1、河北省唐山市迁西一中2016-2017学年高二（上）期中数学试卷（文科）(解析版)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1垂直于同一条直线的两条直线一定（）A平行B相交C异面D以上都有可能2直线l过点（0，1），且倾斜角为450，则直线l的方程是（）Ax+y+1=0Bxy+1=0Cxy1=0Dx+y1=03若直线ax+（1a）y=3与（a1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a等于（）A3B1C0或D1或34如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）A2B4C4D85直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=
2、90，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A30B45C60D906A，B，C，D四点都在一个球面上，AB=AC=AD=，且AB，AC，AD两两垂直，则该球的表面积为（）A6BC12D7已知点A（1，2），B（3，1），若直线axy2=0与线段AB相交，则a的范围是（）A4，1B1，4C（，41，+）D（，14，+）8某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为+，则a=（）AB1C2D39在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）ABCD10设m，n是不同的直线，、是三个不同的平面，有以下四个命题：
3、若m，n，则mn； 若=m，=n，mn则；若，m，则m若，则其中正确命题的序号是（）ABCD11已知实数x，y满足方程x2+y2=1，则的取值范围是（）ABCD12已知点A（2，0），B（0，4），点P在圆C：（x3）2+（y4）2=5上，则使APB=90的点P的个数为（）A0B1C2D3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡相应的位置上）13过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程14过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程15已知两点A（2，0），B（0，2），点C是圆x2+y22x=0上的任意一点，则ABC的面积最小值是16在正四面体ABCD中
4、，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列命题正确的序号是异面直线AB与CD所成角为90；直线AB与平面BCD所成角为60；直线EF平面ACD 平面AFD平面BCD三、解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将所选答案写在答题卷上）17（10分）已知ABC三个顶点A（1，4），B（2，1），C（2，3）（1）求BC边中线AD所在的直线方程（2）求ABC的面积18（12分）已知圆C经过抛物线y=x24x+3与坐标轴的三个交点（1）求圆C的方程；（2）设直线2xy+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|19（12分）已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为a（1）求证：平
5、面BDC1平面AB1D1（2）求证：平面A1C平面AB1D120（12分）已知O为坐标原点，方程x2+y2+x6y+c=0（1）若此方程表示圆，求c的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线l：x+2y3=0交于P、Q两点若以PQ为直径的圆过原点O求c值21（12分）在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2 （1）求四棱锥PABCD的体积V；（2）若F为PC的中点，求证PC平面AEF22（12分）已知直线L被两平行直线L1：2x5y+9=0与L2：2x5y7=0所截线段AB的中点恰在直线x4y1=0上，圆C：（x+4）2+
6、（y1）2=25（1）证明直线L与圆C恒有两个交点；（2）当直线L被圆C截得的弦最短时，求出直线方程和最小弦长2016-2017学年河北省唐山市迁西一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1垂直于同一条直线的两条直线一定（）A平行B相交C异面D以上都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断【解答】解：分两种情况：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、
7、相交或异面故选D【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系2直线l过点（0，1），且倾斜角为450，则直线l的方程是（）Ax+y+1=0Bxy+1=0Cxy1=0Dx+y1=0【考点】直线的斜截式方程【分析】由题意可得直线的斜率，进而可得直线的斜截式方程，化为一般式即可【解答】解：由题意可得直线的斜率k=tan45=1，直线的斜截式方程为y1=1（x0），化为一般式可得xy+1=0，故选：B【点评】本题考查直线的斜截式方程，属基础题3若直线ax+（1a）y=3与（a1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a等于（）A3B1C0或D1或3【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】对a分类
