1、 九江市 2022 年第一次高考模拟统一考试 数 学 试 题（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第卷（选择题 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数
2、z 满足(1 i)1 3iz，则 z (C)A.1 2i B.12i C.1 2i D.12i 解:1 3i(1 3i)(1 i)24i=1 2i1 i(1 i)(1 i)2z ，12iz ，故选 C.2.已知集合|ln(1)0Axx，2|320Bx xx，则 AB (D)A.|12xx B.|12xx C.|12xx D.|12xx 解:|12Axx，|12Bxx，|12ABxx，故选 D.3.抛物线22yx的焦点坐标为(C)A.1(,0)2 B.1(,0)2 C.1(0,)8 D.1(0,)8 解:抛物线212xy，焦点坐标为1(0,)8，故选 C.4.函数22()=cos2sin(0)f
3、 xxx的最小正周期为 2，则 的值为（A）A.2 B.4 C.1 D.12 解：1 cos231()=(1 cos2)cos2222xf xxx，最小正周期222T，2,故选 A.5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等与亮度来描述.古希腊天文学家、数学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.两颗星的星等与亮度满足普森公式：12122.5lg EmmE，星等为km 的星，其亮度为kE(1,2)k.已知织女星的星等为0.04，牛郎星的星等为0.77，则织女星与牛郎星的亮度之比约为(D)（参考数据：0.29101.9498，0.3101.9953）A.0.5248 B.0.5105 C.
4、1.9055 D.1.9588 解：织女星的星等为10.04m，亮度为1E，牛郎星的星等为20.77m，亮度为2E，则有 120.770.042.5lg EE，即0.2920.290.31210(10,10)EE，故选 D.6.第 24 届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于 2022 年 2 月 4 日开幕，共设 7 个大项.现将甲、乙、丙 3 名志愿者分配到 7 个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加 1 个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（D）A.42 种 B.63种 C.96 种 D.126 种 解:2237126C A 种，故选 D.7.2021 年全国普通高
5、考共有 1078 万人报名，为“史上人数最多的高考”.下图为 2008 年2021 年江西省普通高考报名人数统计表.则下列结论中一定错误的是（D）A.自 2008 年起，江西省普通高考报名人数连续 4 年下降后连续 9 年上升 B.2008 年至 2021 年，江西省普通高考报名人数的中位数约为 35.8 万人 C.2012 年至 2021 年，江西省普通高考报名人数增长大于 75%D.江西省普通高考报名人数较上一年增长幅度最大的是 2020 年 解：2008 年-2012 年连续 4 年下降，2012 年-2021 年连续 9 年上升，A 正确；2008 年至 2021 年，江西省普通高考报
6、名人数的中位数为 2015 年和 2016 年的平均数，约为 35.8 万人，B 正确；2021 年江西省普通高考报名人数约为 49 万，2012 年约为 27 万，增长大于 80%，C 正确；较上一年增长幅度最大的是 2014 年，D 错误，故选 D.8.已知数列na满足11a ，1nnakak，则“数列na为等差数列”是“1k”的(B)A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解:当1k 时，11nnaa ，则na为等差数列；若na为等差数列，由21231,2,2aak akk，有2214kkk，解得1k 或 12.当12k 时，11122nnaa，此
7、时1na .故选 B.9.已知双曲线222:112xyC a(0a)的左右焦点分别为12,F F，一条渐近线方程为 30 xy，若点 M在双曲线C 上，且1|5MF，则2|MF (A)A.9 B.1 C.1 或 9 D.1 或 7 解：双曲线C 的渐近线方程为2 3yxa，2 33a，2a，2 3b，4c，由双曲线定义20253035404550单位：万人ClClClClC可知12|24MFMFa，则2|1MF 或9，又2|2MFca，2|9MF，故选 A.10.ABC中，三内角,A B C 所对的边分别为,a b c，已知 sin2sinaBA，cos1aBc，则 A (C)A.3 B.51
