1、奇偶性的应用A级基础巩固1(多选)下列函数中是偶函数，且在区间(0，1)上单调递增的是()Ayx22ByCy|x| Dy解析：选AD因为f(x)(x)22x22f(x)，所以yx22是偶函数，在区间(0，1)上为增函数，符合题意；因为f(x)f(x)，y是奇函数，不符合题意；因为f(x)|x|x|f(x)，所以y|x|(x0)是偶函数，当x(0，1)时，yx单调递减，不符合题意；因为f(x)f(x)，y(x0)是偶函数，且在区间(0，1)上为增函数，符合题意故选A、D.2(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2xa2，则()Aa2 Bf(2)2Cf(x)是增函数 Df(
2、3)12解析：选ACDf(x)是R上的奇函数，故f(0)a20得a2，故A对；对于B项，f(2)426，故B错；对于C 项，当x0时，f(x)x2x在0，)上为增函数，利用奇函数的对称性可知，f(x)在(，0上为增函数，故f(x)是R上的增函数，故C对；f(3)f(3)9312，故D对；故选A、C、D.3(2020天津高考)函数y的图像大致为()解析：选A法一：令f(x)，显然f(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除C、D，由f(1)0，排除B，故选A.法二：令f(x)，由f(1)0，f(1)f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf(3)f(2)f()Df(3)f()f(2)解析：选Af(
3、x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上单调递增，且23f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)5已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A由题意得|2x1|2x12xx，故选A.6如果函数F(x)是奇函数，则f(x)_解析：当x0，F(x)2x3，又F(x)为奇函数，故F(x)F(x)，F(x)2x3，即f(x)2x3.答案：2x37若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)按从小到大的排列是_解析：当m1时，f(x)6x2不合题意；当m1时，由题意可知，其图像
4、关于y轴对称，m0，f(x)x22，f(x)在(，0)上递增，在(0，)上递减又01f(1)f(2)f(2)答案：f(2)f(1)f(0)8已知函数f(x)ax2bxc，能说明f(x)既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的一组整数a、b、c的值依次是a_，b_，c_解析：由于函数f(x)ax2bxc为偶函数，则f(x)f(x)，ax2bxcax2bxc，2bx0对任意的xR恒成立，可得b0，由于函数f(x)ax2c在(0，)上单调递减，则a0.因此，符合题意的一组整数a、b、c的值可以分别为a1，b0，c1.答案：101(答案不唯一)9已知f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，且f(x)在(1
5、，1)上是减函数，解不等式f(1x)f(12x)0.解：f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，由f(1x)f(12x)0，得f(1x)f(12x)，f(1x)f(2x1)又f(x)在(1，1)上是减函数，解得0x，原不等式的解集为.10已知yf(x)是奇函数，它在(0，)上是增函数，且f(x)0，试问F(x)在(，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论解：F(x)在(，0)上是减函数证明如下：任取x1，x2(，0)，且x1x20.因为yf(x)在(0，)上是增函数，且f(x)0，所以f(x2)f(x1)f(x1)0.于是F(x1)F(x2)0，即F(x1)F(x2)，所以F(x)在(，0)上是
6、减函数B级综合运用11(多选)函数f(x)同时满足：对于定义域上的任意x，恒有f(x)f(x)0；对于定义域上的任意x1，x2，当x1x2，恒有0.则称函数f(x)为“理想函数”，下列三个函数中，是“理想函数”的有()Af(x)2x Bf(x)x2Cf(x) Df(x)解析：选AC对于定义域上的任意x，恒有f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，则f(x)是奇函数，对于定义域上的任意x1，x2，当x1x2，恒有0，即当x1f(x2)，则f(x)是定义域内的减函数，A、C、D是奇函数，B是偶函数，排除B项；A项，f(x)2x是减函数，满足题意；C项，f(x)x2(x0)是减函数，f(x)x2(x
7、0)是减函数，而x1f(x2)，f(x)在R上是减函数，满足题意；D项，f(x)在定义域内不是减函数，不满足题意，故选A、C.12设f(x)为偶函数，且在区间(，0)内是增函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(1，0)(2，) B(，2)(0，2)C(2，0)(2，) D(2，0)(0，2)解析：选C根据题意，偶函数f(x)在(，0)上为增函数，且f(2)0，则函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)f(2)0，作出函数f(x)的草图如图所示，又由xf(x)0，可得或由图可得2x2，即不等式的解集为(2，0)(2，)故选C.13设偶函数f(x)的定义域为R，函数f(x)在0，)上
8、为单调函数，则满足f(x1)f(2x)的所有x的取值集合为_解析：f(x)为偶函数，f(x1)f(|x1|)，f(2x)f(|2x|)又函数f(x)在0，)上为单调函数，|x1|2x|，x12x或x12x，解得x1或x.满足f(x1)f(2x)的所有x的取值集合为.答案：14设定义在2，2上的奇函数f(x)x5x3b.(1)求b的值；(2)若f(x)在0，2上单调递增，且f(m)f(m1)0，求实数m的取值范围解：(1)因为函数f(x)是定义在2，2上的奇函数，所以f(0)0，解得b0.(2)因为函数f(x)在0，2上是增函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在2，2上单调递增，因为f(m
9、)f(m1)0，所以f(m1)f(m)f(m)，所以m1m，又不等式f(m)f(m1)0在函数f(x)定义域范围内有意义，所以解得0时，f(x)0且f(1)2.(1)求f(0)和f(2)的值；(2)证明f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)的单调性，并说明理由解：(1)由题设，令xy0，恒等式可变为f(00)f(0)f(0)，解得f(0)0，又f(1)2，f(2)f(11)f(1)f(1)224；(2)令yx，则由f(xy)f(x)f(y)得f(0)0f(x)f(x)，即得f(x)f(x)，故f(x)是奇函数(3)函数f(x)是增函数，理由如下：任取x10，由题设x0时，f(x)0，可得f(x2x1)0，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)0，故有f(x2)f(x1)，所以f(x)是增函数