1、第45讲 空间点、直线、平面之间的位置关系【学习目标】1掌握平面的基本性质，并能利用其证明共面、共线、共点问题2掌握点、线、面关系的文字语言、符号语言、图形语言的密切联系及相互转化3掌握空间两条直线的位置关系，并能够证明两条直线的异面关系及求两条异面直线所成的角4掌握两条直线平行和垂直关系的有关概念，并能用上述概念进行论证和解决有关问题【基础检测】1判断下列推理的正误(1)Al，Bl，A，B l()(2)A，B，Al，Bl，则 l()(3)Al，l A()(4)A，B，C，A，B，C，且 A，B，C 不共线()2如图所示，平面 l，点 A、B，点 C 且 Cl，ABlR，设过 A、B、C 三点
2、的平面为，则 是()A直线 ACB直线 BCC直线 CRD以上均不正确C3a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题：若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac；若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a平面，b平面，则 a，b 一定是异面直线；若 a，b 与 c 成等角，则 ab.上述命题中正确的命题是_(只填序号)4在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过
3、该点的公共直线A5如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是()AA、M、O 三点共线BA、M、O、A1 不共面CA、M、C、O 不共面DB、B1、O、M 共面A【解析】A、M、O 为面 A1ACC1 与面 AB1D1 的公共点，故选 A.6正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P，Q，R 分别是AB，AD，B1C1 的中点，那么，正方体中过 P，Q，R 的截面的图形是()A三角形B四边形C五边形D六边形D【解析】如图所示(1)过 P，Q 的直线与 CB 的延长线交于 M，与 CD的延长线交于 N.(2
4、)连接 MR 并延长与 CC1 的延长线交于 S，与 B1B交于 E.(3)连接 SN 交 D1C1 于 G，交 DD1 于 F.(4)连接 FQ，PE，GR，则平面六边形 PERGFQ 就是正方体中过 P，Q，R 的截面357已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CC1 的中点，那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为_【解析】连接 DF，则 AEDF，D1FD 即为异面直线 AE 与 D1F 所成的角 设正方体棱长为 a，则 D1Da，DF 52 a，D1F 52 a，cosD1FD52 a 252 a 2a22 52 a 52 a35.【知识要点】1平面的
5、基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么_这个平面内(2)公理 2：过_上的三点有且只有一个平面的三个推论：经过一条直线和_一点确定一个平面经过两条_直线确定一个平面经过_确定一个平面其外相交两条平行直线(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线这条直线上所有点都在不在同一直线2直线与直线位置关系(1)空间两直线位置关系有三种：_、_、_(2)公理 4：平行于同一直线的两条直线互相_(3)等角定理：如果两个角的两边对应平行，那么这两个角_(4)已知 a，b 为异面直线，过空间任一点 O 作 aa，bb，则 a，b所成的_叫
6、异面直线所成的角，异面直线所成角的范围是_3直线与平面的关系三种：_、_、_4平面与平面的关系两种：_、_平行相交异面平行相等或互补锐角(或直角)0，2相交平行直线在平面内平行相交位置关系图示符号语言公共点个数直线 l 在平面 内l_直线 l 与平面 相交_直线 l 与平面 平行l_5直线与平面的位置关系lA1无数个05.平面与平面的位置关系：位置关系图示符号语言公共点个数两平面平行0两平面相交l无数个一、平面的基本性质及平行公理的应用例1已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别为 D1C1、C1B1 的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D、B、F、E 四点共面；(2
7、)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P、Q、R 三点共线【解析】(1)如图所示，因为 EF 是D1B1C1 的中位线，所以 EFB1D1.在正方体 AC1 中，B1D1BD，所以 EFBD.所以 EF，BD 确定一个平面，即 D、B、F、E 四点共面 (2)在正方体 AC1 中，设平面 A1ACC1 确定的平面为，又设平面 BDEF 为.因为 QA1C1，所以 Q，又 QEF，所以 Q.则 Q 是 与 的公共点，同理，P 点也是 与 的公共点所以 PQ.又 A1CR，所以 RA1C，R 且 R，则 RPQ，故 P、Q、R 三点共线【点评】1.证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法
