1、专题综合练五 (13.2)(45分钟90分)一、选择题(每题5分，共40分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1用一个平面去截圆锥，则截面不可能是()A椭圆 B圆 C三角形 D矩形【解析】选D.用一个不平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面为椭圆；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面为圆；用一个过圆锥的轴的平面截圆锥，截面为等腰三角形由排除法可知，截面不可能是矩形2如图，正三棱锥ABCD中，BAD30，侧棱AB2，BD平行于过点C的截面CB1D1.则截面CB1D1与正三棱锥ABCD侧面交线的周长的最小值为()A.2 B2 C4 D2【解析】选D.由题意知，沿正三棱锥ABCD
2、的侧棱AC剪开所得侧面展开图是三个顶角为30的等腰三角形，腰长为2，如图，根据两点之间线段最短可知，截面CB1D1与正三棱锥ABCD侧面交线的周长的最小值为等腰直角三角形ACC1的斜边长，即为2.3用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为，则原图形面积为()A4 B2 C2 D1【解析】选A.因为用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为，而原图形面积是直观图面积的2倍，所以原图形面积为24.4正三棱锥底面边长变为原来的2倍，高变为原来的，则体积()A不变 B变为原来的2倍 C变为原来的 D变为原来的【解析】选B.设正三棱锥底面面积为S，高为h，则原来的体积为VSh，新的体积为VSh，即体积
3、变为原来的2倍5. m，n为空间中两条不重合直线，为空间中一平面，则下列说法正确的是()A若mn，n ，则mB若m，mn，则nC若m，n ，则mnD若m，mn ，则n【解析】选B.A.因为mn，n，所以当m时，m不满足，故错误；B根据“垂直于同一平面的不同直线互相平行”可知B正确；C因为m，n，所以m，n也可能是异面直线，故错误；D因为m，mn，所以n时也满足，故错误6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1EEFFGGC1.则下列直线与平面A1BD平行的是()A.CE BCF CCG DCC1【解析】选B.如图，连接AC，使AC交BD于点O，连
4、接A1O，CF，在正方体ABCDA1B1C1D1中，由于A1FAC，A1FAC，又OCAC，可得A1FOC，A1FOC，即四边形A1OCF为平行四边形，所以A1OCF，又A1O平面A1BD，CF平面A1BD，可得CF平面A1BD.7(多选)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB1，D是AC的中点，O为A1C的中点点P是BC1上的动点，则下列说法正确的是()A.当点P运动到BC1中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值为B无论点P在BC1上怎么运动，都有A1POB1C当点P运动到BC1中点时，才有A1P与OB1相交于一点，记为Q，且D无论点P在BC1上怎么运动，直线
5、A1P与AB所成角都不可能是30【解析】选ABD.直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB1，选项A中，当点P运动到BC1中点时，取E为B1C1的中点，连接A1E，EP，如图所示，即有EP面A1B1C1，所以直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值：tan PA1E因为EPBB1，A1EBB1，所以tan PA1E，故A正确选项B中，连接B1C，与BC1交于E，并连接A1B，如图所示，由题意知，B1BCC1为正方形，即有B1CBC1，而ABBC且ABCA1B1C1为直三棱柱，有A1B1面B1BCC1，BC1面B1BCC1，所以A1B1BC1，又A1B1B1CB1，所以BC1面A
6、1B1C，又OB1面A1B1C，故BC1OB1，同理可证：A1BOB1，又A1BBC1B，所以OB1面A1BC1，又A1P面A1BC1，即有A1POB1，故B正确选项C中，点P运动到BC1中点时，即在A1B1C中，A1P，OB1均为中线所以Q为中线的交点，所以根据中线的性质有：，故C错误选项D中，由于A1B1AB，直线A1P与AB所成角即为A1B1与A1P所成角：B1A1P，结合图分析知：点P在BC1上运动，当P在B或C1上时，B1A1P最大为45，当P在BC1中点时，B1A1P最小，为arc tan arc tan 30，所以B1A1P不可能是30，故D正确8(多选)平行四边形ABCD中，A
7、BAD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形ABD，则下列直线中有可能与直线AB垂直的是()A直线BC B直线CDC直线BD D直线AC【解析】选AB.对于A，若BCBD，当平面ABD平面BCD时，BC平面ABD，则此时BCAB，故A正确；对于B，若ABD45，则在翻折过程中，ABA会超过90，故存在ABA90，因为ABCD，故直线CD与直线AB有可能垂直，故B正确；对于C，在ABD中，因为ABAD，所以ABD为锐角，即ABD为锐角，所以直线BD与直线AB不可能垂直，故C错误；对于D，因为ABAD，所以在ABC中，ABBC，所以BAC始终为锐角，故直线AC不可能与直线AB垂直，故D错误二、填空题
8、(每小题5分，共20分)9ABC为边长为2的正三角形，则其水平放置，斜二测画法的直观图的面积为_其直观图的周长为_【解析】如图所示，ABC为边长为2的正三角形，则其水平放置的直观图ABC的面积为SABCBCOAsin 452(2sin 60)sin 45；其直观图ABC的周长LABBCCA2()2()2.答案：210如图，在四面体ABCD中， ABCD，M，N，P，Q分别是BC，AD，AC，BD的中点，则MN和PQ所成角为_，若AB与CD所成角为30，则MN和CD所成角为_【解析】连接MP，PN，NQ，MQ，因为M，N，P，Q分别是BC，AD，AC，BD的中点，所以MQ綊CD，PN綊CD，所以