8、讨论，利用两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出【解答】解：当a=1时，两条直线分别化为：x=3，5y=2，此时两条直线互相垂直；当a=时，两条直线分别化为：3x5y+6=0，5x=4，此时两条直线不互相垂直当a，1时，两条直线分别化为：， +直线ax+（1a）y=3与（a1）x+（2a+3）y=2互相垂直，=1，解得a=3或1（舍去），综上可得：a=3或1故选：D【点评】本题考查了两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系、分类讨论的思想方法，属于基础题4如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）A2B4C4D8【考点】平面图形的直观图【分析】用斜二侧画法的法则，可
9、知原图形是一个两边分别在x、y轴的直角三角形，x轴上的边长与原图形相等，而y轴上的边长是原图形边长的一半，由此不难得到平面图形的面积【解答】解：设原图形为AOB，OA=2，0B=2AOB=45OA=4，OB=2，AOB=90因此，RtAOB的面积为S=42=4故选C【点评】本题要求我们将一个直观图形进行还原，并且求出它的面积，着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于基础题5直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知DA1
10、B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，DA1B=60故选C【点评】本小题主要考查直三棱柱ABCA1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题6A，B，C，D四点都在一个球面上，AB=AC=AD=，且AB，AC，AD两两垂直，则该球的表面积为（）A6BC12D【考点】球的体积和表面积【分析】三棱锥ABCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方
11、体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可【解答】解：三棱锥ABCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d=，它的外接球半径是，外接球的表面积是4（）2=6故选：A【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题7已知点A（1，2），B（3，1），若直线axy2=0与线段AB相交，则a的范围是（）A4，1B1，4C（，41，+）D（，14，+）【考点】直线的斜率【分析】由直线axy2=0过定点P（0，2），求出PA、PB所在直线的斜率得答案【解答】解：直线axy2=0过定点P（0，2），如图：又kPA=4，kPB=1，a的范围是
12、（，41，+）故选：C【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为+，则a=（）AB1C2D3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左边是一个三棱锥，右面是一个圆柱的一半利用体积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左边是一个三棱锥，右面是一个圆柱的一半该几何体的体积为+=+a22，解得a=1故选：B【点评】本题考查了三棱锥与圆柱的三视图、体积计算公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题9在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120，若使
13、该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求【解答】解：如图：ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分AB=2，BC=1.5，ABC=120，AE=ABsin60=，BE=ABcos60=1，V1=，V2=，V=V1V2=，故选：A【点评】本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键10设m
14、，n是不同的直线，、是三个不同的平面，有以下四个命题：若m，n，则mn； 若=m，=n，mn则；若，m，则m若，则其中正确命题的序号是（）ABCD【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明【解答】解：由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确设三棱柱的三个侧面分别为，其中两条侧棱为m，n，显然mn，但与不平行，故错误，当m时，m，故正确当三个平面，两两垂直时，显然结论不成立，故错误故选：A【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题11已知实数x，y满足方程x2+y2=1，则的取值范围是（）ABCD【考点】直线与圆的位置关系【分
15、析】由的几何意义，即圆x2+y2=1上的动点与定点P（2，0）连线的斜率求解【解答】解：如图，设过P（2，0）的直线的斜率为k，则直线方程为y=k（x2），即kxy2k=0，由坐标原点O（0，0）到直线kxy2k=0的距离等于1，得，解得：k=的取值范围是故选：C【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12已知点A（2，0），B（0，4），点P在圆C：（x3）2+（y4）2=5上，则使APB=90的点P的个数为（）A0B1C2D3【考点】点与圆的位置关系【分析】设P（x，y），要使APB=90，只要求出P到AB中点的距离以及圆上