8、2 C.23 D.34 解法一:由正弦定理及 sin2sinaBA得，2aba，2b.又cos1aBc ，由余弦定理得：22212acbacac，即2222acbc，由余弦定理得22221cos222bcacAbcbc ，又(0,)A，23A.故选 C.解法二:由正弦定理及 sin2sinaBA得，2aba，2b.又cos1aBc ，1cos2aBcb，由正弦定理得1sincossinsin2ABCB，1sincossin()sin2ABABB 1sincoscossinsin2ABABB,1cossinsin02ABB，(0,)B，sin0B，1cos2A,又(0,)A，23A.故选 C.1
9、1.四氯化碳是一种有机化合物，分子式为4CCl，是一种无色透明液体，易挥发，曾作为灭火剂使用.四氯化碳分子的结构为正四面体结构，四个氯原子(Cl)位于正四面体的四个顶点处，碳原子(C)位于正四面体的中心.则四氯化碳分子的碳氯键(CCl)之间的夹角正弦值为（D）A.33 B.13 C.63 D.2 23 解法一：如图所示，正方体的棱长为a，正四面体 ABCD的棱长为2a，32OAOBa，所求夹角为AOB，由余弦定理可知1cos3AOB，2 2sin3AOB，故选 D.解法二：设正四面体 ABCD的棱长为a，中心为点O，取CD 边中点 E，连接 BE，延长 AO 交 BE 于点 F，显然点 F 为
10、BCD的中心，BAODCAFECDBO且 AF 平面 BCD.易知32BEa，2333BFBEa，63AFa，设OAOBx，则63OFax.在Rt OBF中，222OBOFBF，即22261()33xaxa，解得64xa，则2 2sinsin3BFAOBBOFOB，故选 D.12.已知函数()logxaf xax(0a 且1a)有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（A）A.1e(1,e)B.1e(e,e)C.(1,e)D.1e(e,e)解法一：通过选项判断可知1a，令()0f x，得logxaax，由logxayayx，得xyyaax，所以yxayax.令()xg xax，则()()g x
11、g y且()g x 在(0,)上单调递增，所以 xy，即xax，所以 lnlnxax，即lnlnxax，令ln()xg xx，则21 ln()xg xx，()g x 在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，则max1()(e)eg xg，又1x 时，ln()0 xg xx，且(1)0g，画出()g x 大致图像，可知10lnea，则1e1ea.故选 A.解法二：通过选项判断可知1a，令()0f x，得logxaax，由logxayayx，得xyyaax，所以yxayax.令()xg xax，则()()g xg y且()g x 在(0,)上单调递增，所以 xy，即xax，当直线 yx与xy
12、a图像相切时，设切点为00(,)xy，由lnxyaa，则有000ln1.xxaaax，故0 ln1xa，则01log elnaxa.又00 xax，即logelog eaaa，则log e ea，1eea.要使得直线 yx与xya图像有两个交点，则1e1ea，故选 A.(说明:当1eea 时，()f x 没有零点，当1eea 或ee1a 时，()f x 有一个零点，当e0ea时，()f x有三个零点)第卷（非选择题 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题，学生根据要求作答.yxO1二、填空题:本大题共 4 小题，每
13、小题 5 分，共 20 分.13.已知向量(1,2)a ，(,4)bx，且/ab，则|b 2 5.解:依题意得 24x ，2x ，|2 5b.14.若,a b 为正实数，直线2(24)10 xay 与直线 220bxy互相垂直，则ab 的最大值为 12.解:依题意得4240ba，即222 2abab，12ab，当且仅当1a，12b 时，等号成 立，故 ab 的最大值为 12.15.函数()3sincosf xxx的值域为 2,3.解：当2,2 22xkk，Zk 时，()3sincos2sin()6f xxxx，而22 2 363kxk，31sin()62x，此时()2,3f x .当32,2
