1、课后素养落实(十七)双曲线的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等 B虚半轴相等C离心率相等 D焦距相等 D由于16(5k)(16k)5，所以焦距相等2若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，) B(，2)C(1，) D(1，2)C由题意得双曲线的离心率e即e21a1，01，112，1e故选C3已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为()A1 B1C1 D1A双曲线C的渐近线方程为0，又点P(2，1)在C的渐近线上，所以0，即a24b2，又a2b2c225，由，得b25，
2、a220，所以双曲线C的方程为1，故选A4过双曲线1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若PF1Q90，则双曲线的离心率是()A B1C2 D3B因为|PF2|F2F1|， P点满足1，y，2c，即2acb2c2a2，2e，又e0，故e15已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|()A B3 C2 D4B根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为F(2，0)，从而得到FON30，所以直线MN的倾斜角为60或120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60，可以得出直线MN的方程为y(x2)，分别与两
3、条渐近线yx和yx联立，求得M(3，) ，N，所以|MN|3二、填空题6若双曲线x21的离心率为，则实数m_，渐近线方程是_2yxa21，b2m，e21m3，m2渐近线方程是yxx7以yx为渐近线且经过点(2，0)的双曲线方程为_1以yx为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2y2(0)，代入点(2，0)得4，x2y24，即18已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_y21法一：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21法二：渐近线yx过点(4，2)，而2，点(4，)在渐近线yx的下方
4、，在yx的上方(如图)双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为1(a0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21三、解答题9求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)解(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c13，因为，所以a5，b12故所求双曲线的标准方程为1(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则因为点A(2，3)在双曲线上，所以1联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则A(2，3)在双曲线上，1由联立，解得a28
5、，b232所求双曲线的标准方程为1法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)，A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8所求双曲线的标准方程为110已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点是F(2，0)，离心率e2(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程解(1)由已知得c2，e2，所以a1，b所以所求双曲线方程为x21(2)设直线l的方程为yxm，点M(x1，y1)，N(x2，y2)联立整理得2x22mxm230(*)设MN的中点为(x0，y0)，则x0，y0x0m，所以
6、线段MN的垂直平分线的方程为y，即xy2m0，与坐标轴的交点分别为(0，2m)，(2m，0)，可得|2m|2m|4，得m22，m，此时(*)的判别式0，故直线l的方程为yx11(多选题)关于双曲线C1：4x29y236与双曲线C2：4x29y236的说法正确的是()A有相同的焦点 B有相同的焦距C有相同的离心率 D有相同的渐近线BD两方程均化为标准方程为1和1，这里均有c24913，所以有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为yx，故D正确C1的离心率e，C2的离心率e，故C错误12设双曲线1(ba0)的半焦距为c，且直线l过(a，0)和(0，
7、b)两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为()A B C D2D直线l的方程为1，即bxayab0，原点到直线l的距离dc，即abc2，所以a2(c2a2)c4整理得3e416e2160，解得e24或e2，又ba0，所以e212，故e24，e213已知椭圆1与双曲线y21的公共焦点为左焦点F1，右焦点F2，点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF1|_，cosF1PF2的值为_因为F1，F2分别为左、右焦点，点P在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得解得又|F1F2|4，所以由余弦定理得cosF1PF214已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l
8、与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是_2，)由题意，知，则3，所以c2a23a2，即c24a2，所以e24，所以e215已知椭圆C1：y21的左右顶点是双曲线C2：1的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线与C1相交于M1，M2两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且5，求|M1M2|的取值范围解(1)由椭圆C1：y21的左右顶点为(，0)，(，0)，可得a23，又椭圆C1的上顶点(0，1)到双曲线C2的渐近线bxay0的距离为，由点到直线的距离公式有可得b1，所以双曲线C2的方程为y21(2)易知直线l的斜率存在，设
9、直线l的方程为ykxm，代入y21，消去y并整理得(13k2)x26kmx3m230，要与C2相交于两点，则应有，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有x1x2，x1x2又x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2，又5，所以有(1k2)(3m23)6k2m2m2(13k2)5，整理得m219k2，将ykxm，代入y21，消去y并整理得：(13k2)x26kmx3m230，要有两交点，则36k2m24(13k2)(3m23)03k21m2，由得0k2设M1(x3，y3)，M2(x4，y4)，则有x3x4，x3x4所以|M1M2|，又m219k2，代入得|M1M2|12，令tk2，则t，令f(t)，故函数f(t)在t内单调递增，故f(t)，则有|M1M2|(0，
