1、核心必知1三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2，当且仅当bi0(i1，2，3)或存在一个数k，使得aikbi(i1，2，3)时，等号成立2一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1anbn)2，当且仅当bi0(i1，2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1，2，n)时，等号成立问题思考1在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成aibi(i1，2，3，n)，可以吗？提示：不可以，aibi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致2在一般形式的柯西不等式中
2、，等号成立的条件记为aikbi(i1，2，3，n)，可以吗？提示：不可以若bi0而ai0，则k不存在设a，b，c为正数，且不全相等求证：.精讲详析本题考查三维形式的柯西不等式的应用解答本题需要构造两组数据，；，然后利用柯西不等式解决构造两组数，；，则由柯西不等式得(abbcca)(111)2，即2(abc)9，于是.由柯西不等式知，中有等号成立abbccaabc.因题设，a，b，c不全相等，故中等号不成立，于是.柯西不等式的结构特征可以记为(a1a2an)(b1b2bn)()2，其中ai，biR(i1，2，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的
3、两个数组是解决问题的关键1设a，b，c为正数，求证：abc.证明：()2()2()2(abc)2，即(abc)(abc)2，又a，b，cR，abc0，abc，当且仅当abc时等号成立。设2x3y5z29，求函数u 的最大值精讲详析本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号根据柯西不等式1203(2x1)(3y4)(5z6)(111)2，故2.当且仅当2x13y45z6，即x，y，z时，等号成立，此时umax2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件2已知a，b，cR，且abc1，求 的最大值解：由柯西不等式，
4、得()2(111)2(121212)(4a14b14c1)34(abc)321.当且仅当abc时，取等号故的最大值为.设f(x)lg，若0a1，nN且n2，求证：f(2x)2f(x)精讲详析本题考查柯西不等式、综合法、分析法在证明不等式中的应用，解答本题的关键是将f(2x)2f(x)具体化，然后再根据式子的结构特点选择合适的证明方法f(2x)lg，要证f(2x)2f(x)，只要证lg2lg，即证(*)也即证n12x22x(n1)2xan2x1x2x(n1)xanx2， 0a1，aa2，根据柯西不等式得 n12x22x(n1)2xan2x(121212),sdo4(n个)(1x)2(2x)2(n
5、1)x2(anx)21x2x(n1)xanx2，即(*)式显然成立，故原不等式成立对于较复杂的证明问题，可采用“分析法”进行“抽丝剥茧”，从而找到柯西不等式的结构特征3已知a1，a2，an都是正实数，且a1a2an1.求证：.证明：根据柯西不等式，得左边(a1a2)(a2a3)(a3a4)(an1an)(ana1)()2()2()2( )2(a1a2an)2右边原不等式成立本课时经常考查柯西不等式在证明不等式中的应用福建高考以解答题的形式考查了柯西不等式在证明不等式中的应用，是高考命题的一个新亮点考题印证(福建高考)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1，1(1)求m的值；
6、(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.命题立意本题考查一般形式的柯西不等式在证明中的应用解(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1，1，故m1.(2)证明：由(1)知1又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.一、选择题1已知a，b，R，且a2b10，则a2b2的最小值为()A5 B10 C20 D30解析：选C根据柯西不等式有(a2b2)(122)(a2b)2100.a2b220，当且仅当a2时取等号2设a1，a2，an为实数，P，Q，则P与Q的大小关系为()APQ BPQ C
7、Pb0，则a 的最小值为()A1 B3 C8 D12解析：选B2ab0，2ab0.a3 3.当且仅当2abb，即ab2时等号成立当ab2时，a 有最小值3.二、填空题5已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值为_解析：(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)1.答案：16若a，b，c为正数，则的最小值为_解析：由柯西不等式可知，329.答案：97已知x，y，zR，且xyz1，则的最小值为_解析：利用柯西不等式由于(xyz)36，所以36.当且仅当x2y2z2，即x，y，z时，等号成立的最小值为36.答案：368(湖南高考)已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b2
8、9c2的最小值为_解析：由柯西不等式，得(a24b29c2)(121212)(a12b13c1)236，故a24b29c212，从而a24b29c2的最小值为12.答案：12三、解答题9设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，求的值解：由柯西不等式知：2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)23022536，当且仅当k时取“”所以k2(x2y2z2)22536，解得k.所以k.10在直线5x3y2上求一点，使(x2y1)2(3xy3)2取得小值解：由柯西不等式得(2212)(x2y1)2(3xy3)22(x2y1)(3xy3)2(5x3y1)29.(x2y1)2(3xy3)2.当且仅当x2y12(3xy3)即5x4y70时取等号解方程组得故所求点的坐标为.11已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围解：，故的取值范围是.
