1、二 极坐标系更上一层楼基础巩固1点P的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )A.(2,) B.(2,)C.(2,) D.(2,)思路解析：因为点P()在第二象限,与原点的距离为2,且OP的倾斜角为.故选B.答案：B2图1-2-8是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.图1-2-8思路分析：如图所示,以AB所在直线为极轴,点A为极点建立极坐标系.找AB、AC、AD、AE的距离为各点的极径,分别以x轴为始边,AB、AC、AD、AE为终边找在0到2之间的极角.解：教学楼点A(0,0),体育馆点B(60,
2、0),图书馆点C(120,),实验楼点D(,),办公楼点E(50,).3已知过曲线(为参数，且0)上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是( )A.(3,4) B.(,)C.(-3,-4) D.(,)思路解析：因为点P与原点O的直线PO的倾斜角为，即点P的极角=，直接代入已知曲线方程，即可求出点P的直角坐标来.答案：B4极坐标系中，点A的极坐标是(3,)，则(1)点A关于极轴对称的点是_；(2)点A关于极点对称的点的极坐标是_；(3)点A关于直线=的对称点的极坐标是_.（规定0,0,2）思路解析：如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意：极
3、角是以x轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.答案：(1)(3,) (2)(3,) (3)(3,)5直线l过点A(3,)、B(3,)，则直线l与极轴夹角等于_.思路解析：如图所示,先在图形中找到直线l与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A、B的位置分析夹角的大小.|AO|=|BO|=3,AOB=-=,OAB=分 -.ACO=-=.答案：6极坐标方程=所对应的直角坐标方程为_.思路解析：因为=可化为=,即=,去分母,得=2+cos.将公式代入得x2+y2=(2+x)2.整理可得.答案：y2=4(x+1)7在极轴上求与点A(,)距离为5的点M的坐标_.思路分析：题目要求是点在极轴上,可设
4、点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A、M两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M的坐标来.解：设M(r,0),A(,),=5,即r2-8r+7=0.解得r=1或r=7.M点的坐标为(1,0)或(7,0).在极坐标系下,任意两点P1(1,1),P2(2,2)之间的距离可总结如下：|P1P2|=,此式可直接利用余弦定理证得.8已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5,),B(5,),C(,),判断ABC的形状，并求出它的面积.（提示：对于点M(,)，当极径小于零时，此时M点在极角终边的反向延长线上，且OM=|）思路分析：判断ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计
5、算边长较为容易，不妨先计算边长.解：AOB=,BOC=,AOC=,又|OA|=|OB|=5,|OC|=,由余弦定理，得|AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|OC|cosAOC=52+()2-25cos=133.|AC|=.同理,|BC|=.|AC|=|BC|.ABC为等腰三角形.又|AB|=|OA|=|OB|=5,AB边上的高h=.SABC=.综合应用9二次方程x2-ax+b=0的两根为sin、cos，求点P(a,b)的轨迹方程（其中|）.思路分析：这是一道三角函数知识与极坐标知识的综合运用题,尤其对三角要求比较高,还要注意三角函数的有界性,求出轨迹方程的限制条件.解：由已知,得.2-
6、2,得a2=2(b+).|,由sin+cos=sin(+),知0a.由sincos=sin2,知|b|.P(a,b)的轨迹方程是a2=2(b+)（0a）.10舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30且与B相距4 km处，它们围捕海洋动物.某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号.A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是 km/s，其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求舰A发射炮弹的极坐标.思路分析：先建立直角坐标系,分析出点P在双曲线上,又在线段的垂直平分线上,求出交点P的坐标,然后
7、求出P、A两点之间的距离和PA与x轴正向所成的角,即可确定点P的极坐标.解：对舰B而言,A、C两舰位置如图所示.为方便起见,取B所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,则A、B、C三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,).由于B、C同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC|.于是P在BC的中垂线l上,此直线的倾斜角为30,则其斜率为tan30=,设此直线为y=x+b,将B,C的中点(-4,)代入上式,得b=,则求得其方程为x-3y+=0.又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4.a=2.又A、B的坐标分别为(3,0)、(-3,
8、0),可知c=3.于是知P应在双曲线=1的右支上.由得直线l与双曲线的交点P(8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解.据已知两点的斜率公式,得直线PA的倾斜角为60.于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30.利用两点间的距离公式,可得|PA|=10.所以,以舰A所在地为极点,舰A发射炮弹的极坐标为(10,).11我们已经熟悉了极点在直角坐标系的原点、极轴与x轴正向相同的极坐标系下直角坐标与极坐标的互化,那么当极点不在坐标原点,以与x轴平行的直线的正向为极轴时，又怎么求出点的极坐标来呢？(1)极坐标系的极点在直角坐标系的O(-3+)，极轴的方向与x轴正向相同，两个坐标系的长度单位相同，则点P(
9、-3,)的极坐标是_.(2)极点在点O(3,5)处，极轴与y轴正方向一致，两个坐标系的长度单位相同，求点M(9,-1)的极坐标.思路分析：不管哪种建系原则,我们只要从定义出发,就能够解决问题.需要的量是极径、极点与点P的距离、极角,从极轴开始逆时针旋转到OP所得到的角.解：(1)如图(1),在RtPAO中,OA=-3+-（-3）=,AP=-=.则tan=1,=,=xOP=+=,=|OP|=.在极坐标系Ox中,P点的极坐标是(,).(2)利用定义求出点的极坐标.如图(2),过O点作OAOx轴,过M点作MAOy轴,与OA交于A点,连结OM,则=|OM|=,在RtMAO中,|OA|=9-3=6,co
10、sAOM=,AOM=.=-=.（注:极角是极轴按照逆时针方向旋转的）M().12如图1-2-9所示是某防空部队进行射击训练时的示意图，以O为极点，OA所在直线为极轴，已知A点坐标为(1,0)（千米），直升飞机位于D点向目标C发射防空导弹，D点坐标为(,)，该导弹运行与地面最大高度为3千米，相应水平距离为4千米(即图中E点)，在地面O、A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为和，tan=，tan=，不考虑空气阻力，导弹飞行轨道为一抛物线，那么按轨道运行的导弹能否击中目标C?说明理由.图1-2-9思路分析：能否击中C点，关键是看一下C点是否在导弹飞行的轨迹上，需要算出它的轨迹方程来.先把极坐标化为直角坐标，然后建立直角坐标系：以地面为x轴，以点D向地面作的垂线为y轴,并且求出C点坐标，再验证该点是否满足轨迹方程.解：A点化为(1,0)，D点化为(0,)，由已知E点为(4,3),设抛物线为y=a(x-4)2+3.由抛物线过点(0,)，求得a=.所以y=(x-4)2+3=x2+x+.设C点坐标为(x0,y0)，过C作CBOx于B，tan=,tan=,则x0=(x0-1).解得x07，求出y0,即C点坐标为(7,)，经计算x02+x0+=72+7+=.所以C点在抛物线上.故依轨道运行的导弹可以击中目标C.
