1、第7课时 直线的参数方程1直线参数方程的标准形式经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程可表示为：_(t 为参数)xx0tcos，yy0tsin 这种形式称为直线参数方程的标准形式(1)参数 t 的几何意义：_若 t0，则M0M 的方向向上；若 t0，则M0M 的方向向下；若 t0，则 M 与 M0 重合(2)是直线的倾斜角，_t|是直线上任意一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t|0，)2直线参数方程的一般形式_(t为参数)(1)斜率：k_；(2)一般形式中的参数t没有明确的几何意义且a2b21一般不成立xx0at，yy0btkba1若直线的参数方程为
2、x12t，y23t(t 为参数)，则直线的斜率为()A23 B23 C32 D32【答案】D【解析】直线参数方程的一般形式中 kba32 32，也可化为普通方程得 3x2y70，得 k322直线 y2x1 的参数方程是()Axt2，y2t21(t 为参数)Bx2t1，y4t1(t 为参数)Cxt1，y2t1(t 为参数)Dxsin，y2sin 1(t 为参数)【答案】C【解析】A中x0，D中x1,1，均不符合，B中化为普通方程为2xy30，不符3直线x12t，y23t(t 为参数)与直线 4xky1 垂直，则常数 k_【答案】6【解析】直线x12t，y23t(t 为参数)的普通方程为 3x2y
3、70，k132，直线 4xky1 的斜率 k24k，两条直线垂直，k1k21.k64已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是x1 22 t，y 22 t(t 为参数)，求直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长【解析】曲线 C 的极坐标方程是 4cos，化为直角坐标方程为 x2y24x0，即(x2)2y24，直线 l 的参数方程x1 22 t，y 22 t(t 为参数)，化为普通方程为 xy10，曲线 C 的圆心(2,0)到直线 l 的距离为 12 22，所以直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长
4、为 2412 14【例 1】设直线 l1 过点 A(2，4)，倾斜角为56(1)求 l1 的参数方程；(2)设直线 l2：xy10，l2 与 l1 的交点为 B，求点 B 与点A 的距离运用参数t的几何意义求两点间的距离【解题探究】第一个问题可直接将值代入直线参数方程的标准形式即可，第二个问题可不需求交点坐标，因为点A为方程中的已知点，只需求出点B所对应的参数t，|t|即为AB的距离【解析】(1)由直线参数方程得x2tcos56，y4tsin56，即x2 32 t，y412t(t 为参数)(2)将 l1 的参数方程代入 l2 的方程中，得2 32 t 412t10，312t7，t14317(3
5、1)，由 t 的几何意义可得|AB|t|7(31)利用参数的几何意义，解决与直线有关的距离问题比较常用，较为方便1直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为3且交直线 xy20于 M 点，则|MM0|_【答案】6(31)【解析】由题意可得直线 l 的参数方程为x112t，y5 32 t(t为参数)，代入直线方程 xy20，得 112t5 32 t 20，解得 t6(31)根据 t 的几何意义可知|MM0|6(31)【例 2】过点 P(3,0)且倾斜角为 30的直线和曲线xt1t，yt1t(t 为参数)相交于 A，B 两点求线段 AB 的长【解题探究】由已知条件可以写出直线的标准参数方程，并根据
6、参数的几何意义求解弦长运用参数t的几何意义求弦长【解析】直线的参数方程为x3tcos63 32 t，y0tsin612t(t 为参数)曲线xt1t，yt1t(t 为参数)化为普通方程为 x2y24.将直线的参数方程代入曲线的普通方程得3 32 t 212t 24，得 t26 3t100设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t26 3，t1t210，|AB|t1t2|t1t224t1t2108402 17(1)掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程及简单的应用，并熟练把它们的参数方程转化为普通方程(2)由于直线的参数方程为标准参数方程，若 A，B 为直线上任意两点，它们所对应的参数为 t1
7、，t2，则|AB|t1t2|，就可以直接通过求两点的参数之差求得弦长在解题时要注意应用参数的几何意义，还要化方程为标准方程2已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上且长轴长为 4，短轴长为 2，直线 l 的参数方程为xt，ym2t(t 为参数)当 m为何值时，直线 l 被椭圆截得的弦长为 6？【解析】由题易得椭圆方程为y24x21，化直线参数方程xt，ym2t(t 为参数)为x 55 t，ym2 55 t(t为参数)代入椭圆方程得m2 55 t 2455 t 248t24 5mt5m2200当 80m2160m264064080m20，即2 2m2 2，方程有两不等实根 t1，t2，则弦长为|t
8、1t2|t1t224t1t2 64080m28，依题意知 64080m28 6，解得 m4 55【例3】求以椭圆x24y216内一点A(1，1)为中点的弦所在直线的方程运用参数t的几何意义解中点弦问题【解题探究】利用若直线上任意两点所对应的参数为 t1，t2，则它们的中点所对应的参数值为t1t22.而中点为直线参数方程上的已知点，所以t1t220【解析】设以 A(1，1)为中点的弦所在的直线方程为x1tcos，y1tsin(t为参数)，把它代入x24y216得(1tcos)24(1tsin)216，即(cos24sin2)t22(cos 4sin)t110，弦以 A(1，1)为中点，设交点所对
9、应的参数为 t1 和 t2，则有t1t220t1t22cos 4sin cos24sin2 0cos 4sin 0.tan 14所求的直线方程为 y114(x1)，即 x4y50本题也可不利用参数方程，设直线的普通方程，利用根与系数的关系或点差法均可以解决问题3过点 M(3,2)作椭圆x2225y12161 的弦(1)求以 M 为中点的弦所在直线的方程；(2)如果弦的倾斜角不大于 90且点 M 到此弦的中点距离为1，求此弦所在直线的方程【解 析】(1)设 过 点M(3,2)的 直 线 参 数 方 程 为x3tcos，y2tsin(t 为参数，为倾斜角)将其代入椭圆方程整理得 t2(16cos2
10、25sin2)2t(16cos 25sin)3590M 为弦的中点，tMt1t220，16cos 25sin 0，得 tan 1625故此弦所在直线的方程为 16x25y980(2)点 M 到弦中点的距离为t1t22且 02，16cos 25sin 16cos225sin21，即 16cos 25sin 16cos225sin2cos cos2，sin sin2，等式成立的充要条件是 cos cos2 且 sin sin2，从而倾斜角 只能为 0和 90，故此时过点 M(3,2)的弦所在直线的方程分别为 y2 或 x31只有在标准形式中，参数 t 才有几何意义：设直线上任一点 M(x，y)对应的参数为 t，则|M0M|t|2设 A，B 为直线上任意两点，它们所对应的参数为 t1，t2，则|AB|t1t2|，线段AB的中点对应的参数值为t1t22.点击进入WORD链接