16、的所有点到AB中点距离范围【解答】解：设P（x，y），要使APB=90，那么P到AB中点（1，2）的距离为，而圆上的所有点到AB中点距离范围为，即，3，所以使APB=90的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点；故选B【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判断；关键是明确线段AB中点与圆上点的距离范围二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡相应的位置上）13过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2xy=0或x+y3=0【考点】直线的两点式方程【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐
17、标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程【解答】解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y3=0；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2xy=0综上，所求直线的方程为：2xy=0或x+y3=0故答案为：2xy=0或x+y3=0【点评】此题考查学生会根据条件设
18、出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题14过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程【考点】圆的切线方程【分析】点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，得圆的切线方程【解答】解：把点P（，1）代入圆x2+y2=4成立，可知点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，则过P（，1）的圆x2+y2=4的切线方程为故答案为【点评】本题考查圆的切线方程，过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，此题是基础题15已知两点A（2，0），B（0，2），点
19、C是圆x2+y22x=0上的任意一点，则ABC的面积最小值是3【考点】圆的一般方程；三角形的面积公式【分析】求出直线方程，圆心坐标与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最小值进而可求ABC的面积最小值【解答】解：直线AB的方程为+=1，即xy+2=0圆x2+y22x=0，可化为（x1）2+y2=1，圆心（1，0）到直线的距离为d=，圆上的点到直线距离的最小值为1|AB|=2，ABC的面积最小值是2（1）=3，故答案为：【点评】本题主要考查用截距式求直线的方程，点到直线的距离公式、直线和圆的位置关系的应用，属于中档题16在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列命题正确的序号是异
20、面直线AB与CD所成角为90；直线AB与平面BCD所成角为60；直线EF平面ACD 平面AFD平面BCD【考点】棱锥的结构特征【分析】在中，由AB平面CDE，知异面直线AB与CD所成角为90；在中，直线AB与平面BCD所成角为arccos；在中由EFAC，知直线EF平面ACD；在中，由BC平面ADF，知平面AFD平面BCD【解答】解：正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，在中，正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，CEAB，DEAB，又CEDE=E，AB平面CDE，CD平面CDE，异面直线AB与CD所成角为90，故正确；在中，过A作AO平面BCD，交DF=O，连结B
21、O，则ABO是直线AB与平面BCD所成角，设正四面体ABCD的棱长为2，则DF=，BO=，cos=直线AB与平面BCD所成角为arccos，故错误；在中，点E，F分别是AB，BC的中点，EFAC，EF平面ACD，AC平面ACD，直线EF平面ACD，故正确；在中，由AFBC，DFBC，又AFDF=F，BC平面ADF，BC平面BCD，平面AFD平面BCD，故正确故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养三、解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将所选答案写在答题卷上）17（10分）（2016秋迁西县校级期中）已知ABC
22、三个顶点A（1，4），B（2，1），C（2，3）（1）求BC边中线AD所在的直线方程（2）求ABC的面积【考点】待定系数法求直线方程【分析】（1）由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程；（2）首先求得顶点C到直线AD的距离，中线AD的长度，然后由三角形的面积求法进行解答【解答】解：（1）B（2，1），C（2，3）BC中点D（0，1），kAD=3AD直线方程为3x+y1=0；，【点评】本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用18（12分）（2015秋唐山期末）已知圆C经过抛物线y=x24x+3与坐标轴的三个交点（1）求圆C的
23、方程；（2）设直线2xy+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|【考点】直线与圆的位置关系；二次函数的性质【分析】（1）求出抛物线y=x24x+3与坐标轴的交点坐标，确定圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，利用垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长【解答】解：（1）抛物线y=x24x+3与坐标轴的交点分别是（1，0），（3，0），（0，3）（3分）所求圆的圆心是直线y=x与x=2的交点（2，2），圆的半径是，于是圆C的方程为（x2）2+（y2）2=5（6分）（2）圆心C到直线2xy+2=0的距离d=（9分）|AB|=2=（12分）【点评
