1、2021年安徽省六安一中高考数学适应性试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知复数z满足z（2+i）34i（i为虚数单位），则|z|（）ABCD52已知命题p：若0，则sin；命题q函数f（x）2xx2有两个零点，则下列说法正确的是（）pq为真命题；pq为真命题；pq为真命题；pq为真命题ABCD3雷锋精神是我国宝贵的精神财富.2020年3月份，某班从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加校团委组织“扶贫帮困”志愿活动，则甲被选中的概率为（）ABCD4的展开式中x3的系数为（）ABC64D1285设直线l与双曲线1（a，b0）相交于A、B两点，M是线段AB的中点，若l与
2、OM（O是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为（）A2BC3D6为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（mg/L）与时间t（h）的关系为PP0ekt，如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（）A7小时B10小时C15小时D18小时7关于直线m，n与平面，有以下四个命题：若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；其中真命题的序号是（）ABCD8函数的图象如图所示，为了得到ysinx的图象，只需把yf（x）的图象上所有
3、点（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个长度单位D向左平移个长度单位9下列对不等关系的判断，正确的是（）A若，则a3b3B若，则2a2bC若lna2lnb2，则2|a|2|b|D若tanatanb，则ab10在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，连接AC，MN交于点P，已知且，若，则实数的值为（）ABCD11已知点A（，0），B（，0），C（1，0），D（1，0），P（x，y），如果直线PA，PB的斜率之积为，记PCD，PDC，则（）AB2CD12若不等式xm（ex+x）emx+mxm（xlnx）恒成立，则实数m的取值范围是（）A，+）B1，+）C，+）De1
4、，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.请将答案填写在答题卷相应位置上.13 14已知数列an的前n项和公式Snn22n+1，则其通项公式an 15已知矩形ABCD，AB1，E为AD中点，现分别沿BE、CE将三角形ABE和三角形DCE翻折，使A、D点重合，记为P点，则几何体PBCE外接球的表面积为 16函数f（x）是定义域为R的奇函数，满足，且当x0，）时，给出下列四个结论：f（）0；是函数f（x）的周期；函数f（x）在区间（1，1）上单调递增；函数g（x）f（x）sin1（x10，10）所有零点之和为3其中，正确结论的序号是 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字
5、说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA2ccosA（1）求角A；（2）若向量，求的取值范围18如图，在四棱锥PABCD中，平面PBC平面ABCD，PBC90，ADBC，ABC90，2AB2ADCDBC2（1）求证：CD平面PBD；（2）若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为，求二面角BPCD的正切值19为落实关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见，完善学校体育“健康知识+基本运动技能+专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛校级联赛选拔性竞赛国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（
6、市）、省、国家五级学校体育竞赛制度某校开展“阳光体育节活动，其中传统项目定点踢足球”深受同学们喜爱其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的数学期望；（2）用Pi表示经过第i轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率，求P2，P320已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为yF为抛物线C的焦点，点P为直线yx+2上任意一点，以
