1、第五章 万有引力与航天考 纲 要 求考 情 分 析万有引力定律及其应用环绕速度第二宇宙速度和第三宇宙速度经典时空观和相对论时空观1.命题规律近几年高考对本章内容主要考查了万有引力定律及其应用、人造卫星及天体运动问题，难度中等，题型通常为选择题。2.考查热点突出物理与现代科技，特别是与现代航天技术的联系会更加密切，与牛顿运动定律、机械能守恒等内容结合命题的可能性也较大。第 25 课时 万有引力定律及应用(重点突破课)基础点自主落实 必备知识1开普勒行星运动定律(1)开普勒第一定律(轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个上。(2)开普勒第二定律(面积定律)：对每一个行星来
2、说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的相等。(3)开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的的三次方跟它的的二次方的比值都相等。焦点面积半长轴公转周期2万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的成正比，与它们之间距离 r 的成反比。(2)公式：FGm1m2r2，其中 G Nm2/kg2，叫万有引力常量。(3)适用条件公式适用于间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；r 为两物体间的距离。乘积二次方6.671011质点3经典时空观和相对论时空观(1)经典时空观物体的质量不随速度的变
3、化而变化。同一过程的位移和对应的时间在所有参考系中测量结果。适用条件：宏观物体、运动。(2)相对论时空观同一过程的位移和对应时间在不同参考系中测量结果。相同低速不同小题热身1判断正误(1)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越近，运行速率越小。()(2)德国天文学家开普勒在天文观测的基础上提出了行星运动的三条定律。()(3)地面上的物体所受地球的引力方向指向地心。()(4)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。()2(2016全国丙卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
4、C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析：开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项 A 错误，选项 B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项 C 错误；牛顿发现了万有引力定律，选项 D 错误。答案：B3(多选)1798 年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量 G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知引力常量 G，地球表面处的重力加速度 g，地球半径 R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间 T2(地球公转周期)，地
5、球中心到月球中心的距离 L1，地球中心到太阳中心的距离 L2。你能计算出()A地球的质量 m 地gR2G B太阳的质量 m 太42L23GT22C月球的质量 m 月42L13GT12D可求月球、地球及太阳的密度解析：对地球表面的一个物体 m0 来说，应有 m0gGm地 m0R2，所以地球质量 m 地gR2G，选项 A 正确。对地球绕太阳运动来说，有Gm太 m地L22m 地42T22L2，则 m 太42L23GT22，B 项正确。对月球绕地球运动来说，能求地球的质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D 项错误。答案：AB提能点(一)开普勒行星运动定律提能点
6、师生互动典例(2017吉林一中一模)将火星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径 r12.31011 m，地球的轨道半径为 r21.51011 m，根据你所掌握的物理和天文知识，估算出火星与地球相邻两次距离最小的时间间隔约为()A1 年 B2 年C3 年D4 年解析根据开普勒第三定律R3T2k 得：火星与地球的周期之比为T1T2r13r232.3101131.5101131.9地球的周期为 T21 年，则火星的周期为 T11.9 年设经时间 t 两星又一次距离最近，根据 t则两星转过的角度之差 2T22T1 t2得 t2.1 年2 年。故选 B。答
7、案 B(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。(3)开普勒第三定律a3T2k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k 值不同。集训冲关 1(2013江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：由于火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，A 项错误；由于火星和木星在不
8、同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，B 项错误；由开普勒第三定律可知，T火2R火3T木2R木3k，T火2T木2R火3R木3，C 项正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此它们在近地点时的速度不等，在近地点时12v火t与12v木t 不相等，D 项错误。答案：C2.(多选)(2017广州二模)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆。设卫星、月球绕地球运行周期分别为 T 卫、T 月，地球自转周期为 T 地，则()AT 卫T 月BT 卫T 月CT 卫T 地DT 卫T 地解析：因 r 月r 同r 卫，由开普勒第三定律r3T2k 可知，T 月T 同