8、：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明、重合 2点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 3证线共点问题 证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上二、空间直线的位置关系例2(1)a，b，c 是空间三条直线，下面给出四个命题：如果 ab，bc，则 ac；如果 a，b 是异面直线，b，c 是异面直线，则 a，c 也是异面直线；如果 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 也相交
9、；如果 a，b 共面，b，c 共面，则 a，c 也共面上述命题中，真命题的个数是()A3 B2 C1 D0D(2)ABCD 为空间四边形，E，FAC，G，HBD，求证：EG 和 HF 是异面直线【解析】(1)如果 ab，bc，则 a 与 c 或共面(相交，平行)或异面，故错如果 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 或相交或平行或异面，故错如果 a，b 相交，b，c 相交，则 a 与 c 或相交或平行或异面，故错如果 a，b 共面，b，c 共面，则 a，c 或共面或异面，故错(2)证明：假设 EG，HF 共面，记为，则 E，F，G，H，从而 E，F，G，H.AC，BD.A，B，C，D，这与
10、A，B，C，D 是空间四边形矛盾 EG，HF 是异面直线【点评】异面直线的判定方法(1)定义法：依据定义判断两直线不可能在同一平面内(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)(3)反证法：即假设两直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两直线相交或平行)，结合原题中的条件，得出矛盾，否定假设，肯定两条直线异面三、异面直线所成的角例3(1)如图，正四棱锥 PABCD 的底面积为 3，体积为 22，E 为侧棱 PC 的中点，则 PA 与 BE 所成的角为()A.6B.4C.3D.2C【解析】连结 AC、BD 交于点 O，连结 OE，易
11、得 OEPA.所求角为BEO.由所给条件易得 OB 62，OE12PA 22，BE2，cosOEB12，OEB60，选 C.(2)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 CD，CC1的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是_ 90【解析】利用中位线平移寻找异面直线所成的角 如图，取 CN 的中点 K，连接 MK，则 MK 为CDN的中位线，所以 MKDN.所以A1MK 为异面直线 A1M 与 DN 所成的角连接 A1C1，AM.设正方体棱长为 4，则 A1K（4 2）232 41，MK12DN12 4222 5，A1M 4242226，A1M2MK2A1K2
12、，A1MK90.【点评】(1)求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线段平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行(2)注意异面直线的夹角的取值范围是(0，90，因此异面直线的平行线的夹角可能是异面直线的夹角，也可能是其补角，应取其中不超过 90的那个；找平行线是求异面直线夹角的关键备选题例4已知 A1B1C1ABC 是直三棱柱，BCA90，D1，E1 分别是 A1B1，A1C1 的中点若BCCACC1，则 BD1与 AE1所成角的余弦值为()A.1510B.3015C.12D.3010D【解
13、析】解法一：如图在平面 A1ABB1 内把线段 BD1平移到 AF1，则E1AF1 就是所求的角 设 BCCACC12a，则 A1E1a，A1F1 2a，E1A1F1135，(E1F1)25a2，AE1 5a，BD1 6a.cos E1AF1 3010.解法二：如图，把直三棱柱补成一个直四棱柱A1B1F1C1ABFC，取 B1F1 的中点 G1，则 BG1AE1，D1BG1 是所求的角同样可求得，cos D1BG1 3010.1判段有关空间位置关系命题真假的关键是：熟悉基本定理；熟练模型的使用与模拟实验(1)证明若干点共线，通常证明这些点都是某两个平面的公共点，根据公理 3，这些点都在交线上；
14、或选择其两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上(2)证明若干条直线共点与证明若干点共线的方法类似，都可以转化成证明“点在直线上”的问题(证明两条直线的交点在第 3 条直线上)(3)证明若干元素(点或直线)共面，常用两种方法：方法一是根据公理 3 或推论确定一个平面，然后再证其他元素也在这个平面内；方法二是根据公理 2 或其推论确定两个平面，然后再证明这两个平面重合2求异面直线所成的角，常用平移转化法，即平移一条(或两条)作出夹角，再解三角形注意：(1)当用平移转化法繁琐或无法平移时，可考虑两条异面直线是否垂直；(2)两条异面直线所成的角不超过 90.3证明两直线是异面直线的常用方法是“
15、判定定理”和“反证法”，其中“反证法”最常用(2013 全国大纲)如图，四棱锥 PABCD 中，ABCBAD90，BC2AD，PAB 和PAD都是边长为 2 的等边三角形(1)证明：PBCD；(2)求点 A 到平面 PCD 的距离【解析】(1)取 BC 的中点 E，连结 DE，则 ABED为正方形 过 P 作 PO平面 ABCD，垂足为 O.连结 OA，OB，OD，OE.由PAB 和PAD都是等边三角形知 PAPBPD，所以 OAOBOD，即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点，故 OEBD，从而 PBOE.因为 O 是 BD 的中点，E 是 BC 的中点，所以 OECD，因此 PBCD.
