1、考点规范练 14 导数的概念及运算 基础巩固 1.已知函数 f(x)=+1,则 -的值为()A.-B.C.D.0 答案:A 解析:-=-=-f(1)=-(-)=-.2.已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为()A.e B.-e C.D.-答案:C 解析:由题意可得 y=lnx 的定义域为(0,+),且 y=.设切点为(x0,lnx0),则切线方程为 y-lnx0=(x-x0).因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得 x0=e,故此切线的斜率为 .3.曲线 y=2sin x+cos x 在点(,-1)处的切线方程为()A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.
2、2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0 答案:C 解析:当 x=时,y=2sin+cos=-1,即点(,-1)在曲线 y=2sinx+cosx 上.y=2cosx-sinx,y|x=2cos-sin=-2.曲线 y=2sinx+cosx 在点(,-1)处的切线方程为 y-(-1)=-2(x-),即 2x+y-2+1=0.故选 C.4.已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g(x)是 g(x)的导函数,则 g(3)=()A.-1 B.0 C.2 D.4 答案:B 解析:由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3
3、 处切线的斜率等于-,故 f(3)=-.g(x)=xf(x),g(x)=f(x)+xf(x),g(3)=f(3)+3f(3).又由题图可知 f(3)=1,g(3)=1+3(-)=0.5.已知曲线 f(x)=x3-x+3 在点 P 处的切线平行于直线 y=2x-1,则点 P 的坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)答案:C 解析:f(x)=x3-x+3,f(x)=3x2-1.设点 P(x,y),则 f(x)=2,即 3x2-1=2,解得 x=1 或 x=-1,故 P(1,3)或(-1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线 y=2x-1
4、上,符合题意.故选 C.6.已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,2),则 ab等于()A.-8 B.-6 C.-1 D.5 答案:A 解析:由题意得 y=kx+1 过点 A(1,2),故 2=k+1,即 k=1.y=3x2+a,且直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,2),k=3+a,即 1=3+a,a=-2.将点 A(1,2)代入曲线方程 y=x3+ax+b,可解得 b=3,即 ab=(-2)3=-8.故选 A.7.若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有T 性质.下列函
5、数中具有 T 性质的是()A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 答案:A 解析:设曲线上两点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为 k1=f(x1),k2=f(x2).若函数具有 T 性质,则 k1k2=f(x1)f(x2)=-1.A 项,f(x)=cosx,显然 k1k2=cosx1cosx2=-1 有无数组解,所以该函数具有性质 T;B 项,f(x)=(x0),显然 k1k2=-1 无解,故该函数不具有性质 T;C 项,f(x)=ex0,显然 k1k2=-1 无解,故该函数不具有性质 T;D 项,f(x)=3x2,显然
6、k1k2=3 3 =-1 无解,故该函数不具有性质 T.综上,选 A.8.若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值为()A.1 B.C.D.答案:B 解析:因为定义域为(0,+),所以 y=2x-,令 2x-=1,解得 x=1,则曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 x-y=0,所以两平行线间的距离为 d=.故所求的最小值为.9.设函数 f(x)=.若 f(1)=,则 a=.答案:1 解析:对函数 f(x)=求导得 f(x)=-,由题意得 f(1)=,解得 a=1.10.曲线 y=log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等
7、于 .答案:log2e 解析:y=,k=,切线方程为 y=(x-1),所围三角形的面积为 S=1 log2e.11.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为 .答案:4 解析:由导数的几何意义及条件,得 g(1)=2,函数 f(x)=g(x)+x2,f(x)=g(x)+2x,f(1)=g(1)+2=4,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为 4.12.若函数 f(x)=x2-ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 .答案:2,+)解析:f(x)
8、=x2-ax+lnx,f(x)=x-a+.f(x)存在垂直于 y 轴的切线,f(x)存在零点,x+-a=0 有解,a=x+x0).能力提升 13.若函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则 y=f(x),y=g(x)的图象可能是()答案:D 解析:由 y=f(x)的图象知 y=f(x)在区间(0,+)内单调递减,说明函数 y=f(x)的切线的斜率在区间(0,+)内也单调递减,故可排除 A,C.又由图象知 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x=x0处相交,说明 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x=x0处的切线的斜率相同,故可排除 B.故选 D.14.若存在过点(1,0
9、)的直线与曲线 y=x3和 y=ax2+x-9 都相切,则 a 等于()A.-1 或-B.-1 或 C.-或-D.-或 7 答案:A 解析:因为 y=x3,所以 y=3x2.设过点(1,0)的直线与 y=x3相切于点(x0,),则在该点处的切线斜率为 k=3 ,所以切线方程为 y-=3 (x-x0),即 y=3 x-2 .又点(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0=.当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+x-9 相切,可得 a=-;当 x0=时,由 y=x-与 y=ax2+x-9 相切,可得 a=-1.15.给出定义:设 f(x)是函数 y=f(x)的导函数,(x)是函数 f(x)
10、的导函数,若方程 (x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0)为函数 y=f(x)的“拐点”.已知函数 f(x)=3x+4sin x-cos x 的“拐点”是 M(x0,f(x0),则点 M()A.在直线 y=-3x 上 B.在直线 y=3x 上 C.在直线 y=-4x 上 D.在直线 y=4x 上 答案:B 解析:由题意,知 f(x)=3+4cosx+sinx,(x)=-4sinx+cosx,由 (x0)=0,知-4sinx0+cosx0=0,即 4sinx0-cosx0=0,所以 f(x0)=3x0+4sinx0-cosx0=3x0,即点 M(x0,3x0),显然在直线 y=3x
11、上.故选 B.16.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数h(x)=2f(x)-g(x)在点(0,h(0)处的切线方程是 .答案:x-y+4=0 解析:f(x)-g(x)=ex+x2+1,且 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1.f(x)=-,g(x)=-.h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-=ex+e-x+2x2+2.h(x)=ex-e-x+4x,即 h(0)=1.又 h(0)=4,切线方程为 x-y+4=0.高考预测 17.设曲线 y=xex+x2在原点处的切线与直线 x+ay+1=0 垂直,则 a=.答案:1 解析:由 y=xex+x2得 y=ex+xex+2x,在原点处的切线的斜率 k1=e0+0e0+0=1,直线 x+ay+1=0 的斜率 k2=-,由题意知 k1k2=-1=-1a=1.