9、T 卫，又同步卫星的周期 T 同T 地，故有 T 月T 地T 卫，选项 A、C 正确。答案：AC提能点(二)万有引力定律的理解与应用万有引力的四个性质普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上宏观性在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用特殊性两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与其所
10、在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关典例 两个质量均匀的球形物体，两球心相距 r 时它们之间的万有引力为 F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为()A2FB4FC8FD16F解析 由 m4R33 知，两球的半径都加倍，它们的质量都变为原来的 8 倍，由万有引力公式 FGm1m2r2 得，两物体间的万有引力变为原来的 16 倍，故 D 正确。答案 D万有引力大小计算的技巧(1)公式 FGm1m2r2 适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。(2)当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r 为两球心的距离，引力的方向沿两球心
11、的连线。集训冲关1(多选)要使两物体间的万有引力减小到原来的14，下列办法可行的是()A使物体的质量各减小一半，距离不变B使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变C使两物体间的距离增为原来的 2 倍，质量不变D使两物体间的距离和质量都减为原来的14解析：根据 FGMmR2 可知，距离和质量都减为原来的14时，万有引力不变，D 错误，A、B、C 正确。答案：ABC2(多选)用 m 表示地球的通信卫星(同步卫星)的质量，h 表示离地面的高度，用 R 表示地球的半径，g 表示地球表面的重力加速度，表示地球自转的角速度，则通信卫星所受的地球对它的万有引力的大小为()AG MmRh2B.mgR2R
12、h2Cm2(Rh)Dm3 R2g4解析：由万有引力定律得 FG MmRh2 地球表面的重力加速度 gGMR2 由式得 F mgR2Rh2 万有引力充当向心力 Fm2(Rh)联立消掉(Rh)得 F3m3R2g4，由此得 Fm3 R2g4，故 B、C、D 正确。答案：BCD3.如图所示，一个质量为 M 的匀质实心球，半径为 2R，如果从球的正中心挖去一个半径为R 的球，放在距离为 d 的地方，求两球之间的万有引力是多大(引力常量为 G)?解析：根据割补法可得左侧球充满时两球间万有引力 FGMmd2半径为 R 的球体对 m 有 F1Gm2d2，被挖去的球体质量 mM8。则被挖去两球之间的引力 F2F
13、F17GM264d2。答案：7GM264d2“自力更生”法(gR)(1)由 GMmR2 mg 得天体质量 MgR2G。(2)天体密度 MV M43R3 3g4GR。(3)GMgR2 称为黄金代换公式。提能点(三)天体质量与密度的估算例 1(2014全国卷)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g，地球自转的周期为 T，引力常量为 G。地球的密度为()A.3g0gGT2g0B.3g0GT2g0gC.3GT2D.3g0GT2g解析 物体在地球的两极时，mg0GMmR2，物体在赤道上时，mgm2T2RGMmR2，以上两式联立解得地球的密度 3g
14、0GT2g0g。故选项 B 正确，选项 A、C、D 错误。答案 B“借助外援”法(Tr)(1)由 GMmr2 m42rT2得天体的质量 M42r3GT2。(2)天体的密度 MV M43R3 3r3GT2R3。(3)当卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 3GT2。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。例 2(2013全国卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为 127 分钟。已知引力常量 G6.671011 Nm2/kg2，月球半径约为 1.74103 km。利
15、用以上数据估算月球的质量约为()A8.11010 kg B7.41013 kgC5.41019 kg D7.41022 kg解析 对“嫦娥一号”探月卫星，由于万有引力提供其做圆周运动的向心力，则 G MmRh2m42T2(Rh)，整理得：M42GT2(Rh)3，代入数据可得 M7.41022kg，则 D 正确。答案 D(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 rR；计算天体密度时，体积 V43R3 只能用天体自身的半径。集训冲关1(多选)(2016海南高考)
16、通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是()A卫星的速度和角速度 B卫星的质量和轨道半径C卫星的质量和角速度D卫星的运行周期和轨道半径解析：根据线速度和角速度可以求出半径 rv，根据万有引力提供向心力，则有 GMmr2 mv2r，整理可得 M v3G，故选项 A 正确；由于卫星的质量 m 可约掉，故选项 B、C 错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则 GMmr2 m2T2r，整理得 M42r3GT2，故选项 D 正确。答案：AD2.(多选)公元 2100 年，航天员准备登陆木星
