1、双曲线专题检测【3年模拟】1.(2019河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为()A.x2113-y211=1B.x22-y2=1C.y2113-x211=1D.y211-x2113=1答案A设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1,由点到直线的距离公式可得|k0-2|k2+1=1,解得k=3.又因为双曲线经过点(2,1),所以双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),将(2,1)代入可得4a2-1b2=
2、1,由4a2-1b2=1,ba=3得a2=113,b2=11,故所求双曲线的标准方程为x2113-y211=1.故选A.一题多解设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn0),将(2,1)代入方程可得,4m-n=1.双曲线的渐近线方程为y=mnx,圆x2+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为1,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,可得21+mn=1,即mn=3,由可得m=311,n=111,所以该双曲线的标准方程为x2113-y211=1,故选A.解后反思用待定系数法求双曲线的方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的
3、位置不好确定,可将双曲线的方程设为x2m2-y2n2=(0)或mx2-ny2=1(mn0),再根据条件求解.2.(多选题)已知双曲线的方程为x24-y2=1,则双曲线的()A.离心率为52B.渐近线方程为y=14xC.共轭双曲线为y24-x2=1D.焦点在曲线x2-5|x|+ty2=0(tR)上答案AD由双曲线的方程为x24-y2=1,可得a=2,b=1,又c2=a2+b2,所以c=a2+b2=5,所以双曲线的离心率为ca=52,故A正确;双曲线的渐近线方程为y=bax=12x,故B错误;由双曲线的方程为x24-y2=1,得其共轭双曲线为y2-x24=1,故C错误;由双曲线的方程为x24-y2
4、=1,得焦点为(5,0),代入曲线的方程x2-5|x|+ty2=0(tR),满足方程,故D正确.故选AD.3.已知双曲线x216-y248=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是该双曲线上的一点,且|PF1|=10,则|PF2|=()A.2或18B.2C.18D.4答案C由已知得a=4,b=43,又c2=a2+b2,所以c=8,因为|PF1|=10b0)的右焦点,A、B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,AFBF,且AF的中点在双曲线C上,则C的离心率为()A.5-1B.3+12C.5+12D.3+1答案A本题考查双曲线的几何性质,通过双曲线的几何性质考查学生分析问题、处理问题的能力,
5、体现直观想象、数学运算的核心素养.因为ab0,所以1e0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1作圆x2+y2=a2的切线,交双曲线右支于点M,若F1MF2=45,则双曲线的渐近线方程为()A.y=12xB.y=xC.y=2xD.y=3x答案C如图,设直线F1M与圆O的切点为A,连接OA,作F2BF1M于点B.则|OA|=a,|F2B|=|BM|=2a,|F2M|=22a,|F1B|=2b.又点M在双曲线右支上,|F1M|-|F2M|=2a+2b-22a=2a,整理得b=2a,即ba=2,双曲线的渐近线方程为y=2x.故选C.6.(2020浙江湖州期末,6)已知双曲线x216-y24=1
6、的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l交双曲线于P,Q两点,若PQ长为5,则PQF1的周长是()A.13B.18C.21D.26答案D本题主要考查双曲线的定义运用.若直线l与双曲线的两支均相交,则|PQ|2a=8,这与已知矛盾,所以l与双曲线的右支交于点P、Q.由双曲线的定义知|PF1|=|PF2|+2a,|QF1|=|QF2|+2a,所以PQF1的周长为|PQ|+|PF1|+|QF1|=2|PQ|+4a=25+44=26,故选D.7.(2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(5月),8)已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点,P是双曲线上的一点,且PF1
7、PF2,若PF1F2的内切圆半径为a2,则该双曲线的离心率为()A.6-1B.3+12C.6+12D.6+1答案C由题意知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,|PF1|+|PF2|-2c2=a2,即|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,|PF1|+|PF2|=a+2c,由2+2得2(|PF1|2+|PF2|2)=5a2+4ac+4c2,即8c2=5a2+4ac+4c2,故4e2-4e-5=0,解得e=6+12(负的已舍),故选C.8.(2020北京十四中期中,10)双曲线x24-y2=1的渐近线方程为.答案y=12x解析由双曲线x24-
8、y2=1得a=2,b=1,焦点在x轴上,双曲线x24-y2=1的渐近线方程为y=bax=12x.思路分析由双曲线的方程确定双曲线的焦点所在坐标轴,以及a,b,从而确定双曲线的渐近线方程.9.(2020湖北武汉月考)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),过F1且斜率为3的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B,若(BA+BF2)AF2=0,则C的离心率为.答案1+132解析由(BA+BF2)AF2=(BA+BF2)(BF2-BA)=|BF2|2-|BA|2=0得|BF2|=|BA|,根据双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2a,|
