1、等式与不等式A卷学考测评卷本试卷分第卷和第卷两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1方程x25x60的解集为( )A6，1B2，3C1，6 D2，3解析：选A方程x25x60可化为x25x60，即(x6)(x1)0，解得x6或x1，方程的解集为6，12不等式1 Bx|x2Cx|2x1或x2解析：选C原不等式等价于(x1)(x2)0，则原不等式的解集为x|2x13小明准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有40
2、0元设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )A30x60400 B30x60400C30x60400 D30x60400解析：选B设x个月后所存的钱数为y，则y30x60，由于存的钱数不少于400元，故不等式为30x60400.4不等式组的解集为( )A(0，) B(，2)C(，4) D(2，4)解析：选C由|x2|2，得0x3，得x或x0，b0，且2ab2，则ab的最大值为( )A. B.C1 D.解析：选Aa0，b0，且2ab2，则ab(2ab)，当且仅当2ab且2ab2，即a，b1时“”成立，此时取得最大值.故选A.7方程组的实数解的个数是( )A4 B2
3、C1 D0解析：选B由得y2x，原方程组可以转化为解得或无解故方程组的实数解的个数是2.8若不等式ax2ax40的解集为R，则实数a的取值范围是( )A16a16C16a0 Da0解析：选C设yax2ax4，xR，则由题意可知y0恒成立当a0时，y40满足题意；当a0时，需满足即解得16a0.故16a0.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9如果a，b，c满足cba，且acac Bc(ba)0Ccb2ab2 Dac(ac)0解析：选ABD由cba且ac0，c0，而b的取值
4、不确定，当b0时，C不成立根据不等式的性质可知A、B、D均正确10下列四个命题中，是真命题的是()AxR，且x0，x2BxR，使得x212xC若x0，y0，则 D若x，则的最小值为1解析：选BCD对于A，xR，且x0，x2对x0，y0，则(x2y2)(xy)22xy4xy8x2y2，化为 ，当且仅当xy0时取等号，正确；对于D，y，因为x，所以x20.所以21，当且仅当x2，即x3时取等号故y的最小值为1.11设正实数a，b满足ab1，则()A.有最小值4 B.有最大值C.有最大值 Da2b2有最小值解析：选ABCD正实数a，b满足ab1，即有ab2，可得0ab，即有4，即有ab时，取得最小值
5、4，无最大值；由0，可得有最大值；由 ，可得ab时，取得最大值；由a2b22ab可得2(a2b2)(ab)21；则a2b2，当ab时，a2b2取得最小值，综上可得A、B、C、D均正确12已知关于x的方程x2(m3)xm0，下列结论正确的是()A方程x2(m3)xm0有实数根的充要条件是mm|m9B方程x2(m3)xm0有一正一负根的充要条件是mm|m0C方程x2(m3)xm0有两正实数根的充要条件是mm|01解析：选BCD在A中，由(m3)24m0得m1或m9，故A错误；在B中，当x0时，函数yx2(m3)xm的值为m，由二次函数的图像知，方程有一正一负根的充要条件是mm|m0，故B正确；在C
6、中，由题意得解得0m1，故C正确；在D中，由(m3)24m0得1m9，又m|1m1，故D正确第卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13若yx2mx1有正值，则m的取值范围是_解析：因为yx2mx1有正值，所以m240，所以m2或m2.答案：(，2)(2，)14已知12a60，15b36，则ab的取值范围为_，的取值范围为_解析：由15b36得36b15.又因为12a60，所以24ab45.由15b36得.又因为12a60，所以4.答案：(24，45)15二次函数yax2bxc(a0)的图像如图所示，则不等式0.不等式0等价于(axb)(
7、cxa)0，即(x3)(2x1)0，所以x3.答案：16若正数a，b满足ab1，则的最小值为_解析：由ab1，知，又ab.9ab10，.答案：四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)求下列方程组的解集：(1)(2)解：(1)由得y2x，将代入得x2(2x)230，解得x1或x1.当x1时，y2；当x1时，y2.方程组的解集是(x，y)|(1，2)，(1，2)(2)根据一元二次方程的根与系数的关系，把x，y看成是方程z211z280的两根，解方程得z4或z7.方程组的解集是(x，y)|(4，7)，(7，4)18(本小题满分12分
8、)当p，q都为正数且pq1时，试比较代数式(pxqy)2与px2qy2的大小解：(pxqy)2(px2qy2)p(p1)x2q(q1)y22pqxy.因为pq1，所以p1q，q1p，所以(pxqy)2(px2qy2)pq(x2y22xy)pq(xy)2.因为p，q都为正数，所以pq(xy)20，因此(pxqy)2px2qy2，当且仅当xy时等号成立19(本小题满分12分)解关于x的不等式56x2axa20.解：原不等式可化为(7xa)(8xa)0，即0.当0时，原不等式的解集为x，即a0时，原不等式的解集为x0，b0.(1)求证：ab；(2)利用(1)的结论，试求(0x0，b0，ab2a2b，
9、当且仅当ab时等号成立，ab(当且仅当ab时等号成立)(2)0x1，01x0，Bx|x1，则A(UB)()Ax|0x1Bx|0x1Cx|x1解析：选B全集UR，Ax|x0，Bx|x1，UBx|x1，A(UB)x|0x1，故选B.2四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：选A若四边形ABCD为菱形，则ACBD；反之，若ACBD，则四边形ABCD不一定是菱形故“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件3下列四个命题中的真命题为()AxZ，14x0解析：选D选项A中，x
10、且xZ，不成立；选项B中，x，与xZ矛盾；选项C中，x1，与xR矛盾；选项D中，由1870的解集为()A(，0) B.C. D.解析：选A当x0时，原不等式即为x(12x)0，所以0x；当x0，所以x0，综上，原不等式的解集为(，0).5已知2a10的解集是()Ax|xa Bx|x5a，或xaCx|ax5a Dx|5axa解析：选A方程x24ax5a20的两根为a，5a.因为2a10，所以a5a.结合二次函数yx24ax5a2的图像，得原不等式的解集为x|xa，故选A.6若4x1，则()A有最小值1 B有最大值1C有最小值1 D有最大值1解析：选D，又4x1，x10.1.当且仅当x1，即x0时