17、，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间 t收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是 T，测得航天员所在航天器的速度为 v，已知引力常量 G，激光的速度为 c，则()A木星的质量 Mv3T2GB木星的质量 M2c3t32GT2C木星的质量 M42c3t3GT2D根据题目所给条件，可以求出木星的密度解析：航天器的轨道半径 rvT2，木星的半径 RvT2ct2，木星的质量 M42r3GT2 v3T2G；知道木星的质量和半径，可以求出木星的密度，故 A、D 正确，B、C 错误。答案：AD3(2017高密模
18、拟)据报道，科学家们在距离地球 20 万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的6.4 倍，半径约为地球半径的 2 倍。那么，一个在地球表面能举起 64 kg 物体的人在这个行星表面能举起的物体的质量约为多少(地球表面重力加速度 g10 m/s2)()A40 kg B50 kgC60 kg D30 kg解析：根据万有引力等于重力 GMmR2 mg 得 gGMR2，因为行星质量约为地球质量的 6.4 倍，其半径是地球半径的 2 倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的 1.6 倍，而人的举力认为是不变的，则人在行星表面所举起的重物质量为：mm01.6641.6 kg4
19、0 kg，故 A 正确。答案：A提能点(四)与重力加速度有关的问题1.在地球表面附近的重力加速度 g(不考虑地球自转)：mgGmMR2，得 gGMR22在地球上空距离地心 rRh 处的重力加速度为 gmg GMmRh2，得 gGMRh2所以 ggRh2R2考法 1 天体表面某高度处的重力加速度问题例 1(2015重庆高考)宇航员王亚平在“天宫 1 号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A0B.GMRh2 C.GMmRh2D.GMh2解析 飞船受的万有
20、引力等于在该处所受的重力，即G MmRh2mg，得 gGMRh2，选项 B 正确。答案 B考法 2 天体表面某深度处的重力加速度问题例 2 假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A1dRB1dRC.RdR2D.RRd2解析 如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为 g，地球质量为M，地球表面的物体 m 受到的重力近似等于万有引力，故 mgGMmR2；设矿井底部处的重力加速度为 g，等效“地球”的质量为 M，其半径 rRd，则矿
21、井底部处的物体m 受到的重力 mgGMmr2，又 MV43R3，MV43(Rd)3，联立解得gg 1dR，A 对。答案 A考法 3 天体表面重力加速度与抛体运动的综合例 3(2015海南高考)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2 7。已知该行星质量约为地球的7 倍，地球的半径为 R。由此可知，该行星的半径约为()A.12RB.72RC2RD.72 R解析 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即 xv0t，在竖直方向上做自由落体运动，即 h12gt2，所以 xv02hg，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以g行g
22、地74，根据公式 GMmR2 mg 可得 gGMR2，故g行g地M行R行2M地R地274，解得 R 行2R，故 C 正确。答案 C通法归纳地球表面的物体运动规律的迁移应用在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度取值不同而已。集训冲关1(2017潍坊模拟)宇航员在地球上的水平地面将一小球水平抛出，使小球产生一定的水平位移，当他登陆一半径为地球半径 2 倍的星球后，站在该星球水平地面上以和在地球完全相同的方式水平抛出小球，测得小球的水平位移大约是在地球上平抛时的 4 倍
23、，由此宇航员估算该星球的质量 M 星约为(式中 M 为地球的质量)()AM 星12MBM 星2MCM 星14MDM 星4M解析：根据平抛规律可计算星球表面加速度，竖直方向 h12gt2，水平方向 xvt，可得 g星 116g地，根据星球表面万有引力公式GM星mR2 mg 星，R 星2R 地，可得 M 星M4，C 正确。答案：C2宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t 小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为 R 星R 地14，地球表面重力加速度为 g，设该星球表面附近的重力加速度为 g，空气阻力不计。则()Agg51 Bgg52CM 星M 地120 DM 星M 地180解析：由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间 t2v0g，因此得gg t5t15，A、B 错误；由 GMmR2 mg 得 MgR2G，因而M星M地gR星2gR地2 15142 180，C 错误，D 正确。答案：D3有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的 4 倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)()A.14B4 倍C16 倍D64 倍解析：天体表面的重力加速度 gGMR2，又知 MV 3M4R3，所以M9g31622G3，故M星M地g星g地364。答案：D