16、(2)取 PD 的中点 F，连结 OF，则 OFPB.由(1)知，PBCD，故 OFCD.又 OD12BD 2，OP PD2OD2 2，故POD 为等腰三角形，因此 OFPD.又 PDCDD，所以 OF平面 PCD.因为 AECD，CD平面 PCD，AE平面 PCD，所以 AE平面 PCD.因此 O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离，而 OF12PB1，所以 A 到平面 PCD 的距离为1.1如图所示，用符号语言可表达为()A m，n，mnAB m，n，mnAC m，n，Am，AnD m，n，Am，An【解析】直线与平面的关系是包含()、不包含()，点与平面的关系
17、是属于()、不属于()，根据图应是 m，n，mnA，故选 A.A2下列命题中正确的是()A若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 lB若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行C如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点D【解析】若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l 或直线 l 与平面 相交，A 错误；若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点，B 错误，D 正确；如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条与这个平面平行或在这个平面
18、内，C 错误3以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，C，D，E 共面；若直线 a，b 共面，直线 a，c共面，则直线 b，c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1 C2 D3B【解析】正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点 A，B，C，若 A，B，C 共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，此时所得的四边形四条边可以不在同一个平面内4点 E，F，G，H 分别为空间四边形 ABCD 中AB，BC，CD，AD 的中点，若 ACBD，且 AC 与BD 所成角的大小为
19、 90，则四边形 EFGH 是()A梯形B空间四边形C正方形D有一内角为 60的菱形C【解析】点 E，F，G，H 分别为空间四边形ABCD 中 AB，BC，CD，AD 的中点，EFHG 綊12AC，EHFG 綊12BD，EFFGGHHE，并且所成角为直角，四边形 EFGH 为正方形5如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面边长和高均为 2，D 为 A1B1 的中点，则异面直线 A1B与 CD 所成角的正弦值等于()A.105B.155C.357D.147C【解析】如图所示，取 BB1 的中点 E，连接 DE，DC1，CE.在A1BB1 中，BEB1E，A1DDB1，所以 DEA1B，
20、故CDE 为异面直线A1B 与 CD 所成的角或其补角 在 RtB1DE 中，B1DB1E1，故 DE B1D2B1E2 2，在等边A1B1C1 中，C1D 32 A1B1 3，在 RtBCE 中，CE CB2BE2 22125，在 RtCC1D 中，CC12，故 CD CC21C1D2 22（3）2 7，在CED 中，cosCDEDE2DC2EC22DEDC（2）2（7）2（5）22 2 7 147，所以异面直线 A1B 与 CD 所成角的余弦值为 147，故 sin 11472 357.故选 C.6一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB 与 CM 所成的角
21、为 60；EF 与 MN 是异面直线；MNCD.以上四个命题中，正确命题的序号是_7如图所示，平面 ABEF平面ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BC 綊12AD，BE 綊12AF，G，H 分别为 FA，FD 的中点(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？【解析】(1)证明：由题意知，FGGA，FHHD，GH 綊12AD，又 BC 綊12AD，故 GH 綊 BC.(2)C，D，F，E 四点共面理由如下：由 BE 綊12AF，G 是 FA 的中点知，BE 綊 GF，EFBG，由(1)知 BGCH，所以 EFC
22、H，故 EC，FH 共面 又点 D 在直线 FH 上，所以 C，D，F，E 四点共面8如图所示，在四面体 ABCD 中，E，G 分别为BC，AB 的中点，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有 DFFCDHHA23，求证：EF，GH，BD 交于一点【解析】证明：E，G 分别为 BC，AB 的中点，GEAC.又DFFCDHHA23，FHAC，从而 FHGE.故 E，F，H，G 四点共面 AGGB11，AHHD32，AGGBAHHD.GH 不平行于 BD.同理，EF 也不平行于 BD.四边形 EFHG 是梯形，GH 和 EF 交于一点 O.O 在平面 ABD 内，又在平面 BCD 内，O 在这两
23、平面的交线上而这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条，点 O 在直线 BD 上 EF，GH，BD 交于一点9.右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，ECPD，且 PD2EC2 2.(1)求证：AC平面 PBE；(2)若 AD2，求两异面直线 AD 与 PB 所成的角的大小【解析】(1)证明：连结 AC 与 BD 交于点 F，取PB 的中点 N，连结 NE，NF，F 为 BD 的中点，NFPD 且 NF12PD，又 ECPD 且 EC12PD.NFEC 且 NFEC，四边形 NFCE 为平行四边形 NEFC，即 ACNE，又 NE平面 PBE，AC平面 PBE，AC平面 PBE.(2)连结 PC，ADBC，PBC 是两异面直线AD 与 PB 所成的角(或补角)在 RtPBC 中，BCPC，由已知求得 BC2，PB4，PBC60，两异面直线 AD 与 PB 所成的角为 60.
