1、单元质检五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2020全国,文2)若z(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i答案:D解析:由z(1+i)=1-i,知z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,则z=i.故选D.2.已知O是ABC所在平面内一点,D为边BC的中点,且2OA+OB+OC=0,则()A.AO=2ODB.AO=ODC.AO=3ODD.2AO=OD答案:B解析:由2OA+OB+OC=0,得OB+OC=-2OA=2AO,即OB+OC=2OD=2AO,所以O
2、D=AO,故选B.3.若非零向量a,b满足a(2a+b),且a与b的夹角为23,则|a|b|=()A.12B.14C.32D.2答案:B解析:a(2a+b),且a与b的夹角为23,a(2a+b)=2a2+ab=2|a|2-12|a|b|=0.又|a|0,|b|0,2|a|=12|b|,|a|b|=14,故选B.4.已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则BDCD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.32a2答案:D解析:如图,设BA=a,BC=b,则BDCD=(BA+BC)BA=(a+b)a=a2+ab=a2+aacos60=a2+12a2=32a2.5.已知复数z=a+a+i
3、3-i(aR,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-12,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:A解析:由题意,得z=a+a+i3-i=a+(a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=13a-110+(a+3)i10,z=13a-110-(a+3)i10.又复数z的共轭复数的虚部为-12,-a+310=-12,解得a=2.z=52+12i,复数z在复平面内对应的点位于第一象限.6.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使APBP有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)答案
4、:C解析:设点P坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,APBP有最小值1.点P坐标为(3,0).7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若为实数,(b+a)c,则的值为()A.-311B.-113C.12D.35答案:A解析:由题意,得b+a=(1,0)+(1,2)=(1+,2).因为c=(3,4),(b+a)c,所以(b+a)c=0,即(1+,2)(3,4)=3+3+8=0,解得=-311,故选A.8.如图,在正方形ABCD中,E为BC的中点,F
5、为AE的中点,则DF=()A.-12AB+34ADB.12AB+23ADC.13AB-12ADD.12AB-34AD答案:D解析:由题意,得DF=AF-AD,AE=AB+BE.E为BC的中点,F为AE的中点,AF=12AE,BE=12BC.DF=AF-AD=12AE-AD=12(AB+BE)-AD=12AB+14BC-AD.又BC=AD,DF=12AB-34AD.9.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且向量a,b的夹角为4.若a-b与b垂直,则实数的值为()A.-12B.12C.-24D.24答案:D解析:因为a-b与b垂直,且ab=12cos4=2,所以(a-b)b=2-4=0,解得
6、=24,故选D.10.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos ,2sin ),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()A.0,4B.4,512C.512,2D.12,512答案:D解析:由题意,得OA=OC+CA=(2+2cos,2+2sin),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.11.已知向量a,b满足|a-b|=3,且b=(0,-1).若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|=()A.2B.23C.4D.12答案:A解析:由|a-b|=3,得|a-b|
7、2=(a-b)2=a2-2ab+b2=9,所以ab=|a|2+|b|2-92=|a|2-82.由向量a在向量b方向上的投影为-2,得ab|b|=|a|2-82=-2,即|a|2=4,所以|a|=2,故选A.12.已知|OA|=|OB|=2,点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,则|OA-tOB|(tR)的最小值为()A.2B.3C.2D.5答案:B解析:依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,AOB=180-230=120,(OA-tOB)2=4+4t2-2t22cos120=4t2+4t+4=4t+122+3的
8、最小值为3,因此|OA-tOB|的最小值为3.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.已知i为虚数单位,且复数z满足(z-i)(1+i)2+i=2i,则|z|=.答案:17解析:由(z-i)(1+i)2+i=2i,得z=2i(2+i)1+i+i=1+4i,所以|z|=12+42=17.14.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点.若F为该矩形内(含边界)任意一点,则AEAF的最大值为.答案:92解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E2,12.设F(x,y),则0x2,0y1,则AEAF=2x+12y,令z=2x+12
9、y,当z=2x+12y过点(2,1)时,AEAF取最大值92.15.若向量a,b满足:a=(-3,1),(a+2b)a,(a+b)b,则|b|=.答案:2解析:a=(-3,1),|a|=2.(a+2b)a,(a+b)b,(a+2b)a=0,(a+b)b=0,即|a|2+2ab=0,|b|2+ab=0.由-2,得|a|2=2|b|2,则|b|=2.16.(2020浙江,17)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|2,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为,则cos2的最小值是.答案:2829解析:|2e1-e2|2(2e1-e2)22,解得e1e234.又e1e21,所以34e1e21.cos=ab|a|b|=(e1+e2)(3e1+e2)(e1+e2)2(3e1+e2)2=4+4e1e22+2e1e210+6e1e2,设e1e2=x,则34x1.cos2=16(x+1)2(2+2x)(10+6x)=16(x+1)212x2+32x+20=4(x+1)23x2+8x+5=4(x+1)23(x+1)2+2(x+1)=43+2x+1,得cos22829,1,所以cos2的最小值是2829.