14、22xkk，Zk 时，()3sincos2sin()6f xxxx,而252 2 363kxk，31sin()62x，此时()2,3f x .()f x的值域为 2,3.16.已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点 E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为 M，下列命题中正确的是.M 在平面 ABCD 上投影的面积取值范围是 1 7,2 8；M 的面积最大值为 3 34；M 的周长为定值.解：1B D 平面11A BC，1B D 平面1ACD，当点 E 与1A 或1D 重合时，M 为正11A BC或正1ACD，周长为3 2，面积为32，
15、在平面 ABCD 上投影面积为 12；当点 E 与1A(1D)不重合时，设1D Et(01t)，则11EAt ，2EJt，2(1)EFt，2(1)22EFEJtt，同理可得：2FGGH，2HIIJ，故 M 的周长为定值D1C1B1A1DBACC1D1B1A1EGHABDCIFJ3 2.M 的面积为11616(22)(1)22(1)2222Stttt23(221)2tt，当12t 时，1S 取得最大值 3 34.M 在平面 ABCD 上投影的面积22221111 31(1)(,2222 4Stttt ，由知 M 在平面 ABCD 上投影的面积取值范围是 1 3,2 4，M 的面积最大值为 3 3
16、4，M 的周长为定值3 2.三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)已知数列 na的前n 项和为nS，且满足221nnaSn，数列nS的前n 项和为nT.（）求证：数列2na 为等比数列；（）试比较nT 与 21nS 的大小.解:（）当1n 时，1121aa，11a 1 分 当2n 时，221nnaSn 11223nnaSn 得122nnaa 3 分 即122(2)nnaa 4 分 又123a ，2na是首项为 3，公比为 2 的等比数列5 分（）由（）知123 2nna ，123 2nna 6 分 221nnaSn，2
17、33 2nnSn 7 分 1257(23)3(222)nnTn 22(1 2)(28)3466 221 2nnnnnn 10 分 22nnTSn11 分 又n,21n，21nnTS12 分 18.(本小题满分 12 分)已知四棱锥 PABCD的底面 ABCD 为矩形，6AB,2 3AD，E 为 BC 中点,AEPB.（）求证：AE 平面 PBD；（）若 BD 平面 PAE,2 3PA，求 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值.解:（）设 AE 与 BD 的交点为 M.E 为 BC 中点,3BE.又6,2 3ABAD,BEABABAD，BAEADBMBE 2 分 在 AEB和 BEM中，又AEB
18、BEM,90BMEABE ,即 AEBD3 分 又 AEPB,BDPBB,BD PB 平面 PBD,AE 平面 PBD 4 分（）连接 PM，BD 平面 PAE，PM 平面 PAE，BDPM，又AE 平面 PBD，PM 平面 PBD，AEPM5 分 又AEBDM，PM 平面 ABCD 6 分 以,MB ME MP 所在直线为,x y z 轴,建立如图空间直角坐标系,易知2AM，1ME ,2BM，222 2PMPAAM，则(0,0,2 2)P，(0,2,0)A，(2,0,0)B，(2,2,0)C，(2 2,0,0)D 7 分 设(,)nx y z为平面 PCD 的法向量，(2 2,0,2 2)P
19、D ，(2,2,0)DC，由0,0.n PDn DC ,得2 22 20,220.xzxy 令1y ，得(2,1,2)n 9 分 又(2,4,0)AC ,|610sin5|5 3 2AC nACn11 分 故 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值为10512 分 19.(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点为(1,0)F,过点 F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，AB 的最小值为2.（）求椭圆C 的标准方程；（）若与,A B 不共线的点 P 满足(2)OPOAOB，求PAB面积的取值范围.PABCDExyOFABzxyPABCDEM
20、解：（）由右焦点(1,0)F知,1c 1 分 当 AB 垂直于 x 轴时,AB 最小,其最小值为222ba 2 分 又222abc,解得2a，1b 3 分 椭圆C 的标准方程为2212xy 4 分（）解法一：取1=(1)222OMOPOAOB，则点 M 在直线 AB 上，且点 M 为线段OP 的中点.PABOABSS5 分 当 AB 垂直于 x 轴时,A B 的坐标分别为2(1,)2,2(1,)2,22OABS6 分 当 AB 不垂直于 x 轴时,设其斜率为 k,则直线 AB 的方程为(1)yk x(0k).则点O 到直线 AB 的距离21kdk7 分 联立方程22(1),1.2yk xxy