11、等号成立7不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4) B(，1)C(1，4) D(1，5)解析：选A当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4.当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立综上，原不等式的解集为(，4)，故选A.8设p：x1；q：(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选Bq：axa1，p是q的充分不必要条件，或解得0a.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选
12、对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9设a，b是正实数，下列不等式中正确的是()A.Ba|ab|bCa2b24ab3b2Dab2解析：选BD对于A，1，当ab0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B，ab|ab|a|ab|b，故B中不等式正确；对于C，a2b24ab3b2a24b24ab0(a2b)20，当a2b时，不等式不成立，故C中不等式错误；对于D，ab22，故D中不等式正确，故选B、D.10下列结论中正确的有()A若a，b为正实数，ab，则a3b3a2bab2B若a，b，m为正实数，ab，则，则abD当x0时，x的最小值为2解析：选ACD对于A，a，b为正实数，ab，a
13、3b3(a2bab2)(ab)2(ab)0，a3b3a2bab2正确；对于B，若a，b，m为正实数，a0，则，故B错误；对于C，若，则ab，故C正确；对于D，当x0时，x的最小值为2，当且仅当x时取等号，故D正确故选A、C、D.11已知不等式ax2bxc0的解集为，则下列结论正确的是()Aa0 Bb0Cc0 Dabc0解析：选BCD因为不等式ax2bxc0的解集为，故相应的二次函数f(x)ax2bxc的图像开口向下，所以a0，故A错误；易知2和是方程ax2bxc0的两个根，则有10，又a0，c0，故B、C正确；由二次函数的图像(图略)可知f(1)abc0，故D正确故选B、C、D.12已知关于x
14、的不等式ax23x4b，下列结论正确的是()A当ab1时 ，不等式ax23x4b的解集为B当a1，b4时，不等式ax23x4b的解集为x|0x4C当a2时，不等式ax23x4b的解集可以为x|cxd的形式D不等式ax23x4b的解集恰好为x|axb，那么b解析：选AB由x23x4b得3x212x164b0，又b1，所以48(b1)0.从而不等式ax23x4b的解集为，故A正确当a1时，不等式ax23x4就是x24x40，解集为R，当b4时，不等式x23x4b就是x24x0，解集为x|0x4，故B正确在同一平面直角坐标系中作出函数yx23x4(x2)21的图像及直线ya和yb，如图所示由图知，当
15、a2时，不等式ax23x4b的解集为x|xAxxCx|xDxxB的形式，故C错误由ax23x4b的解集为x|axb，知aymin，即a1，因此当xa，xb时函数值都是b.由当xb时函数值是b，得b23b4b，解得b或b4.当b时，由a23a4b，解得a或a，不满足a1，不符合题意，故D错误第卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13方程组的解集为_解析：因由得y3x代入得x6x160，得x1，y.答案：14已知m，n是关于x的一元二次方程x23xa0的两个根，若(m1)(n1)6，则a的值为_解析：m，n是一元二次方程x23xa0的两个根
16、，mn3，mna，(m1)(n1)6，mn(mn)16，a316，解得a4.答案：415若x0，使得xa0，则实数a的取值范围是_解析：x0，使得xa0，等价于a大于等于x的最小值，x2 2(当且仅当x1时等号成立)，故a2.答案：a216某商场的某种商品的年进货量为10 000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且每次进货的运费为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，则每次进货量为_件时，一年的运费和租金之和最少为_元解析：设每次进货x件，一年的运费和租金之和为y元，由题意，y1002x22 000，当且仅当x1 000时取等号答案：1
17、0002 000四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)解下列不等式(组)：(1)(2)62xx23x18.解：(1)原不等式组可化为即0x1，所以原不等式组的解集为x|0x1(2)原不等式等价于即因式分解，得所以所以3x2或3x6.所以原不等式的解集为x|3x2，或3x0的解集为(，3)(1，)，求实数ab的值；(2)设a2，若不等式bf(x)b23对任意实数x都成立，求实数b的取值范围解：(1)因为不等式f(x)x2axba0的解集为(，3)(1，)，所以3，1为函数x2axba0的两个根，所以解得a2，b1，所以ab1.
18、(2)当a2时，原不等式可化为bx22bx2b30对任意实数x都成立，当b0时，30恒成立；当b0时，bx22bx2b30恒成立，则需解得0b，那么称点(a，b)是点(c，d)的“上位点”同时点(c，d)是点(a，b)的“下位点”(1)试写出点(3，5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)已知点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，判断点P(ac，bd)是否既是点(c，d)的“上位点”，又是点(a，b)的“下位点”，并证明你的结论解：(1)根据题设中的定义可得点(3，5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为(3，4)和(3，7)(2)点P(ac，bd)既是点(c，d)的“上位点”，又是点(a，b)的“下位点”证明如下：因为点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，所以.因为a，b，c，d均大于0，所以adbc，所以adbc0.所以0，即，所以点P(ac，bd)是点(c，d)的“上位点”，同理可得，所以点P(ac，bd)是点(a，b)的“下位点”，所以点P(ac，bd)既是点(c，d)的“上位点”，又是点(a，b)的“下位点”15