9、AF2|-|AF1|=2a,所以|AF1|=|BF1|-|BA|=2a,因此|AF2|=2a+|AF1|=4a,因为直线AB的斜率为3,所以AF1F2=60,又|F1F2|=2c,所以cos60=|AF1|2+|F1F2|2-|AF2|22|AF1|F1F2|=4a2+4c2-16a24a2c=c2-3a22ac,即c2-ac-3a2=0,所以e2-e-3=0,解得e=1+132或e=1-132(舍,双曲线的离心率大于1).思路分析先由(BA+BF2)AF2=0,得出|BF2|=|BA|,再由双曲线的定义求出|AF1|=|BF1|-|BA|=2a,|AF2|=2a+|AF1|=4a,根据直线A
10、B的斜率得到AF1F2=60,由余弦定理列出方程求解,即可得出结果.10.(2018江苏高邮中学阶段考试,9)如图所示,F1和F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,A和B是以O为圆心、OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且F2AB是等边三角形,则该双曲线的离心率为.答案3+1解析由题意得|AF2|=|F1F2|cos30=3c,|AF1|=|F1F2|sin30=c.由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a,即2a=(3-1)c,e=ca=23-1=3+1.11.(2018江苏扬州期末检测,10)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b
11、0)的渐近线与圆x2+y2-6y+5=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是.答案1,32解析圆x2+y2-6y+5=0的标准方程为x2+(y-3)2=4,双曲线的渐近线方程为y=bax,即bxay=0,由条件知圆心到渐近线的距离大于半径,从而有|3a|a2+b22,3a2c,e1,1e0)的两条渐近线与圆O:x2+y2=2的四个交点依次为A,B,C,D.若矩形ABCD的面积为b,则b的值为.答案7解析双曲线的渐近线方程为y=bx,与圆的方程联立,解得x2=21+b2,y2=2b21+b2,由对称性知矩形ABCD的面积b=4|xy|=421+b22b21+b2,解得b=7.解题关键本题关键是抓
12、住对称性,得到矩形ABCD的面积b=4|xy|.13.(2018南通高三调研,7)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C与双曲线x2-y23=1有公共的渐近线,且经过点P(-2,3),则双曲线C的焦距为.答案43解析双曲线C与双曲线x2-y23=1有公共的渐近线,设双曲线C的方程为x2-y23=(0),双曲线C经过点P(-2,3),=4-1=3.双曲线C的方程为x23-y29=1.双曲线C的焦距为23+9=43.方法归纳与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=(0),此种方法比用基本量求a,b要简单.14.(2017安徽池州模拟,15)已
13、知椭圆x216+y212=1的右焦点F到双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线的距离小于3,则双曲线E的离心率的取值范围是.答案(1,2)解析椭圆x216+y212=1的右焦点F为(2,0),不妨取双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线为bx+ay=0,则F到渐近线bx+ay=0的距离d=|2b|b2+a23,即有2b3c,4b23c2,4(c2-a2)3c2,e1,1e0)的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且F1AF2=45,延长AF2交双曲线的右支于点B,则F1AB的面积等于.答案4解析由题意知a=1,由双曲线定义知|AF1|-
14、|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,|AF1|=2+|AF2|=4,|BF1|=2+|BF2|.由题意知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|,|BA|=|BF1|,BAF1为等腰三角形,F1AF2=45,ABF1=90,BAF1为等腰直角三角形.|BA|=|BF1|=22|AF1|=224=22.SF1AB=12|BA|BF1|=122222=4.16.(2017河南百校联盟质检,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1
15、AF2B,则双曲线C的离心率为.答案3+174解析由双曲线定义得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c-2a,因为F1AF2B,所以F2F1A+F1F2B=180,所以cosF2F1A=-cosF1F2B,结合余弦定理得4c2+4c2-(2a+2c)222c2c=-4c2+(2c-2a)2-4c222c(2c-2a),所以2e2-3e-1=0,又e1,所以e=3+174.17.(2018浙江名校协作体联考,16)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,过F的直线l与双曲线的渐近线交于A,B两点,且与其中一条渐近线垂直,若AF=3FB,则此双曲线的离心率为.答案62解析设渐
16、近线l1的倾斜角为,且ABl1,则由题意知tan=ba,且满足tan2=4tan,利用二倍角公式展开,知2tan1-tan2=4tan,故tan2=12,所以b2a2=12,即e2=32,因此e=62.18.(2018江苏启东中学月考)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=213,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为37.(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cosF1PF2的值.解析(1)由题意知c=13,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),双曲线方程为x2m2-y2n2=1(m0,n0),则a-m=4,713a=313m,解得a=7,m=3.则b=6,n=2.故椭圆方程为x249+y236=1,双曲线方程为x29-y24=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=213,所以cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=102+42-(213)22104=45.
