1、安徽省安庆一中、安师大附中联考2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知复数1i=（i为虚数单位），则z等于（）A1+3iB1+2iC13iD12i2（5分）用反证法证明命题：“已知a，bN，若ab不能被7整除，则a与b都不能被7整除”时，假设的内容应为（）Aa，b都能被7整除Ba，b不都能被7整除Ca，b至少有一个能被7整除Da，b至多有一个能被7整除3（5分）执行如图所示的程序框图，若输出值x（16，25），则输入x值可以是（）A0B2C4D64（5分）“m=1”是“x（0，+
2、），使得mx+1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（5分）已知（0，），a=log，b=sin，c=cos，则（）AcabBbacCacbDbca6（5分）在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）ABCD7（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）ABCD8（5分）若cos（）=，（，0），则sin（+2）=（）ABCD9（5分）已知实数x、y满足条件：，则z=|x+1|+|y1|的取值范围是（）A1，3）B0，4）C1，4）D0，3
3、）10（5分）已知函数f（x）=4x2x+1+1，函数g（x）=asin（x）2a+2（a0），若存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A（0，B，C，D，1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分11（5分）设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=12（5分）已知幂函数的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f（x）的解析式是 13（5分）在ABC中，AB=1，AC=2，O为ABC外接圆的圆心，则=14（5分）已知以为渐近线的双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则的
4、取值范围是15（5分）在下列给出的命题中，函数y=2x32x+1的图象关于点，（0，1）成中心对称；对x，yR若x+y0，则x1或y1；若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；若ABC为钝角三角形，则sinAcosB；把函数y=3sin（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=3sinx的图象；其中正确结论的序号是三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是，且当x0，时，f（x）=sin（2x+）（1）求x，0时，f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单增区间17（12
5、分）在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4的四个形状相同的小球，现从甲、乙两个盒子中各取出2个小球，每个小球被取出的可能性相等（1）求从甲盒中取出的两个球上的编号不都是奇数的概率；（2）求从甲盒取出的小球上编号之和与从乙盒中取出的小球上编号之和相等的概率18（12分）如图，平面PAC平面ABC，ACBC，PAC为等边三角形，PECB，M，N分别是线段AE，AP上的动点，且满足：=（01）（1）求证：MN平面ABC；（2）当=时，求证：面CMN面APE19（12分）设数列an满足an=3an1+2（n2，nN*），且a1=2，bn=log3（an+1）（1）证明：数列an+1为等比数列；
6、（2）求数列anbn的前n项和Sn20（13分）已知椭圆C：+=1（ab0）的焦点是（，0）、（，0），且椭圆经过点（，）（1）求椭圆C的方程；（2）设P（0，4），M、N是椭圆C上关于y轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，证明：直线ME与y轴相交于定点21（14分）已知函数（aR）（）当a=0时，求曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线方程（e=2.718）；（）求函数f（x）的单调区间安徽省安庆一中、安师大附中联考2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
7、的1（5分）已知复数1i=（i为虚数单位），则z等于（）A1+3iB1+2iC13iD12i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：复数1i=，=1+3i故选：A点评：本题考查了复数定义是法则，属于基础题2（5分）用反证法证明命题：“已知a，bN，若ab不能被7整除，则a与b都不能被7整除”时，假设的内容应为（）Aa，b都能被7整除Ba，b不都能被7整除Ca，b至少有一个能被7整除Da，b至多有一个能被7整除考点：反证法与放缩法 专题：证明题；反证法分析：根据用反证法证明数学命题的方法，命题“a与b都不能被7整除”的否定为“a，b至少有一个
8、能被7整除”，从而得出结论解答：解：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立而命题“a与b都不能被7整除”的否定为“a，b至少有一个能被7整除”，故选C点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题3（5分）执行如图所示的程序框图，若输出值x（16，25），则输入x值可以是（）A0B2C4D6考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=4时，不满足条件n3，退出循环，输出x的值，由x=22（2x+1）+1+1=8x+7（16，25），结合各个选项即可得解解