7、P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于点D，E（1）求抛物线C的方程；（2）证明：直线DE过定点，并求出定点的坐标21已知函数f（x）xlnxax2+x（aR）（1）证明：曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线l恒过定点；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x22x1，证明：x1x2注意：以下请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）写出直线l的普通方程与曲
8、线C的直角坐标方程；（2）已知与直线l平行的直线l过点M（2，0），且与曲线C交于A，B两点，试求|MA|MB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+a|，g（x）|xb|（1）若a1，b3，解不等式f（x）+g（x）4；（2）当a0，b0时，f（x）2g（x）的最大值是3，证明：a2+4b2参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知复数z满足z（2+i）34i（i为虚数单位），则|z|（）ABCD5解：由z（2+i）34i，得z，|z|故选：B2已知命题p：若0，则sin；命题q函数f（x）2xx2有两个零点，则下列说法正确的是（）pq为真命题；pq为真命题
9、；pq为真命题；pq为真命题ABCD解：根据题意，对于命题p，设f（x）sinxx，其导数f（x）cosx10，即f（x）在R上为减函数，则在区间（0，+）上，有f（x）f（0）0，即sinxx，故若0，则sin，p为真命题；对于q，函数f（x）2xx2有三个零点，一个在区间（1，0）上，另外两个是x2和x4，q为假命题；依次分析四是说法：pq为假命题，错误；pq为真命题，正确；pq为真命题，正确；pq为假命题，错误；其正确的说法是；故选：C3雷锋精神是我国宝贵的精神财富.2020年3月份，某班从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加校团委组织“扶贫帮困”志愿活动，则甲被选中的概率为（）ABCD解
10、：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，共有种情况，甲被选中共有种情况，所以甲被选中的概率，故选：B4的展开式中x3的系数为（）ABC64D128解：的展开式的通项公式，令63r3，则r1，故的展开式中x3的系数为 （）25128故选：D5设直线l与双曲线1（a，b0）相交于A、B两点，M是线段AB的中点，若l与OM（O是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为（）A2BC3D解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M是线段AB的中点，M（），把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入双曲线C：，得，b2（x1+x2）（x1x2）a2（y1+y2）（y1y2）0，直线l的斜率，M（），O
11、（0，0），OM的斜率，l与OM的斜率的乘积等于1，1，ab，此双曲线的离心率e故选：B6为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（mg/L）与时间t（h）的关系为PP0ekt，如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（）A7小时B10小时C15小时D18小时解：在前5个小时消除了10%的污染物，P（10.1）P0，k，PP0，设污染物减少19%需要花的时间为t，则（10.19）P00.81P00.92P0P0P0（eln0.9），t10，故选：B7关于直线m，n与
12、平面，有以下四个命题：若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；其中真命题的序号是（）ABCD解：若m，n且，则m，n可能平行也可能异面，也可以相交，故错误；若m，n且，则m，n一定垂直，故正确；若m，n且，则m，n一定垂直，故正确；若m，n且，则m，n可能相交、平行也可能异面，故错误故选：D8函数的图象如图所示，为了得到ysinx的图象，只需把yf（x）的图象上所有点（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个长度单位D向左平移个长度单位解：根据函数f（x）cos（x+）（0，|）的图象，可得，2再根据五点法作图，可得2+，故f（x）cos（
13、2x），f（x）cos（2x）cos2x（）sin（2x+）sin2（x+），为了得到ysin2x的图象，只需把yf（x）的图象上所有点向右平移个单位长度故选：A9下列对不等关系的判断，正确的是（）A若，则a3b3B若，则2a2bC若lna2lnb2，则2|a|2|b|D若tanatanb，则ab解：时，得不出a3b3，比如a1，b1，A错误；得出，0|a|b|，得不出2a2b，比如，a3，b4，B错误；由lna2lnb2得，|a|b|0，2|a|2|b|，C正确；tanatanb得不出ab，比如，D错误故选：C10在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，连接AC，MN交于点P，
