1、第一课时正弦定理预习课本P58，思考并完成以下问题 (1)直角三角形中的边角关系是怎样的？ (2)什么是正弦定理？ (3)正弦定理可进行怎样的变形？ 1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即2R，其中R是三角形外接圆的半径2正弦定理的变形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin_Ccsin_A.(5).点睛正弦定理的变形实现了角化边、边化角的转换，应根据需要进行选择3解三角形(1)解三角形是指由六个元素
2、(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余三个未知元素的过程(2)利用正弦定理可解决以下两类解三角形问题：已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边 和角)点睛已知两边和其中一边所对角求另一边的对角时可能会出现无解、一解、两解的情况如下表所示(已知a，b，A，求B)A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabab解的个数无解一解两解一解一解无解1在ABC中，a4，A45，B60，则边b_.解析：由正弦定理，有，所以b2.答案：22在ABC中，已知BC，sin C2sin A，则
3、AB_.解析：由正弦定理，得ABBC2BC2.答案：23在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC_.解析：由正弦定理，得，即，AC2.答案：24ABC中，a，b，sin B，则符合条件的三角形有_个解析：因为asin B，所以asin Bba，所以CA，所以A45.所以B180604575.因为，所以b1.已知两边及一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角
4、，要分类讨论 活学活用1在ABC中，已知a5，c10，A30，则B_.解析：因为，a5，c10，A30，根据正弦定理可知所以，sin C，所以C45或135，即B105或15.答案：105或152ABC中，B45，b，a1，则角A_.解析：由正弦定理得，解得sin A，所以A30或A150.又因ba，所以BA，则A30.答案：30正弦定理的变形应用典例在ABC中，已知bc1，C45，B30，则b_.解析由正弦定理知，所以，bsin B1.答案1利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行
5、使用 活学活用在ABC中，若acos Absin B，则sin Acos Acos2B_.解析：由正弦定理，可得sin Acos Asin2B，即sin Acos A1cos2B，所以sin Acos Acos2B1.答案：1层级一学业水平达标1在ABC中，已知BC12，A60，B45，则AC_.解析：由正弦定理得，即，所以AC4.答案：42在ABC中，若b5，B，sin A，则a_.解析：由正弦定理得，又b5，B，sin A，所以，a.答案：3在ABC中，a15，b10，A60，则sin B_.解析：根据正弦定理，可得，解得sin B.答案：4在ABC中，B30，C120，则abc_.解析：
6、A1803012030，由正弦定理得：abcsin Asin Bsin C11.答案：115在ABC中，absin A，则ABC一定是_解析：由题意有b，则sin B1，即角B为直角，故ABC是直角三角形答案：直角三角形6在ABC中，已知c，A45，a2，则B_.解析：，sin C，C60或120，当C60时，B180456075，当C120时，B1804512015.答案：75或157已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac且A75，则b_.解析：sin Asin 75sin (3045)sin 30cos 45sin 45cos 30，由ac，可知，C75，所以B30，sin
7、 B，由正弦定理得bsin B2.答案：28在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A105，B45，b2，则c_.解析：根据三角形内角和定理，C180(AB)30.根据正弦定理：c2.答案：29在ABC中，已知b6，c6，C30，求a.解：由正弦定理得，所以sin B，因为bc，所以BC30.所以B60或B120.当B60时，A90，则a12.当B120时，A30，则ac6.所以a6或a12.10在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，求证：a2sin 2Bb2sin 2A2ab sin C.证明：因为左边4R2sin2Asin 2B4R2sin2Bsin 2A8R2sin
8、2Asin Bcos B8R2sin2Bsin Acos A8R2sin Asin B(sin Acos Bcos Asin B)8R2sin Asin Bsin(AB)8R2sin Asin Bsin C2(2Rsin A)(2Rsin B)sin C2absin C右边，所以等式成立层级二应试能力达标1在ABC中，若A60，a，则_.解析：利用正弦定理变形，得，所以2.答案：22在ABC中，已知b4，c8，B30，则a_.解析：由正弦定理，得sin C1.所以C90，A180903060.又由正弦定理，得a4.答案：43在ABC中，a2，b2，B45，则A等于_解析：由正弦定理得，解得si
9、n A，又ab，所以A60或120.答案：60或1204在ABC中，角A，B，C的对应边分别为x，b，c，若满足b2，B45的ABC恰有两解，则x的取值范围是_解析：要使ABC恰有两解，xsin 452x，解得2x2.答案：(2,2)5若A60，a2，则_.解析：由正弦定理得4.答案：46设ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acos Bbcos Ac，则_.解析：已知acos Bbcos Ac，由正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos Asin C，sin Acos Bcos Asin B(sin Acos Bcos Asin B)，所以2sin Acos B8