9、答：解：模拟执行程序框图，可得n=1满足条件n3，x=2x+1，n=2满足条件n3，x=2（2x+1）+1，n=3满足条件n3，x=22（2x+1）+1+1，n=4不满足条件n3，退出循环，输出x的值由题意可得：x=22（2x+1）+1+1=8x+7（16，25），可解得：，故选：B点评：本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序框图，得到退出循环时x=22（2x+1）+1+1=8x+7是解题的关键，属于基础题4（5分）“m=1”是“x（0，+），使得mx+1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑
10、分析：根据充分必要条件的定义，分别判断充分性和必要性即可解答：解：m=1时，存在x=2使mx+1成立，是充分条件，若“x（0，+），使得mx+1，即x+m+1，则m不一定是1，不是必要条件，故选：A点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式问题，是一道基础题5（5分）已知（0，），a=log，b=sin，c=cos，则（）AcabBbacCacbDbca考点：指数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：根据指数函数对数函数三角图象和性质即可判断解答：解：（0，），0sinacos1，a=log0，y=x为减函数，sincos0，bca，故选：D点评：本题考查了指数函数对数函数三角图象和性
11、质，属于基础题6（5分）在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）ABCD考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数 专题：解三角形分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB0，sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，ab，AB，即B为锐角，则B=故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公
12、式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键7（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）ABCD考点：简单空间图形的三视图 专题：作图题分析：由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项解答：解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选C点评：本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等
13、，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项8（5分）若cos（）=，（，0），则sin（+2）=（）ABCD考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：根据三角函数的倍角公式，进行化简即可，注意角的取值范围解答：解：cos（）=，cos（）=sin（）=sin（）=，（，0），（0，），（，），cos（）=0，（，），即（，0），则（0，），则cos（）=，即sin（+2）=2sin（）cos（）=2=，故选：B点评：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键注意角的范围的判断9（5分）已知实数x、y满足条件：，则z=|x+1|+|y1|的取值
14、范围是（）A1，3）B0，4）C1，4）D0，3）考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，2），B（0，3），C（2，4），z的几何意义表示为点P（x，y）到直线y=1和直线x=1的距离之和，由图象可知，当点P位于点A时，两段距离之和最小，此时z=1+0=1，当点P位于点C时，两段距离之和最大，此时z=|2+1|+|41|=1+3=4，1z4，故z=|x+1|+|y1|的取值范围是1，4），故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键本题
15、的难点在于如何正确理解z的几何意义10（5分）已知函数f（x）=4x2x+1+1，函数g（x）=asin（x）2a+2（a0），若存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A（0，B，C，D，1考点：根的存在性及根的个数判断；正弦函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：根据条件确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出f（x）与g（x）的值域的交集不等于空集，即可得到结论解答：解：f（x）=4x2x+1+1=（2x）222x+1=（2x1）2，x0，1，2x1，2，即0f（x）1，即函数f（x）的值域为0，1，a0，当
16、x0，1，x0，则sinx0，则22ag（x）2，即函数g（x）的值域为22a，2，若存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，在0，122a，2，若0，122a，2a=，则20或22a1，0a或a，当0，122a，2时，a的取值范围为，实数a的取值范围是，故选：B点评：本题主要考查方程根的关系，根据条件求出函数的值域，结合集合关系是解决本题的关键综合性较强，运算量较大二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分11（5分）设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式 专题：计算题；等差数列与等比数