14、已知且，若，则实数的值为（）ABCD解：AC，MN交于点P，M，N，P三点共线，设x+（1x），且，x+（1x），即x+3（1x），+，x1且3（1x）1，得x，故选：B11已知点A（，0），B（，0），C（1，0），D（1，0），P（x，y），如果直线PA，PB的斜率之积为，记PCD，PDC，则（）AB2CD解：因为直线PA，PB的斜率之积为，所以，整理得，（x），则C（1，0），D（1，0）为椭圆的焦点，所以故选：C12若不等式xm（ex+x）emx+mxm（xlnx）恒成立，则实数m的取值范围是（）A，+）B1，+）C，+）De1，+）解：不等式xm（ex+x）emx+mxm（xlnx）
15、恒成立ex+x+m（xlnx）em（xlnx）+m（xlnx），令f（x）ex+x，则原不等式等价于f（x）f（m（xlnx）恒成立f（x）ex+x在（0，+）上单调递增，xm（xlnx），令g（x）xlnx，则g（x）1，可得：x1时函数g（x）取得极小值，即最小值g（x）g（1）10xm（xlnx）m，令h（x），x（0，+）h（x）h（e）0，x（0，e）时，h（x）0，h（x）在（0，e）上单调递增；x（e，+）时，h（x）0，h（x）在（e，+）上单调递减h（x）maxh（e）实数m的取值范围是，+）故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.请将答案填写在答题卷相应位置
16、上.13+1解：根据题意，dxlnxlneln11，dx（22），则+1；故答案为：+114已知数列an的前n项和公式Snn22n+1，则其通项公式an解：Snn22n+1，当n1时，S112+10，a10，当n2时，anSnSn1n22n+1（n1）2+2（n1）12n3，又a10不满足an2n3，an故答案为：15已知矩形ABCD，AB1，E为AD中点，现分别沿BE、CE将三角形ABE和三角形DCE翻折，使A、D点重合，记为P点，则几何体PBCE外接球的表面积为解：AB1，AD，E为AD中点，可得EPBEPC90，CPB90，PBCE为长方体一角，其外接球直径为长方体的体对角线长，2R，R
17、，外接球表面积为4，故答案为：16函数f（x）是定义域为R的奇函数，满足，且当x0，）时，给出下列四个结论：f（）0；是函数f（x）的周期；函数f（x）在区间（1，1）上单调递增；函数g（x）f（x）sin1（x10，10）所有零点之和为3其中，正确结论的序号是解：对于，因为f（）f（0）0，所以对；对于，假设是函数f（x）的周期，则，又因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以，于是0，与0矛盾，所以错；对于，因为0，当时成立，所以函数f（x）在0，1）上单调递增，又因为f（x）是奇函数，所以f（x）在区间（1，1）上单调递增，所以对；对于，由知f（x）在区间0，）上单调递，又因为满足，所以f（
18、x）关于x对称，f（+x）f（）f（）f（x）f（x），所以f（x）以2为周期，在一个周期内函数g（x）f（x）sin1两个零点之和为，在10，10内有三个周期，所以所有零点之和为3，所以对故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA2ccosA（1）求角A；（2）若向量，求的取值范围解：（1）在ABC中，acosB+bcosA2ccosA，由正弦定理：sinAcosB+sinBcosA2sinCcosA，可得sin（A+B）2sinCcosA，
19、即sinC2sinCcosA，因为C（0，），故sinC0，所以cosA，又A（0，），所以A（2）因为向量，可得（cosB，12cos2）（cosB，cosC）（cosB，cos（B），可得|，所以|cos2B+cos2（B）+1+cos（2B+）由于0B，得cos（2B+）1，），所以1+cos（2B+），），即|，），所以|，）18如图，在四棱锥PABCD中，平面PBC平面ABCD，PBC90，ADBC，ABC90，2AB2ADCDBC2（1）求证：CD平面PBD；（2）若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为，求二面角BPCD的正切值解：（1）证明：在四边形ABCD中，ADBC，AB
20、C90，2AB2AD，ABD，BCD都是等腰直角三角形，即CDDB，平面PBC平面ABCD，PBC90，平面PBC平面ABCDBC，直线PB平面ABCD，即PBCD（2）设BC2，则AB1，CDBD，直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为，在RtPBD中，cosPDB，PD，PB2，设BC的中点为M，连接DM，过点M作PC的垂线交PC于N，连接DN，则DNM就是所求角，由题意知DM平面PBC，DMMN，DMAB1，MNCN，PBC90，BCPB2，CNMN，CMMN1，MN，设二面角BPCD的平面角为，则二面角BPCD的正切值为tan19为落实关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见，完善
