1、广东省顺德区容山中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟 满分150分） 2020.4.18 9:4011:40注意事项：1考试时务必诚信作答，在父母的监督下答题；2考前15分钟推送试题，考试结束后迅速将非选择题的答案拍照上传到智学网上相应答题区域内第I卷 选择题 （共60分）一、单项选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.若复数，则（ ）A. B. C. D. 20【答案】B【解析】【分析】化简得到，再计算模长得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.
2、2.=( )A. 31B. 32C. 33D. 34【答案】D【解析】 本题选择D选项.3. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】按照复数的运算规则进行运算即可.【详解】.故选：D【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题.4.下列求导数运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于，故选项A不正确；由于，故选项B正确；由于，故选项C不正确；由于，故选项D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.5.已知函数，则（ ）A. 2B. C.
3、 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义，以及导数的计算，即可求得结果.【详解】根据题意，对函数，有，又由，则，则有.故选：B.【点睛】本题考查导数的定义，以及导数的计算，属综合基础题.6.已知，则（ ）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】C【解析】【分析】按照求导法则对函数进行求导，令代入导数式即可得解.【详解】函数，则，令代入上式可得，解得.故选：C【点睛】本题考查导数的运算法则，属于基础题.7.的展开式中，各项系数之和为（ ）A. -32B. 32C. 256D. -256【答案】A【解析】【分析】令原式中即可求得各项系数之和.【详解】令中，则有各项系数之和为.故选：A
4、【点睛】本题考查二项展开式中各项系数之和，属于基础题.8.从某学习小组的5名男生和4名女生中任意选取3名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（ ）A. 35B. 70C. 80D. 140【答案】B【解析】【分析】先计算从9名学生中任选3名的选法，再分别计算3名都是男生和3名都是女生的情况数目，由事件之间的关系，计算即得.【详解】由题得，从9名学生中任选3人，共种情况，若选出的3人都为男生时，有种情况，选出3人都为女生时，有种情况，可得符合题意的选取种数为.故选：B【点睛】本题考查组合问题，是基础题.9.若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是( )A. -1，
5、+B. （-1，+）C. （-，-1D. （-，-1）【答案】C【解析】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故为正确答案10.定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，由题意得即函数在上单调递减，再根据题意得，即可得解.【详解】令，则，函数在上单调递减，又 ，.故选：A.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了根据题意构造新函数的能力，属于中档题.二、多选题（本题共2个小题，每小题5分，共10分，每小题的四个选项中，至少有一个是正确的，少答3分，多答错答0分）11.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所
6、示，以下结论正确的是（ ）A. -3是的一个极小值点；B. -2和-1都是的极大值点；C. 的单调递增区间是；D. 的单调递减区间是【答案】ACD【解析】【分析】由导函数与单调性、极值的关系判断【详解】当时，时，是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是故选：ACD.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反12.设函数，则下列说法正确的是（ ）A. 定义域是（0，+）B. x（0，1）时，图象位于x轴下方C. 存在单调递增区间D. 有且仅有两个极值点【答案】BC【解析】【分析】根据可得定义域，即可判断；通过当时，可判断；详解】由题意函数满足，解得且，所以
7、函数的定义域为，所以A不正确；由，当时，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；，设，所以，函数单调增，所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；则函数只有一个根，使得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；故选：BC.【点睛】本题主要考考查了求函数的定义域以及符号，利用导数研究函数的性质，属于中档题.第II卷（共90分）三、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知i是虚数单位，则复数对应的点在第_象限.【答案】二【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，得出复数所对应的点，即可判断点所在的象限【详解】解：由
8、题意得，已知复数，则设，即：，则复数所对应的点为，则在第二象限.故答案为：二.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题14.在的展开式中，的系数为_【答案】【解析】【分析】根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.【详解】的展开式中，所求项为：，的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.15.若，则_【答案】5【解析】【分析】排列数和组合数用阶乘表示，化简方程，求解即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为:.【点睛】本题考查求解排列数和组合数的方程，熟记公式是解题关键，考查数学计算能力，属于基础题.16.若直线