24、】此题考查了圆C的方程，考查直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键19（12分）（2016秋迁西县校级期中）已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为a（1）求证：平面BDC1平面AB1D1（2）求证：平面A1C平面AB1D1【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定【分析】（1）运用面面平行的判定定理，先证线面平行，即可得证；（2）运用面面垂直的判定定理，先证线面垂直，即可得证【解答】证明：（1）BC1AD1，BC1平面BDC1，AD1平面BDC1，所以以AD1平面BDC1同理可证B1D1平面BDC1
25、，AD1B1D1=D1，AD1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1平面BDC1（6分）（2）B1D1A1C1，B1D1AA1，A1C1AA1=A1，A1C1平面A1C，AA1平面A1CB1D1平面A1C，B1D1平面AB1D1，平面A1C平面AB1D1 （12分）【点评】本题考查线面位置关系，主要考查面面平行和垂直的判定定理的运用，注意转化思想，考查推理能力，属于中档题20（12分）（2016秋迁西县校级期中）已知O为坐标原点，方程x2+y2+x6y+c=0（1）若此方程表示圆，求c的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线l：x+2y3=0交于P、Q两点若以PQ为直径的圆过
26、原点O求c值【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）根据二元二次方程表示圆，D2+E24F0，代入数据求出c的取值范围；（2）法一：设出PQ中点（m，n），写出以PQ为直径的圆，利用公共弦方程求出m、n的值，代入直线l求出c的值法二：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）利用直径对直角得出OPOQ，由kOPkOQ=1以及直线与圆的方程组成方程组，利用根与系数的关系即可求出c的值【解答】解：（1）若方程x2+y2+x6y+c=0表示圆，则D2+E24F=1+364c0，解得c；（3分）（2）法一：PQ为直径的圆过原点O，设PQ中点为（m，n），则以PQ为直径的圆为（xm）2+（yn）2=m2+n2
27、（6分）PQ为圆C：x2+y2+x6y+c=0与（xm）2+（yn）2=m2+n2的公共弦，PQ方程为（1+2m）x+（6+2n）y+c=0，（8分）它与直线l：x+2y3=0为同一条直线，解得；（10分）（m，n）在直线l：x+2y3=0上，将代入，解得c=3即为所求 （12分）法二：设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ为直径的圆过原点O，OPOQ，kOPkOQ=1，即x1x2+y1y2=0；（6分）由，消去x得5y220y+12+c=0，y1+y2=4，；（8分）又x1x2=（32y1）（32y2）=96（y1+y2）+4y1y2；（10分）将代入，解得c=3即为所求（12分）【点评
28、】本题考查了二元二次方程表示圆以及直线与圆的应用问题，也考查了方程组以及根与系数的关系应用问题，是综合性题目21（12分）（2015秋咸阳期末）在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2 （1）求四棱锥PABCD的体积V；（2）若F为PC的中点，求证PC平面AEF【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）利用直角三角形的边角关系可得BC，CDSABCD=，利用V=S四边形ABCDPA，即可得出（2）在RtABC，BAC=60，可得AC=2AB，PA=CA，又F为PC的中点，可得AFPC利用线面垂直
29、的判定与性质定理可得：CDPC利用三角形的中位线定理可得：EFCD于是EFPC即可证明PC平面AEF【解答】（本题满分12分）解：（1）在RtABC中，AB=1，BAC=60，BC=，AC=2在RtACD中，AC=2，CAD=60，CD=2，AD=4SABCD= 则V=（6分）（2）PA=CA，F为PC的中点，AFPCPA平面ABCD，PACDACCD，PAAC=A，CD平面PACCDPCE为PD中点，F为PC中点，EFCD则EFPCAFEF=F，PC平面AEF （12分）【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角关系、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力
30、与计算能力，属于中档题22（12分）（2016秋迁西县校级期中）已知直线L被两平行直线L1：2x5y+9=0与L2：2x5y7=0所截线段AB的中点恰在直线x4y1=0上，圆C：（x+4）2+（y1）2=25（1）证明直线L与圆C恒有两个交点；（2）当直线L被圆C截得的弦最短时，求出直线方程和最小弦长【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）设线段AB的中点为M（a，b），由此列出方程组求出a、b的值；根据圆C的圆心C与点M的距离与半径r的大小即可证明直线L与圆C恒有两个交点；（2）由直线L被圆C截得的弦最短时直线LMC，求出L的斜率，写出直线方程，再求出最小弦长【解答】解：（1）证明：设线段AB的中点为M（a，b），依题意，（2分）解得a=3，b=1；（3分）圆C：（x+4）2+（y1）2=25圆心为C（4，1），半径r=5；（4分）且|MC|=r，直线L与圆C恒有两个交点； （6分）（2）当直线L被圆C截得的弦最短时直线LMC，（8分）kL=，则直线L为，即x2y+1=0，（10分）最小弦长为|EF|=（12分）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用问题，也考查了直线垂直以及两点间的距离公式的应用问题，是综合性题目