17、列分析：利用等比数列的性质：若an为等比数列，则Sn，Sn+1，Sn+2，也成等比数列解答：解：因为an为等比数列，所以S3，S6S3，S9S6，成等比数列，则S3（S9S6）=（S6S3）2，即8（S9S6）=（1）2，解得S9S6=，即a7+a8+a9=，故答案为：点评：本题考查等比数列的前n项和，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，熟练利用等比数列的性质解题可以简化计算过程，给解题带来方便12（5分）已知幂函数的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f（x）的解析式是 f（x）=x1考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 专题：常规题型分析：幂函数的图象与x轴，y轴都无交点，
18、则m210，再根据函数关于原点对称知m=1即可解答：解：函数的图象与x轴，y轴都无交点，m210，解得1m1；图象关于原点对称，且mZ，m=0f（x）=x1故答案为：f（x）=x1点评：本题考查了幂函数的单调性、奇偶性及其应用，属于基础题13（5分）在ABC中，AB=1，AC=2，O为ABC外接圆的圆心，则=考点：三角形五心；平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：根据，将向量的数量积转化为：=，如图，再根据向量数量积的几何意义即可得到答案解答：解：由于，=，如图，设AB，AC的中点分别为F，E根据向量数量积的几何意义得：=|AC|AE|AF|AB|=121=故答案为：点评：本小题主要考查向量
19、在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义属于基础题14（5分）已知以为渐近线的双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则的取值范围是（0，考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；综合题分析：根据双曲线D的渐近线是，得到，从而=2a再由P为双曲线D右支上一点，得到|PF1|PF2|=2a，结合|PF1|+|PF2|F1F2|，代入式子，即可得到要求的取值范围解答：解：双曲线的渐近线是，可得，=2aP为双曲线D右支上一点，|PF1|PF2|=2a而|PF1|+|PF2|F1F2|=2c0=c=2a，可得=的取值范围是（0，故答案为：（0，点评：本题给出双
20、曲线的渐近线方程，求它的离心率，并求其右支上一点到两个焦点的距离差与距离之和的比值的取值范围，着重考查了双曲线的基本概念和不等式的基本性质，属于中档题15（5分）在下列给出的命题中，函数y=2x32x+1的图象关于点，（0，1）成中心对称；对x，yR若x+y0，则x1或y1；若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；若ABC为钝角三角形，则sinAcosB；把函数y=3sin（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=3sinx的图象；其中正确结论的序号是考点：命题的真假判断与应用 专题：综合题；简易逻辑分析：本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了函数的性质，我们可以根据对称性等函
21、数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论解答：解：函数y=2x33x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于点（0，1）的对称点为（x0，2y0）也满足函数的解析式，则正确；对x，yR，若x+y0，对应的是直线y=x以外的点，则x1，或y1，正确；若实数x，y满足x2+y2=1，则可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（2，0）连线的斜率，其最大值为，正确；若ABC为钝角三角形，若A为锐角，B为钝角，则sinAcosB，错误把函数y=3sin（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=3sin（x）=3sin（x）的图象，故错误故答案为：点评：本
22、题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是，且当x0，时，f（x）=sin（2x+）（1）求x，0时，f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单增区间考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据函数f（x）在0，的解析式，结合函数的奇偶性，求出f（x）在，0上的解析式；（2）根据函数f（x）的周期性与奇偶性，求出f（x）的单调性与单调增区间即可解答：解：（1）当x，0时，x0
23、，f（x）=sin（2x+）=sin（2x）；又f（x）是偶函数，f（x）=f（x）=sin（2x）；（6分）（2）当x0，时，由2x+，解得x0，f（x）在0，上是单调增函数，（8分）同理，当x，0时，f（x）在x，上是单调增函数；（10分）由函数的周期性知，f（x）的单调递增区间是k，+k、+k，+k，（kZ）；（12分）点评：本题考查了三角函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的应用问题，是基础题目17（12分）在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4的四个形状相同的小球，现从甲、乙两个盒子中各取出2个小球，每个小球被取出的可能性相等（1）求从甲盒中取
24、出的两个球上的编号不都是奇数的概率；（2）求从甲盒取出的小球上编号之和与从乙盒中取出的小球上编号之和相等的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（1）先求出基本事件总数，然后记事件“甲盒中取出的两个球上的编号不都是奇数”为事件A，列举出事件A所包含的基本事件，最后根据古典概型的概率公式解之即可；（2）记事件“从甲盒取出的小球上编号之和与从乙盒中取出的小球上编号之和相等”为事件B，列举出事件B所包含的基本事件，最后根据古典概型的概率公式解之即可解答：解：由题意可知，从甲、乙两个盒子中各取1个小球的基本事件总数为16（1）记“从甲盒中取出的两个球上的编号不都是奇数”
