轨迹为_解析：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y00)，则点N的坐标为(0，y0)因为，即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0，2y0)，则x0x，y0.又点M在圆C上，所以xy4，即x24(y0)所以动点Q的轨迹方程是1(y0)答案：1(y0)13已知三角形ABC中，AB2，ACBC.(1)求点C的轨迹方程；(2)求三角形ABC的面积的最大值解：(1)以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，由ACBC，得(x3)2y28即为点C的轨迹方程，所以点C的轨迹是以(3，0
22、)为圆心，半径为2的圆(2)由于AB2，所以SABC2|y|y|，因为(x3)2y28，所以|y|2，所以SABC2，即三角形ABC的面积的最大值为2.14(选做题)如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1(2，0)，O2(2，0)由已知|PM|PN|，所以|PM|22|PN|2.又因为两圆的半径均为1，所以|PO1|212(|PO2|21)设P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21，即(x6)2y233.所以所求动点P的轨迹方程为(x6)2y233.
