1、第4课时数系的扩充与复数的引入1理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代数表示法及其几何意义4会进行复数代数形式的四则运算5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义对应学生用书P75【梳理自测】一、复数的概念与运算1(教材改编)复数(i是虚数单位)的实部是()A.BCi D2(课本精选)已知3i，则复数z的实部为()A4 B4C2 D23(教材改编)复数z，其中i为虚数单位，则|z|等于()A1 B.C2 D54(教材改编)若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为_答案：1.D2.A3.B4.2以上题目主要考查了以下内容：(1)复数的概念形如abi(a，bR)的数叫
2、复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0，b0，则abi为纯虚数复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)复数的模向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|(2)复数的四则运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：二、复数的几何意义在复平面内，复数对应的
3、点的坐标为_答案：(1，1)此题主要考查了以下内容：复数zabi一一对应复平面内的点Z(a，b)一一对应平面向量【指点迷津】1一种转化复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质2两个轴实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数对应学生用书P76考向一复数的有关概念(1)(2013高考全国新课标卷)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4BC4 D.(2)(2013高考安徽卷)设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1C1 D3【
4、审题视点】把条件化简，将所求复数写成abi，再求解相应问题【典例精讲】(1)(34i)z|43i|，zi，z的虚部为.(2)因为aaa(a3)i，由纯虚数的定义，知a30，所以a3.【答案】(1)D(2)D【类题通法】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理由于复数zabi(a，bR)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数还可用点Z(a，b)来表示1(2012高考陕西卷)设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.复数aabi为纯虚数，则
5、a0，b0；而ab0表示a0或者b0，故“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件，所以选B.考向二复数的代数运算(1)(2014重庆质检)复数()Ai BiC.i D.i(2)(2014山西四校联考)设复数z的共轭复数为z，若z1i(i为虚数单位)，则z2的值为()A3i B2iCi Di【审题视点】(1)先利用i的性质，再进行除法运算(2)先计算和z2，再进行加法【典例精讲】(1)i.(2)z1i，iz2(1i)22izi2ii.【答案】(1)C(2)D【类题通法】(1)复数的代数运算技巧复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类，不含i的看作另一类，分别合并即
6、可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧(2)一般先乘方、再乘除、最后为加减，有括号者可先算括号里面的(3)几个常用结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1i)22i；i；i；(2)baii(abi)；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i；i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.2(1)(2014石家庄质检)复数z，则z()Ai BiC1i D1i解析：选D.z1i，z1i.(2)(2014河南三市调研)已知i为虚数单位，复数z，则|z|()Ai B1iC1i Di解析：选B.由已知得zi，|z|i|1i，选
7、B.考向三复数的几何意义(2014豫东、豫北十校联考)设a是实数，若复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线xy0上，则实数a的值是()A1B0C1 D2【审题视点】把复数化简为abi，找出对应点的坐标(a，b)【典例精讲】依题意得，i，其在复平面内对应的点的坐标是，于是有0，解得a0，选B.【答案】B【类题通法】除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意(1)|z|z0|a(a0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；(2)|zz0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离3(2014湖北省八校联考)已知i是虚数单位，z1i，z为z的共轭复数，则复数在复平面上对应的点的坐
8、标为_解析：z1i，则1i，则复数在复平面上对应的点的坐标为(1，1)答案：(1，1)对应学生用书P77 复数代数运算的转化方法(2013高考广东卷)若i(xyi)34i，x，yR，则复数xyi的模是()A2B3C4 D5【方法分析】弄清题目条件、解题目标题目条件：已知复数相等，其中含有x，yR.解题目标：计算|xyi|.关系转化：()根据复数相等，视xyi为一个数，直接求xyi，再化简()根据模的性质直接求()利用复数相等分别求x，y，再求模【解题过程】方法一：因为i(xyi)34i，所以xyi43i，故|xyi|43i|5，故选D.方法二：因为i(xyi)34i，所以(i)i(xyi)(i
9、)(34i)43i，即xyi43i，故|xyi|43i|5，故选D.方法三：i(xyi)34i|i(xyi)|34i|i|xyi|5，|xyi|5.方法四：因为i(xyi)34i，所以yxi34i，所以x4，y3，故|xyi|43i|5，故选D.【答案】D【回归反思】(1)求解复数问题，就是利用复数相等转化为实数问题，其中方法一、二、三用了整体思想，即xyi是一个数 (2)方法三是技巧，利用了模的性质：|z1z2|z1|z2|，|.1(2012高考课标全国卷)下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2, p2：z22i，p3：z的共轭复数为1i, p4：z的虚部为1.其中的真命题为()Ap2，
10、p3 Bp1，p2Cp2，p4 D p3，p4解析：选C.|z|，z22i，z1i，z1i.2(2013高考四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AA BBCC DD解析：选B.根据复数的几何表示可求得设zabi(a，bR)，且a0，b0，则z的共轭复数为abi，其中a0，b0，故应为B点3(2013高考陕西卷)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则12B若z12，则1z2C若|z1|z2|，则z11z22D若|z1|z2|，则zz解析：选D.结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解A，|z1z2|0z1z20z1z212，真命题；B，z1212z2，真命题；C，|z1|z2|z1|2|z2|2z11z22，真命题；D，当|z1|z2|时，可取z11，z2i，显然z1，z1，即zz，假命题4(2013高考天津卷)已知a，bR，i是虚数单位若(ai)(1i)bi，则abi_解析：由复数相等的定义求得a，b的值，即得复数由(ai)(1i)bi可得(a1)(a1)ibi，因此a10，a1b，解得a1，b2，故abi12i.答案：12i
