1、十六双曲线的几何性质(15分钟30分)1双曲线2x2y28的实轴长是()A2 B2 C4 D4【解析】选C.将双曲线化成标准形式为1，得2a4.2(2020全国卷)设双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1PF2P.若PF1F2的面积为4，则a()A1 B2 C4 D8【解析】选A.设PF1m，PF2n，mn，SPF1F2mn4，mn2a，m2n24c2，e，所以a1.3双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且C经过点A(2，)，则双曲线C的方程为()Ax2y21 B1C1 D1【解析】选A.由双曲线C的一条渐近线方程为yx，则双曲线为
2、等轴双曲线，即ab，双曲线C：x2y2a2，将A(2，)代入双曲线方程，解得a1，所以双曲线的标准方程为x2y21.4设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1PF26a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为()A B C D【解析】选C.不妨设PF1PF2，则PF1PF22a.又PF1PF26a，解得PF14a，PF22a，则PF1F2是PF1F2的最小内角，为30，所以PFPFF2F2PF1F2F1cos 30，所以(2a)2(4a)2(2c)224a2c，化为e22e30，解得e.5(2021荆州高二检测)已知双曲线y21(a0)的左、右焦点分别为
3、F1，F2，离心率为2，P为双曲线右支上一点，且满足PFPF4，求PF1F2的周长【解析】由题意得2，得a，c，P为双曲线右支上一点，所以PF1PF22a因为PF12PF22(PF1PF2)(PF1PF2)4，所以PF1PF22，所以PF1F2的周长为PF1PF2F1F22.所以PF1F2的周长为.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx【解析】选C.已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，故有，所以，解得.故双曲线C的渐近线方程为yx.2已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线
4、与直线x0的夹角为60，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为()Ay21 B1C1 Dx21【解析】选A.双曲线的渐近线为yx，因为渐近线与直线x0的夹角为60，所以tan 30，因为以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为8，所以48，由，解得a23，b21.所以双曲线C的标准方程为y21.3(2021保定高二检测)已知双曲线C：1的右焦点为F，点N在C的渐近线上(异于原点)，若M点满足，且0，则MN()A2a Ba C4a D2a【解析】选C.不妨设双曲线C：1的一条渐近线为y2x，其斜率为2，所以b2a，F(a，0).因为M点满足，且0，所以F是
5、OM的中点，且ONMN，作FHON于H，如图所示：则点F到渐近线的距离为FH2a，所以MN4a.4(2021大庆高二检测)双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且0(O为坐标原点)，cos PF2F1，则双曲线C的离心率为()A2 B C D【解析】选D.如图，取PF1的中点为M，则.由0，得0，即因为OM为PF1F2的中位线，所以由cos PF2F1，设PF212，则F1F213，PF15，所以2aPF2PF17，2cF1F213，得双曲线C的离心率为.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5(2021济
6、南高二检测)已知动点P在双曲线C：x21上，双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，下列结论正确的是()AC的离心率为2BC的渐近线方程为yxC动点P到两条渐近线的距离之积为定值D当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为【解析】选AC.对于双曲线C：x21，a1，b，c2，所以双曲线C的离心率为e2，渐近线方程为yx，A选项正确，B选项错误；设点P的坐标为，则x1，双曲线C的两条渐近线方程分别为xy0和xy0，则点P到两条渐近线的距离之积为，C选项正确；当动点P在双曲线C的左支上时，PF1ca1，PF22aPF1PF12，当且仅当PF12时，等号成立，所以，的最大值为，D选项错误6(2021济宁
7、高二检测)设双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且2，则以下结论正确的是()AF1MF2120B双曲线C的离心率为C双曲线C的渐近线方程为yxD直线l的斜率为1【解析】选BC.如图，作F2DMN于点D，则cos F2MN22，所以，所以D是MN的中点，从而F2MF2N.根据双曲线定义，得MF2MF12a，NF1NF22a，所以NF1MF1MN4a，又以MN为直径的圆过F2，所以MF2NF2，MNF2NMF245，于是F1MF2135，A错；又MF2NF22a，NF1(22)a，由余弦定理F1F22NF
8、12NF222NF1NF2cos 45得4c2(2a)2(22)2a222a(22)a，化简得3，所以e，B正确；由3得2，即，所以渐近线方程为yx，C正确；由图易知NF1F2NMF245，所以kMNtan NF1F2b0)的离心率为，则双曲线1的渐近线方程为_.【解析】因为e，不妨设a4，c1，则b，所以对应双曲线的渐近线方程为yxx.答案：yx8.(2021六安高二检测)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：双曲线C的离心率为；双曲线C与椭圆C：1共焦点；双曲线右支上的一点P到F1，F2的距离之差是虚轴长的倍请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C的方程为
9、_.【解析】依题意，双曲线C：1，渐近线方程为yx，即bxay0，右焦点到渐近线的距离为3，故3，即b3；若选，双曲线C的离心率为，故；又b3，且a2b2c2，所以a4，c5，故双曲线C的方程为1；若选，椭圆C：1的焦点坐标为(5，0)，(5，0)，故c5；又a2b2c2，故a4，故双曲线C的方程为1；若选，依题意，设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，故PF1PF22b，故a4，故双曲线C的方程为1.答案：1四、解答题(每小题10分，共20分)9已知F1，F2分别是双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍(1)求双曲线的渐近线方程
10、；(2)当F1PF260时，PF1F2的面积为48，求此双曲线的方程【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为bxay0，则点F2到渐近线距离为b(其中c是双曲线的半焦距)，所以由题意知ca2b.又因为a2b2c2，解得ba，故所求双曲线的渐近线方程是4x3y0.(2)因为F1PF260，由余弦定理得PFPF2PF1PF2cos 60F1F，即PFPFPF1PF24c2.又由双曲线的定义得|PF1PF2|2a，平方得PFPF2PF1PF24a2，相减得PF1PF24c24a24b2.根据三角形的面积公式得SPF1PF2sin 604b2b248，得b248.再由(1)得a2b227，故所求双曲线方
11、程是1.10(2021绵阳高二检测)已知双曲线C：1(a0，b0)的上焦点为F.(1)若双曲线C是等轴双曲线，且c2，求双曲线的标准方程；(2)若经过原点且倾斜角为30的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，OAF是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程【解析】(1)由双曲线为等轴双曲线，则ab，又c2，则a2b2c24，所以a2b22，故双曲线的标准方程为1；(2)由题意得OAc，又OA的倾斜角为30，A则2a(1)c，ac，所以e1，又e21，则32，则渐近线方程为yx.【创新迁移】1(2021上饶高二检测)已知F1，F2是双曲线C：1的左右焦点，过F1的直线
12、与圆x2y2a2相切，切点为T，且交双曲线右支于点P，若2，则双曲线C的离心率为()A2 B C D【解析】选C.如图，连接OT，PF2，由F1P与圆x2y2a2相切于点T可得F1TO.因为F1Oc，OTa，故F1Tb，所以cos PF1F2.又PT2F1T2b，故F1P3b，所以PF23b2a.在PF1F2中，由余弦定理得24c29b222c3b，整理得2b3a，所以49a2，即，所以e.2已知F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围【解析】因为双曲线1(a0，b0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，所以PF1PF22a，PF12aPF2，所以4aPF28a，当且仅当PF2，即PF22a时取等号，所以PF12aPF24a，因为PF1PF22a2c，PF1PF26a2ce3，所以e(1，3).- 11 -