25、为事件A，由题意可知，从甲盒中取2个小球的基本事件总数为6，则事件A的基本事件有：（1，2），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共5个，（2）记“从甲盒取出的小球上编号之和与从乙盒中取出的小球上编号之和相等”为事件B，由题意可知，从甲、乙两个盒子中各取2个小球的基本事件总数为36，则事件B包含：（12，12），（13，13），（14，14），（14，23），（23，14），（23，23），（24，24）（34，34）共8个基本事件点评：本题主要考查了等可能事件的概率，解题的关键是弄清基本事件的个数与所求事件所包含的基本事件，属于基础题18（12分）如图，平面PAC平面ABC，ACB
26、C，PAC为等边三角形，PECB，M，N分别是线段AE，AP上的动点，且满足：=（01）（1）求证：MN平面ABC；（2）当=时，求证：面CMN面APE考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）根据线面平行的判定定理证明MNBC即可证明MN平面ABC；（2）当=时，根据面面垂直的判定定理证明CN面APE即可证明面CMN面APE解答：（1）证明：由M，N分别是线段AE，AP上的动点，且在APE中，（01），得MNPE，又依题意PEBC，MNBCMN平面ABC，BC平面ABC，MN平面ABC （2）解：由已知平面PAC平面ABC，ACBC，BC平面PAC
27、，BCCN，即BCPE （9分）在等边三角形PAC中，=，CNPA，CN面APE，面CMN面APE（12分）点评：本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理19（12分）设数列an满足an=3an1+2（n2，nN*），且a1=2，bn=log3（an+1）（1）证明：数列an+1为等比数列；（2）求数列anbn的前n项和Sn考点：数列的求和；等比关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由数列an满足an=3an1+2（n2，nN*），变形an+1=3（an1+1），即可证明；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，即可得出解答：（1）
28、证明：数列an满足an=3an1+2（n2，nN*），an+1=3（an1+1），又a1+1=3，数列an+1为等比数列（2）由（1）知，bn=log3（an+1）=nanbn=n（3n1）=n3nn，设Tn=13+232+333+n3n，3Tn=32+233+（n1）3n+n3n+1，2Tn=3+32+33+3nn3n+1=n3n+1=n3n+1，Tn=+点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（13分）已知椭圆C：+=1（ab0）的焦点是（，0）、（，0），且椭圆经过点（，）（1）求椭圆C的方程；（2）设P（0，4），M、
29、N是椭圆C上关于y轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，证明：直线ME与y轴相交于定点考点：椭圆的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题意可得c，再由点满足方程和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）设N（x1，y1）、E（x2，y2）、M（x1，y1），直线PN的方程为y=kx+4，代入椭圆方程，运用韦达定理，求得直线ME的方程，再令x=0，化简整理，即可得到定点坐标解答：解：（1）椭圆C的方程为+=1（ab0），c=，即有a2b2=3，椭圆经过点（，），则+=1，解得a=2，b=1，所以所求椭圆C的方程为+y2=1； （2）证明：设N（x1
30、，y1）、E（x2，y2）、M（x1，y1），直线PN的方程为y=kx+4，由 得：（1+4k2）x2+32kx+60=0，x1+x2=，x1x2=，则直线ME：yy1=（x+x1）当x=0时，y=x1+y1=+4=，所以直线ME与y轴相交于定点（0，）点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题21（14分）已知函数（aR）（）当a=0时，求曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线方程（e=2.718）；（）求函数f（x）的单调区间考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：综合
31、题分析：（I）将a=0代入，对函数f（x）进行求导得到切线的斜率k=f（e），切点为（e，f（e），根据点斜式即可写出切线方程；（II）由题意知先求导数，f（x）在（1，e内单调性下面对a进行分类讨论：当a0时，当时，当时，当时，由此可知f（x）的单调增区间和单调递减区间；解答：解：（ I）当a=0时，f（x）=xxlnx，f（x）=lnx，（2分）所以f（e）=0，f（e）=1，（4分）所以曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线方程为y=x+e（5分）（ II）函数f（x）的定义域为（0，+），（6分）当a0时，2ax10，在（0，1）上f（x）0，在（1，+）上f（x）0所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上递减； （8分）当时，在（0，1）和上f（x）0，在上f（x）0所以f（x）在（0，1）和上单调递增，在上递减；（10分）当时，在（0，+）上f（x）0且仅有f（1）=0，所以f（x）在（0，+）上单调递增； （12分）当时，在和（1，+）上f（x）0，在上f（x）0所以f（x）在和（1，+）上单调递增，在上递减（14分）点评：本题主要考查函数导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，考查运算能力，属中档题