21、消去 y 整理得2222(12)4220kxk xk,则2122412kxxk，21222212kx xk，28(1)0k 8 分 222212121222 2(1)11()412kABkxxkxxx xk9 分 22222|112 2(1)21|2212121OABkkkkSAB dkkk10 分 令212tk,则212tk(1t),此时21221(0,)22OABSt11 分 综上可得,PAB面积的取值范围为2(0,212 分 解法二：当 AB 垂直于 x 轴时,A B 的坐标分别为2(1,)2,2(1,)2,由(2)OPOAOB，得点 P 的坐标为(2,22)，xyOFABPM则点 P
22、到直线 AB 的距离为1,又2AB,所以 PAB的面积为 122 122 5 分 当 AB 不垂直于 x 轴时,设其斜率为 k,则直线 AB 的方程为(1)yk x(0k)设,P A B 的坐标分别为001122(,),(,),(,)xyx yxy,则11(1)yk x,22(1)yk x,由(2)OPOAOB，得012(2)xxx,0121212(2)(1)(2)(1)(2)2yyyk xk xkxx，即00(2)yk x6 分 故点 P 在直线(2)yk x上,且此直线平行于直线 AB.则点 P 到直线 AB 的距离21kdk7 分 联立方程22(1),1.2yk xxy消去 y 整理得2
23、222(12)4220kxk xk,则2122412kxxk,21222212kx xk8 分 222212121222 2(1)11()412kABkxxkxxx xk9 分 22222|112 2(1)21|2212121PABkkkkSAB dkkk10 分 令221tk,则212tk(1t ),此时21221(0,)22PABSt11 分 综上可得,PAB面积的取值范围为2(0,212 分 解法三：取1=(1)222OMOPOAOB，则点 M 在直线 AB 上，且点 M 为线段OP 的中点.PABOABSS5 分 设直线 AB 的方程为1xty，则点O 到直线 AB 的距离211dt7
24、 分 xyOFABP联立方程221,1.2xtyxy 消去 x 整理得22(2)210tyty,则12222tyyt，122 12y yt，28(1)0t 8 分 222212121222 2(1)11()42tABtyytyyy yt9 分 222222 2(1)11121|22221OABttSAB dttt10 分 2222(0,1211OABStt11 分 即 PAB面积的取值范围为2(0,212 分 20.(本小题满分 12 分）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分.瑞昌剪纸于 2008 年列入第二批国家级非物质文化遗产名录.由于瑞昌地处
25、南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放.为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行 5 轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在 30 分钟内完成规定作品和创意作品各 2 幅，若有不少于 3 幅作品入选，将获得“巧手奖”.5 轮比赛中，至少获得 4 次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各 5 幅，其中有 4 幅规定作品和 3 幅创意作品符合入选标准.（）从这 10 幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各 2 幅，试
26、预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；（）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率.经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了 110，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？解：（）由题可知，所有可能的情况有：规定作品入选 1 幅，创意作品入选 2 幅的概率124312255325CCPCC1 分 规定作品入选 2 幅，创意作品入选 1 幅的概率21143222255925CCCPCC2 分 规定作品入选 2 幅，创意作品入选 2 幅的概率224332255950CCPCC3 分 故所求的概率399332525505
