1、课后素养落实(二十六)用向量方法研究立体几何中的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()AlBlClDl或lDab0，l或l2已知非零向量a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量，且ab(0)，bc0，则a与c的位置关系是()A垂直B平行C相交D异面A由ab(0)，知ab，由bc0，知bc，故选A3已知直线l1的方向向量为a(2，4，x)，直线l2的方向向量为b(2，y，4)，且l1l2，则xy()A1B1C0D无法确定Al1l2，ab，即ab0，44y4x0，即xy14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为
2、A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定B以C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A1(a，a，0)，B(a，0，a)，A(a，a，a)，C(0，0，a)，M，N，易知(0，a，0)是平面BB1C1C的一个法向量，而 00a 00，MN平面BB1C1C5如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEF与A1D，AC都垂直CEF与BD1相交DEF与BD1异面B分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D
3、xyz(图略)，设正方体的棱长为3，则A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，E(1，0，1)，F(2，1，0)，(3，0，3)，(3，3，0)，(1，1，1)，0，0，A1DEF，ACEF二、填空题6已知平面的法向量为(2，m，1)，平面的法向量为，且与相交，则m，n满足的条件是_m4，或n与相交，的法向量与的法向量不共线，或即m4，或n7已知向量n1(2，1，3)，n2(10，5，15)分别是平面，的法向量，那么平面，的位置关系为_平行n1(2，1，3)，n2(10，5，15)n25n1，n1n2，即8若 (，R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是_AB
4、平面CDE或AB平面CDE (，R)，与，共面AB平面CDE或AB平面CDE三、解答题9如图，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB，AOB120，且OAOBOC1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB3AQ，证明：PQOA证明如图，连接OP，OQ，PQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)则A(1，0，0)，C(0，0，1)，BP为AC的中点，P，又由已知，可得又，0，即PQOA10在正方体ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P，使B1D平面PAC?解以D为原点建立空间直角坐标系，如图，设存在点P(0，0，z)，且正方体棱长为a
5、，则(a，0，z)，(a，a，0)，(a，a，a)B1D平面PAC，0，0a2az0za，即点P与D1重合点P与D1重合时，DB1平面PAC11如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是()A平行B相交C异面垂直D异面不垂直C以A为原点，分别以，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N0，ON与AM垂直，易得ON与AM异面，故ON与AM异面垂直12如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM
6、平面BDE则M点的坐标为()A(1，1，1)BCDC设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，AMEO，又O是正方形ABCD对角线交点，M为线段EF的中点在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(，1)由中点坐标公式，知点M的坐标13(多选题)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等则下列结论正确的是()AA1MD1PBA1MB1QCA1M平面DCC1D1DA1M平面D1PQB1ACD，DP，从而A1MD1P，可得ACD正确又B1Q与D1P不平行，故B不正确14已知正
7、方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN的最小值为_如图所示，作MM1AD，垂足为M1，作NN1CD，垂足为N1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，根据面面垂直的性质定理，可得MM1，NN1都垂直于平面ABCD，由线面垂直的性质定理，可知MM1NN1，易知平面M1N1NM平面ACC1A1，由面面平行的性质定理可知，M1N1AC，设DM1DN1x，则0x1在直角梯形MM1N1N中，MN2(x)2(12x)26，当x时，MN取得最小值为15如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BC的中点(1)在B1B上是否存在一点P，使D1P平面B1AE?(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N平面B1AE?解(1)如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点A(1，0，0)，E，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，(0，1，1)，假设存在点P(1，1，z)满足题意，于是(1，1，z1)，所以所以解得矛盾故在B1B上不存在点P使D1P平面B1AE(2)假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N平面B1AE设N(1，y，z)，则因为(1，y，z1)，所以解得故平面AA1B1B上存在点N，使D1N平面B1AE