9、与曲线相切，则_【答案】3【解析】【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用切点为切线与曲线的公共点列出等式，两式联立求解即可.【详解】设切点为，由得，代入得，则，故答案为：3【点睛】本题考查已知曲线的切线求参数，导数的几何意义，属于基础题.四、解答题（共70分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数（1）若为实数，求实数的值；（2）若为纯虚数，求实数的值；（3）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值【答案】（1）（2）a=2（3）【解析】【分析】（1）为实数则虚部为0；（2）为纯虚数则实部为0且虚部不为0；（3）在复平面上对应的点，满足直线的方程代入列出方程即
10、可得解.【详解】（1）若实数，则，； （2）若z为纯虚数，则， 解得实数a的值为2； （3）在复平面上对应的点， 在直线上，则，即 解得【点睛】本题考查复数的有关概念，复数的几何意义，属于基础题.18.江夏一中将要举行校园歌手大赛，现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序（结果用数字作答）（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？（3）如果3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？【答案】（1）144；（2）360；（3）108【解析】【分析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析
11、：、先将3名男生排成一排，、男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，先不考虑甲乙的情况，将6人排成一排，又由女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，即可得答案；（3）根据题意，分3步进行分析：、先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，、将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，、分析女生甲的安排方法，由分步计数原理计算可得答案【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：先将3名男生排成一排，有种情况，男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则有种不同的出场顺序；（2）根据题意，将6人排
12、成一排，有种情况，其中女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，则女生甲在女生乙的前面的排法有种；（3）根据题意，分3步进行分析：先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，有种情况，女生甲不在第一个出场，则女生甲的安排方法有种，则有种符合题意的安排方法【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分步、分类计数原理的应用19.已知在的展开式中第5项为常数项.（1）求的值；（2）求展开式中含有项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【答案】（1）；（2）；（3），【解析】【分析】（1）先写出展开
13、式的通项公式，由展开式中第5项为常数项，则当时，有，从而求出出的值.（2）由（1）中得到，则含有项，即，得到，从而求出答案.（3）展开式中所有的有理项,则，可得可取1，4，7，可得到答案.【详解】（1）展开式的通项公式为.因为第5项为常数项.所以时，有，解得.（2）令，由（1），解，故所求系数为（3）有题意得，令，则所以可取，即可取1，4，7它们分别为，.【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式应用，求展开式中某项的系数，属于中档题.20.如图所示，是边长，的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，、是上被切去的小正方形的两个顶点，设.（1）将
14、长方体盒子体积表示成的函数关系式，并求其定义域；（2）当为何值时，此长方体盒子体积最大？并求出最大体积.【答案】（1），；（2）当时长方体盒子体积最大，此时最大体积为.【解析】【分析】（1）分别由题意用x表示长方体的长宽高，代入长方体的体积公式即可表示该函数关系，再由实际长方体的长宽高都应大于零构建不等式组，即可求得定义域.（2）利用导数分析体积在定义域范围内的单调性，进而求函数的最大值.【详解】长方体盒子长，宽，高.（1）长方体盒子体积，由得，故定义域为.（2）由（1）可知长方体盒子体积则，在内令，解得，故体积V在该区间单调递增；令，解得，故体积V在该区间单调递减；在取得极大值也是最大值.此
15、时.故当时长方体盒子体积最大，此时最大体积为.【点睛】本题考查实际生活中的最优解问题，涉及数学建模与利用导数求函数的最大值，属于简单题.21.已知函数（1）当时，求在（）处的切线方程；（2）若函数在1，4上有两个不同零点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据 ，求导，再求得 ，根据切点，写出切线的方程；（2）将函数在1，4上有两个不同的零点，转化为在1，4内有两个实根，利用导数法研究其单调性，画出图象求解.【详解】（1）因为 ，所以，所以， 又因为切点为（1，），所以切线的方程为；（2）若函数在1，4上有两个不同的零点，可得在1，4内有两个实根，设，当时，递减，当
16、时，递增，由，画出的图象，如图所示可得，解得.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数的图像在点处的切线为（1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用可求，从而可得的解析式.（2）等价于，令，利用导数可求也就是.（3）不等式等价于，令，利用导数可求在上的最小值后可得的取值范围.【详解】（1），由已知得解得，故.（2）令，由得.当时，单调递减；当时，单调递增.，从而（3）对任意的恒成立对任意的恒成立.令，由（2）可知当时，恒成立令，得；得.的增区间为，减区间为，实数的取值范围为.【点睛】本题考查曲线的切线以及函数不等式的恒成立，对于函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.如果函数不等式含有参数，则可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的最值问题.
