1、第六章平面向量初步6.3平面向量线性运算的应用课时35向量在平面几何中的应用知识点一 向量在平面几何证明问题中的应用1如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上取点F，在其反向延长线上取点E，使BEDF，用向量方法证明四边形AECF是平行四边形证明如题图，由向量加法法则知，.又，所以，即AE綊FC，所以四边形AECF是平行四边形2如下图所示，ABC的顶点A，B，C分别对应向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，其重心为G，对应的向量为g(x0，y0)求证：x0，y0.证明设AC的中点为D，且点D对应的向量为q(x4，y4)，则x4，y4.由平面几何的知识，得2，x0
2、，y0.知识点二 向量在平面几何计算问题中的应用3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A BC(3,2) D(1,3)答案A解析设D(x，y)，则(4,3)，(x，y2)，由2得顶点D的坐标为.4在ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，则BC边的中线AD的长是()A2 B C3 D答案B解析BC的中点为D，|.5如图所示，在ABC中，AD为BC边上的中线，且2，BE交AD于点G，求及的值解设，.AD为BC边上的中线，()又()，.又，即()，(1)，.又，.，不共线，解得4，.知识点三 向量在平面几何中的综合应
3、用6.若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形答案B解析因为|，|2|，所以|，则0，所以BAC90，即ABC是直角三角形故选B7已知向量集合Ma|a(1,2)1(3,4)，1R，Na|a(2，2)2(4,5)，2R，则MN等于()A(1,2) B(1,2)，(2，2)C(2，2) D答案C解析令(1,2)1(3,4)(2，2)2(4,5)，即(131,241)(242，252)，解得故M与N只有一个公共元素是(2，2)8如图所示，在ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得？若存在，说明点D的位
4、置；若不存在，说明理由解假设存在点D，使得.则()，即.所以存在点D使，且点D为靠近点C的线段AC的三等分点.易错点 不能将平面几何中计算问题转化为向量问题致误9.设O为ABC内任一点，且满足340，且D，E分别是BC，CA的中点，则ABC与BOC的面积之比为_易错分析以上题目的求解中，需要根据向量条件判定几何图形中的平行关系，从而利用面积公式求得比例关系答案81正解如图，2，2，34()3()2(3)0，即30，与共线，即点D，E，O共线，3|，SBOC2SCOD2SCDE2SABCSABC，即SABCSBOC81.一、选择题1在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是()A平行四边形 B梯
5、形C矩形 D菱形答案B解析由，可知ADBC，且|，故四边形ABCD是梯形2已知MNS的三个顶点M，N，S及平面内一点Q满足，则下列结论中正确的是()A点Q在MNS的内部B点Q在MNS的边MN上C点Q在MN边所在直线上D点Q在MNS的外部答案D解析由，所以四边形QMSN为平行四边形如图，可知点Q在MNS的外部故选D3已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且ACCDDB如果3e1，3e2，那么 等于()Ae12e2 B2e1e2Ce1e2 De1e2答案A解析如图所示，()e12e2，应选A4在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，AOC，且OC2
6、.若，则的值是()A B1 C D1答案D解析由题意，知(1,0)，(0,1)设C(x，y)，则(x，y)，(x，y)(1,0)(0,1)(，)又AOC，OC2，x2cos，y2sin1，1.5O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OO，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B内心 C重心 D垂心答案B解析因为是向量方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又，则原式可化为(e1e2)，由菱形的基本性质可知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC故选B二、填空题6在直角三角形ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足()，
7、则|_.答案1解析如图，设BC边的中点为D，连接AD，则()，()，因此|1.7已知P为ABC所在平面内一点，且满足，则APB的面积与APC的面积之比为_答案12解析由题意，得52，得222，得2()，如图所示，以PA，PB为邻边作PAEB，则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则24.所以.8如图所示，已知O为坐标原点，点A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则AC和OB的交点P的坐标为_答案解析设tt(4,4)(4t,4t)，则(4t3,4t)，(2,1)(3,0)(1,1)由，共线，得(4t3)14t(1)0，解得t.(4t,4t)，点P的坐标为.三、解答题9求证：顺次连接任意
8、四边形各边中点，构成一个平行四边形证明如图，设M，N，Q，P是四边形ABCD各边的中点，那么()()0.，四边形MNQP是平行四边形10如图ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，求mn的值解如图，连接AO，()(mn)，A.，又与共线存在实数，使O，即，1(mn)0.mn2.11已知四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证： ()证明证法一：如图1，首先建立直角坐标系设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则有(x2x1，y2y1)，(x3x4，y3y4)().又E，F分别是AD，BC的中点，E，F，()证法二：如图2，向量相加得，2，()12四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP(0)，则A(0,1)，P，E，F，| ，| ，|，PAEF.