21、学校体育“健康知识+基本运动技能+专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛校级联赛选拔性竞赛国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度某校开展“阳光体育节活动，其中传统项目定点踢足球”深受同学们喜爱其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的数学期望；（2）用Pi表示经过第i轮踢球
22、累计得分后甲得分高于乙得分的概率，求P2，P3解：（1）甲命中为事件A，乙命中为事件B，A，B相互独立，P（A），P（B），甲的得分X的可能取值为1，0，1，P（X1），P（X0）P（AB）+，P（X1），故X的分布列为：X10 1 P 故E（X）（2）由（1）知，P2P（X0）P（X1）+P（X1）P（X0）+P（X1），经过三轮踢球，甲的累计得分高于乙有四种情况，三轮甲各得1分，三轮中有两轮甲各得1分，一轮得0分，三轮中有一轮甲得1分，两轮各得0分，两轮各得1分，1轮得1分，P3+20已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为yF为抛物线C的焦点，点P为直线yx+2上任意一点，以P为圆心，P
23、F为半径的圆与抛物线C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于点D，E（1）求抛物线C的方程；（2）证明：直线DE过定点，并求出定点的坐标解：（1）由题意可得，解得p1，则抛物线的方程为x22y；（2）证明：由抛物线的方程为x22y得F（0，），设P（t，s），则st+2，|PF|2t2+（t+）2，于是圆P的方程为（xt）2+（ys）2t2+（s+）2，令y，可得x22tx2s0，设D（x1，），E（x2，），由可得x1+x22t，x1x22st4，注意到kDEt，则直线DE的方程为y+（xx1）x+，即为yx+，代入有ytxs，即y+2t（x+），因为上式对tR恒成立，故
24、，即，即直线DE恒过定点（，2）21已知函数f（x）xlnxax2+x（aR）（1）证明：曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线l恒过定点；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x22x1，证明：x1x2【解答】证明：（1）f（x）xlnxax2+xlnx+12ax+1lnx2ax+2，f（1）22a，又f（1）1a，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y（1a）（22a）（x1），即y2（1a）（x），当x时，y0，故直线l过定点（，0）；（2）x1，x2是f（x）的两个零点，且x22x1，可得，令t（t2），lnx1x2+2，构造函数g（t），g（t），令h（t）t2lnt，
25、则h（t）0，则h（t）在（2，+）上单调递增，而h（2）22ln22ln20，g（t）0，则g（t）在（2，+）上单调递增，g（t）g（2）3ln2，可得ln（x1x2）+23ln2，则ln（x1x2）ln，即x1x2注意：以下请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知与直线l平行的直线l过点M（2，0），且与曲线C交于A，B两点，试求|MA|MB|解：（1）把
26、直线l的参数方程化为普通方程为y（x1）+1由，可得2（1cos2）2cos，曲线C的直角坐标方程为y22x（2）直线l的倾斜角为，直线l的倾斜角也为，又直线l过点M（2，0），直线l的参数方程为（t为参数），将其代入曲线C的直角坐标方程可得3（t）24t160，设点A，B对应的参数分别为，由一元二次方程的根与系数的关系知为，|MA|MB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+a|，g（x）|xb|（1）若a1，b3，解不等式f（x）+g（x）4；（2）当a0，b0时，f（x）2g（x）的最大值是3，证明：a2+4b2【解答】（1）解：当a1，b3时，f（x）+g（x）|2x+1|+|x3|，当x时，由23x4，解得x；当x3时，x+44，解得0x3；当x3时，由3x24，解得x3，所以不等式f（x）+g（x）4的解集为（，0，+）（2）证明：当a0，b0时，由不等式的基本性质，得f（x）2g（x）|2x+a|2x2b|2x+a2x+2b|a+2b，所以a+2b3，因为，即3，所以a2+4b2另解：根据柯西不等式，得（12+12）a2+（2b）2（a+2b）29，即a2+4b2，当且仅当a2b，即a，b时取得等号