27、0P 5 分()设强化训练后，规定作品入选的概率为1p，创意作品入选的概率为2p，则12431355102pp6 分 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：1222212222221122212222122121212(1)(1)2()3()PC ppC pC pC ppC pC pp pppp p2121233()p pp p8 分 1232pp，149510p，237510p，212111339()()2416ppppp 9 分 1227 14,50 25pp，令12p pt，则2213()333()24P tttt 在 27 14,50 25上单调递减 10 分 2
28、27233()()3()505044P tP 11 分 该同学在 5 轮比赛中获得“巧手奖”的次数 X(5,)BP，31555444EXP，故该同学没有希望进入决赛12 分 21.(本小题满分 12 分)已知函数()exf xmx(Rm).（）讨论()f x 的单调性;（）若0ba，且()()af bbf a，求证：2ab.解:（）()exfxm1 分 当0m时，()0fx，()f x 在 R 上单调递增2 分 当0m 时，由()0fx，得ln()xm；由()0fx，得ln()xm.()f x在(,ln()m上单调递减，在(ln(),)m 上单调递增3 分 综上所述：当0m时，()f x 在
29、R 上单调递增;当0m 时，()f x 在(,ln()m上单调递减，在(ln(),)m 上单调递增4 分（）证明：由()()af bbf a，有(e)(e)baambbma，即 eebaab，eebaba6 分 令()exxg x，则()()g bg a.1()exxg x，()g x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减;当0 x 时，()0g x，01ab 或1ab7 分 若1ab，显然2ab8 分 若01ab，要证2ab，只需证21ba，即证()(2)g bga，若能证()(2)g aga，则原命题得证9 分 令()()(2),(0,1)G xg xgx x，2211()(1)(e
30、e)eexxxxxxG xx10 分 01x，210,ee0 xxx，()0G x，()G x在(0,1)单调递增，()(1)0G xG11 分()(2)g aga，原命题得证.综上所述：2ab12 分 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的普通方程为22yx，曲线2C 的参数方程为12 cos2212 sin22xy（为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（）求曲线1C，2C 的极坐标方程；（）已知直线l 的极坐标方程为(0)2
31、，直线l 与曲线12,C C 分别交于异于极点的,A B 两点，且|4OAOB，求|AB.解:（）曲线1C 的普通方程为22yx，22sin2 cos，即曲线1C 的极坐标方程为2sin2cos2 分 曲线2C 的参数方程为12 cos2212 sin22xy（为参数）曲线2C 的普通方程为22111()()222xy，即220 xyxy4 分 即2cossin0，即曲线2C 的极坐标方程为cossin5 分（）把(0)2代入1C，2C 的极坐标方程得：122cos|sinOA，2|cossinOB6 分 222cos22tan|(cossin)4sintanOAOB7 分 22tantan1
32、0，解得 tan1 或1tan2 （舍去）8 分 4，1=2 2，22 9 分 12|2AB10 分 23.(本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数()|1|2|f xxxm(0m)，1()|1|2g xx.（）当2m 时，解关于 x 的不等式()0f x；（）若函数()f x 与()g x 的图象可以围成一个四边形，求m 的取值范围.解:（）2m 时，()|1|2|1|f xxx1 分 当1x 时，()(1)2(1)30f xxxx，解得3x，x 2 分 11x 时，()(1)2(1)310f xxxx，解得13x，113x 3 分 当1x 时，()(1)2(1)30f xxxx ，解得3x，13x 4 分 综上所述，当2m 时，()0f x 的解集为1|33xx5 分（）1,1,()|1|2|31,1,21,.2xmxmf xxxmxmxmxmx ()f x在(,)2m上单调递增，(,)2m 上单调递减6 分 又(1)20fm ，1()(1)03mff m，()g x 在(,2)单调递减，(2,)上单调递增，()f x与()g x 图像如图所示7 分 要使得()f x 与()g x 的图像可以围成一个四边形，则1213mm 8 分 即17m9 分 故m 的取值范围为(1,7)10 分 Oxy