9、MQ綊PN，所以四边形MPNQ是平行四边形，因为MPAB，ABCD，所以MPCD，所以MPMQ，故四边形MPNQ是菱形，所以MNPQ，故MN和PQ所成角为90；因为MPAB，MQCD，所以PMQ即为AB与CD所成角(或其补角)，所以PMQ30或150，而NMQ为MN和CD所成角，则NMQ15或75，即MN和CD所成角为15或75.答案：9015或7511如图，正方形BCDE的边长为a，已知ABBC，将ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：AB与DE所成角的正切值是；ABCE；VBACEa3；平面ABC平面ADC.其中正确的有_(填写你认为正确
10、的序号)【解析】作出折叠后的几何体直观图如图所示，由题意ABa，BEa，所以AEa，所以ADa，所以ACa，因为BCDE，所以ABC是异面直线AB与DE所成的角，在RtABC中， tan ABC，故正确；连接BD，CE，则CEBD，又AD平面BCDE，CE平面BCDE，所以CEAD，又BDADD，BD平面ABD，AD平面ABD，所以CE平面ABD，又AB平面ABD，所以CEAB.故错误； 三棱锥BACE的体积VBACEVABCESBCEADa2aa3，故正确； 因为AD平面BCDE，BC平面BCDE，所以BCAD，又BCCD，CDADD，CD平面ADC，AD平面ADC，所以BC平面ADC，因为
11、BC平面ABC，所以平面ABC平面ADC，故正确答案：12在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为棱AD1，B1C上的动点，且满足APB1Q，则下列命题中，所有正确命题的序号为_当点P异于点A时，直线PB1与直线AQ一定异面；BPQ的面积为定值；P，Q运动过程中，均有BCPQ；P，Q运动过程中，线段PQ在面BB1C1C内射影所形成的区域面积是四边形BB1C1C面积的一半【解析】对，如图1所示，当PA0时，假设直线PB1与直线AQ是共面直线，则AP与B1Q共面，与题意矛盾，所以直线PB1与直线AQ一定异面，故正确；对，当点P在A处时，点Q与B1重合，如图2所示，设正方体棱长为1，SBPQ
12、11.当点P在AD1中点时，此时点Q在B1C的中点，如图3所示，设正方体棱长为1，SBPQ1，故BPQ的面积不是定值，故错误；对，过点P作PHAD于H，过Q作QKBC于K，连接HK，如图4所示，因为PHDD1，QKBB1，APB1Q，AD1B1C，ADBC，所以，即AHBK.所以四边形ABKH为矩形，即BCHK，又因为BCQK，QKHKK，所以BC平面PHKQ.PQ平面PHKQ，所以BCPQ，故正确；对，P点在平面BCC1B1内的射影点的轨迹为线段BC1，设BC1B1CO，如图5所示，线段PQ在平面BB1C1C内射影所形成的区域为B1OB和C1OC，SB1OBSC1OCS四边形BB1C1C，故
13、正确答案：三、解答题(每小题10分，共30分)13如图，在三棱锥PABC中，PAPBAB2，BC3，ABC90，平面PAB平面BAC，D，E分别为AB，AC的中点(1)求证：ABPE；(2)求二面角APBE的大小【解析】(1)连接PD(图略)，因为PAPB，D为AB的中点，所以PDAB.因为DEBC，BCAB，所以DEAB.又因为PDDED，所以AB平面PDE，因为PE平面PDE，所以ABPE.(2)因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PDAB，所以PD平面ABC.则DEPD，又EDAB，PDABD，所以DE平面PAB，过D作DF垂直PB于F，连接EF(图略)，则EFPB，DF
14、E为所求二面角的平面角，则DE，DF，则tan DFE，故二面角APBE的大小为60.14如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BCAD，ABD90，四边形ADMN为矩形，点G，H分别是线段MN，CD的中点，点I在线段AD上(1)探究：是否存在点I，使得平面GHI平面ACN？并证明；(2)若DMBCAD4，线段MN在平面ABCD内的投影与线段AD重合，求多面体BCADMN的体积【解析】(1)当点I为线段AD的中点时，平面GHI平面ACN.证明过程如下：在矩形ADMN中，因为I，G分别是线段AD，MN的中点，所以IGAN，又IG平面ACN，AN平面ACN，故IG平面ACN.在ACD中，因为I，H分
15、别为AD，CD的中点，所以IHAC，又IH平面ACN，AC平面ACN，所以IH平面ACN.因为IGIHI，IH，IGGHI，所以平面GHI平面ACN；(2)如图，过点C作CEAD于点E，因为线段MN在平面ABCD内的投影与线段AD重合，故平面ADMN平面ABCD，而平面ADMN平面ABCDAD，CE平面ABCD，故CE平面ADMN，同理，DM平面ABCD.在(1)的条件下，连接IB，IC，在ABD中，因为ABBD，AD8，所以IBAD4，同理可得IC4.又因为BC4，故等边三角形IBC的高为2，即CE2.连接BM.故VBCADMNVBADMNVBCDMVBADMNVMBCDSADMNCESBC
16、DDM482424.15已知菱形ABCD的边长为2，ABC60，对角线AC，BD交于点O，平面外一点P在平面ABCD内的射影为O，PB与平面ABCD所成角为30.(1)求证：BDPA；(2)点N在线段PB上，且VNPCD，求的值. 【解析】(1)由题意PO面ABCD，所以POBD, 菱形ABCD中，ACBD，又POACO，则BD面PAC，因为PA平面PAC，所以BDPA; (2)因为PO面ABCD，所以PB与平面ABCD所成角为PBO30， 又菱形边长为2，ABC60，所以BO，PO1，PB2，CO1，PC. 所以cos BPC，sin BPC.设|PN|PB|2，点D到平面PCB的距离为d，由VDPBCVPDBC得SBCDPOSPBCd，即22sin 12012d，解得d，所以D到平面PNC的距离也为.所以VNPCDVDPCN2.所以.