10、cos Asin B，即4.答案：47在ABC中，已知a，b，c分别是A，B，C的对边若BA60，b2a，求角A的大小解：因为BA60，所以sin Bsin(A60)sin Acos A又b2a，所以2Rsin B4Rsin A，所以sin B2sin A由得2sin Asin Acos A，即3sin Acos A，所以tan A.又0A180，所以A30.8已知ABC的各边均不相等，设A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos Abcos B，求的取值范围解：acos Abcos B，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.2A,2B(0,2)，2A2B或2A
11、2B，AB或AB.如果AB，则ab不符合题意，AB.sin Asin Bsin Acos Asin，ab，C，A且A，(1，)第二课时正弦定理的应用预习课本P911，思考并完成以下问题 (1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积？ (2)已知三角形的面积如何求其他量？ 三角形的面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高)(2)Sabsin Cbcsin Aacsin B.点睛三角形的面积公式Sabsin C与原来的面积公式Sah(h为a边上的高)的关系为：hbsin C，实质上bsin C就是ABC中a边上的高1在ABC中，a2，b3，C120，则SABC_.解析：SABCabsin C23si
12、n 120.答案：2已知ABC中，AB6，A30，B120，则ABC的面积为_解析：由已知得：C1803012030，由正弦定理得，解得BC6，所以SABCABBCsin B669.答案：93已知A，B两岛相距10 n mile，从A岛看B，C两岛的视角是60，从B岛看A，C两岛的视角是75，则B，C两岛的距离为_ n mile.解析：如图所示：易知C45，由正弦定理得，BC5.答案：54若ABC的面积为，BC2，C60，则边AB的长度等于_解析：因为SABC，BC2，C60，所以2AC，解得AC2，所以ABC为正三角形，所以AB2.答案：2三角形的面积典例在ABC中，已知B30，AB2，AC
13、2，求ABC的面积解由正弦定理，得sin C，又ABsinBACAB，故该三角形有两解：C60或120.当C60时，A90，SABCABAC2；当C120时，A30，SABCABACsin A.ABC的面积为2或.(1)求解三角形面积的公式较多，除S底高外，Sabsin Cbcsin Aacsin B也应用较广(2)应注意对三角形解的个数的讨论，防止漏解 活学活用1在ABC中，a4，b6，SABC6，则C_.解析：SABCabsin C46sin C12sin C6，sin C.0Cb，B30，C90，ABC为直角三角形，由勾股定理得c2.答案：28已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，
14、C的对边，若a2，b，AC2B，则A_.解析：因为所以B，又因为，所以sin A，所以A45.答案：459.如图，一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，求此时船与灯塔的距离解：如题图，由正弦定理得，所以BC30 km.此时船与灯塔的距离为30 km.10在ABC中，已知a2bcos C，求证：ABC为等腰三角形解：因为，a2bcos C，所以，由正弦定理得2Rsin A4Rsin Bcos C.所以2cos Csin Bsin Asin (BC)sin Bcos Ccos Bsin C所以sin Bcos
15、Ccos Bsin C0，即sin (BC)0.所以BCn(nZ)又因为B，C是三角形的内角，所以BC，即ABC为等腰三角形层级二应试能力达标1在ABC中，lg(sin Asin C)2lg sin Blg(sin Csin A)，则该三角形的形状是_解析：由已知条件，lg(sin Asin C)lg(sin Csin A)lg sin2B，sin2Csin2Asin2B.由正弦定理可得c2a2b2.故三角形为直角三角形答案：直角三角形2.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则AB_ m.解析：因为ACB45，C
16、AB105，所以ABC30，根据正弦定理得，解得AB50 m.答案：503在ABC中，已知，则ABC的形状为_解析：因为，a2Rsin A，b2Rsin B，所以.又因为sin Asin B0，所以sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B.所以2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC是等腰三角形或直角三角形答案：等腰三角形或直角三角形4设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，有sin(BC)sin2A，从而
17、sin(BC)sin Asin2A，解得sin A1，A.答案：直角三角形5在ABC中，b8，c8，SABC16，则A_.解析：由SABCbcsin A得sin A，又因为0A180，所以A30或150.答案：30或1506一船在海面A处望见两灯塔P，Q在北偏西15的一条直线上，设船沿东北方向航行4 n mile到达B处，望见灯塔P在正西方向，灯塔Q在西北方向，则两灯塔的距离为_ n mile.解析：如图，在ABP中，AB4，ABP45，BAP60.APB75.由正弦定理，得，BP62.在BPQ中，PBQ45，AQB30.由正弦定理，得PQ124，两灯塔相距(124)n mile.答案：124
18、7.我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD6 000 m，ACD45，ADC75，目标出现于地面点B处时，测得BCD30，BDC15(如图)，求炮兵阵地到目标的距离解：在ACD中，CAD180ACDADC60，CD6 000，ACD45，根据正弦定理，有ADCD.同理，在BCD中，CBD180BCDBDC135，CD6 000，BCD30，根据正弦定理，有BDCD.又在ABD中，ADBADCBDC90.根据勾股定理，有AB CDCD1 000，所以炮兵阵地到目标的距离为1 000 m.8在ABC中，cos A，cos B.(1)求sin C的值；(2)设BC5，求ABC的面积解：在ABC中，由cos A，得sin A，由cos B，得sin B.所以sin Csin (AB)sin Acos Bcos Asin B.(2)由正弦定理得AC，所以ABC的面积SBCACsin C5.
