1、奇偶性的应用A级基础巩固1(多选)下列函数中是偶函数,且在区间(0,1)上单调递增的是()Ayx22ByCy|x| Dy解析:选AD因为f(x)(x)22x22f(x),所以yx22是偶函数,在区间(0,1)上为增函数,符合题意;因为f(x)f(x),y是奇函数,不符合题意;因为f(x)|x|x|f(x),所以y|x|(x0)是偶函数,当x(0,1)时,yx单调递减,不符合题意;因为f(x)f(x),y(x0)是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数,符合题意故选A、D.2(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x0时,f(x)x2xa2,则()Aa2 Bf(2)2Cf(x)是增函数 Df(
2、3)12解析:选ACDf(x)是R上的奇函数,故f(0)a20得a2,故A对;对于B项,f(2)426,故B错;对于C 项,当x0时,f(x)x2x在0,)上为增函数,利用奇函数的对称性可知,f(x)在(,0上为增函数,故f(x)是R上的增函数,故C对;f(3)f(3)9312,故D对;故选A、C、D.3(2020天津高考)函数y的图像大致为()解析:选A法一:令f(x),显然f(x)f(x),f(x)为奇函数,排除C、D,由f(1)0,排除B,故选A.法二:令f(x),由f(1)0,f(1)f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf(3)f(2)f()Df(3)f()f(2)解析:选Af(
3、x)是R上的偶函数,f(2)f(2),f()f(),又f(x)在0,)上单调递增,且23f(3)f(2),即f()f(3)f(2)5已知偶函数f(x)在区间0,)上单调递增,则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.解析:选A由题意得|2x1|2x12xx,故选A.6如果函数F(x)是奇函数,则f(x)_解析:当x0,F(x)2x3,又F(x)为奇函数,故F(x)F(x),F(x)2x3,即f(x)2x3.答案:2x37若f(x)(m1)x26mx2是偶函数,则f(0),f(1),f(2)按从小到大的排列是_解析:当m1时,f(x)6x2不合题意;当m1时,由题意可知,其图像
4、关于y轴对称,m0,f(x)x22,f(x)在(,0)上递增,在(0,)上递减又01f(1)f(2)f(2)答案:f(2)f(1)f(0)8已知函数f(x)ax2bxc,能说明f(x)既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的一组整数a、b、c的值依次是a_,b_,c_解析:由于函数f(x)ax2bxc为偶函数,则f(x)f(x),ax2bxcax2bxc,2bx0对任意的xR恒成立,可得b0,由于函数f(x)ax2c在(0,)上单调递减,则a0.因此,符合题意的一组整数a、b、c的值可以分别为a1,b0,c1.答案:101(答案不唯一)9已知f(x)是定义在(1,1)上的奇函数,且f(x)在(1
5、,1)上是减函数,解不等式f(1x)f(12x)0.解:f(x)是定义在(1,1)上的奇函数,由f(1x)f(12x)0,得f(1x)f(12x),f(1x)f(2x1)又f(x)在(1,1)上是减函数,解得0x,原不等式的解集为.10已知yf(x)是奇函数,它在(0,)上是增函数,且f(x)0,试问F(x)在(,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论解:F(x)在(,0)上是减函数证明如下:任取x1,x2(,0),且x1x20.因为yf(x)在(0,)上是增函数,且f(x)0,所以f(x2)f(x1)f(x1)0.于是F(x1)F(x2)0,即F(x1)F(x2),所以F(x)在(,0)上是
6、减函数B级综合运用11(多选)函数f(x)同时满足:对于定义域上的任意x,恒有f(x)f(x)0;对于定义域上的任意x1,x2,当x1x2,恒有0.则称函数f(x)为“理想函数”,下列三个函数中,是“理想函数”的有()Af(x)2x Bf(x)x2Cf(x) Df(x)解析:选AC对于定义域上的任意x,恒有f(x)f(x)0,即f(x)f(x),则f(x)是奇函数,对于定义域上的任意x1,x2,当x1x2,恒有0,即当x1f(x2),则f(x)是定义域内的减函数,A、C、D是奇函数,B是偶函数,排除B项;A项,f(x)2x是减函数,满足题意;C项,f(x)x2(x0)是减函数,f(x)x2(x
7、0)是减函数,而x1f(x2),f(x)在R上是减函数,满足题意;D项,f(x)在定义域内不是减函数,不满足题意,故选A、C.12设f(x)为偶函数,且在区间(,0)内是增函数,f(2)0,则xf(x)0的解集为()A(1,0)(2,) B(,2)(0,2)C(2,0)(2,) D(2,0)(0,2)解析:选C根据题意,偶函数f(x)在(,0)上为增函数,且f(2)0,则函数f(x)在(0,)上为减函数,且f(2)f(2)0,作出函数f(x)的草图如图所示,又由xf(x)0,可得或由图可得2x2,即不等式的解集为(2,0)(2,)故选C.13设偶函数f(x)的定义域为R,函数f(x)在0,)上
8、为单调函数,则满足f(x1)f(2x)的所有x的取值集合为_解析:f(x)为偶函数,f(x1)f(|x1|),f(2x)f(|2x|)又函数f(x)在0,)上为单调函数,|x1|2x|,x12x或x12x,解得x1或x.满足f(x1)f(2x)的所有x的取值集合为.答案:14设定义在2,2上的奇函数f(x)x5x3b.(1)求b的值;(2)若f(x)在0,2上单调递增,且f(m)f(m1)0,求实数m的取值范围解:(1)因为函数f(x)是定义在2,2上的奇函数,所以f(0)0,解得b0.(2)因为函数f(x)在0,2上是增函数,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在2,2上单调递增,因为f(m
9、)f(m1)0,所以f(m1)f(m)f(m),所以m1m,又不等式f(m)f(m1)0在函数f(x)定义域范围内有意义,所以解得0时,f(x)0且f(1)2.(1)求f(0)和f(2)的值;(2)证明f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)的单调性,并说明理由解:(1)由题设,令xy0,恒等式可变为f(00)f(0)f(0),解得f(0)0,又f(1)2,f(2)f(11)f(1)f(1)224;(2)令yx,则由f(xy)f(x)f(y)得f(0)0f(x)f(x),即得f(x)f(x),故f(x)是奇函数(3)函数f(x)是增函数,理由如下:任取x10,由题设x0时,f(x)0,可得f(x2x1)0,f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)0,故有f(x2)f(x1),所以f(x)是增函数