1、 A基础达标1已知平面的一个法向量n(2，2，1)，点A(1，3，0)在内，则P(2，1，4)到的距离为()A10B3C. D.解析：选D.由已知得(1，2，4)，故点P到的距离d.2已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为()A. B.C. D.解析：选A.(2，0，1)，|，点P到直线l的距离为d .3在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离是()A. B4C3 D2解析：选B.如图，取BC中点D，连接AD、PD，则ADBC，由三垂线定理易得线段PD的长即为所求因为PA平面ABC，所以PAAD.在RtA
2、BD中，AD4，在RtPAD中，PD4.4正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为()A. B.C. D.解析：选B.以，为正交基底建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，平面ABC1D1的法向量(1，0，1)，点O到平面ABC1D1的距离d.故选B.5.如图，ABCDEFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为()A. B.C. D.解析：选C.如图，分别以AB、AD、AE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，、可作为x、y、z轴方向上的单位向量，(1，0，0)，所以P点到AB的距离d
3、.6已知向量n(6，3，4)和直线l垂直，点A(2，0，2)在直线l上，则点P(4，0，2)到直线l的距离为_答案：7.在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD，且ABAD1，BB2，M，N分别是AD，DC的中点，则直线AC与直线MN的距离为_解析：依据长方体的性质可知ACMN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离由题意得(1，1，0)，(0，2)所以点M到直线AC的距离d .答案：8已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_解析：如图，以A为原点建立直角坐标系所以A1(0，0，4)，B1(2，0，4)
4、，D1(0，2，4)设平面AB1D1的一个法向量为n(x，y，z)因为(2，0，4)，(0，2，4)，所以令z1，则n(2，2，1)所以d.答案：9如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动(1)证明：D1EA1D；(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AEx，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)(1)证明：因为(1，0，1)(1，x，1)0，所以，即D1EA1D.(2)因为E为AB的中点，则E(1，1
5、，0)，从而(1，1，1)，(1，2，0)，(1，0，1)，设平面ACD1的法向量为n(a，b，c)，则也即得取a2，从而n(2，1，2)，所以点E到平面ACD1的距离为h.10在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，M为BB1的中点，N为BC的中点(1)求点M到直线AC1的距离；(2)求点N到平面MA1C1的距离解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0，(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d.(2)设平面MA1C1的法向量为n(x，y，z)，则n0且n0，
6、即(x，y，z)(0，2，0)0且(x，y，z)(2，0，1)0，即y0且2xz0，取x1，得z2，故n(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0.因为N(1，1，0)，所以(1，1，1)，故点N到平面MA1C1的距离d|n0|. B能力提升11已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB1，AA12，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点，(1)证明：EF为异面直线BD1与CC1的公垂线，并求BD1与CC1的距离；(2)求点D1到平面BDE的距离解：(1)证明：如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则B(1，1，0)，C(0，1
7、，0)，C1(0，1，2)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，F(，1)，所以(，0)，(0，0，2)，(1，1，2)，所以0，0，所以EF为异面直线BD1与CC1的公垂线因为|，所以异面直线BD1与CC1的距离为.(2)设n(1，y，z)是平面BDE的一个法向量，因为(1，1，0)，(0，1，1)，所以n1y0，nyz0，n(1，1，1)，所以点D1到平面BDE的距离d.12.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，CA2，D是CC1的中点，试问在线段A1B上是否存在异于A1，B的一点E使得点A1到平面AED的距离d为？解：以C为原点，以
8、CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，设，(0，1)，则E(2，2(1)，2)又(2，0，1)，2(1)，2(1)，2)，设n(x，y，z)为平面AED的一个法向量，则取x1，则y，z2，即n.由于d，所以.又(0，1)，解得.所以当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为.13(选做题)已知边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA2，且PA平面ABC，设Q是CE的中点(1)求证：AE平面PFQ；(2)求AE与平面PFQ间的距离解：(1)证明：如图，以A
9、为坐标原点，垂直于AC边所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系因为AP2，ABBCAC4，又E，F分别是BC，AC的中点，所以A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2)因为(，0)，(，3，0)，所以2，且AE与FQ无交点，所以，即AEFQ.又FQ平面PFQ，AE平面PFQ.所以AE平面PFQ.(2)因为AE平面PFQ，所以点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离设平面PFQ的法向量为n(x，y，z)，则n平面PFQ.所以n，n，即n0，n0.又(0，2，2)，所以n2y2z0，即yz.又，所以nxy0，即xy.令y1，则x，z1，所以平面PFQ的一个法向量为n(，1，1)又，所以所求距离d.
