1、第一节变化率与导数、导数的计算 考点一导数的计算 例1求下列函数的导数：(1)y(1)；(2)y；(3)ytan x； (4)y3xex2xe；(5)y.自主解答(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y.(3)y.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(5)y.【互动探究】若将本例(3)中“tan x”改为“sin ”，应如何求解？解：ysin sin cos sin x，ycos x 【方法规律】导数的计算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的
2、结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导求下列函数的导数：(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y；(4)y；(5)ye2x.解：(1)yxx3，y(x)(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)y，y.(4)ycos xsin x，ysin xcos x.(5)y(3x)(3x)
3、e2x(2x)(3x)2e2x.例2(1)已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()Ae B1 C1 De(2)等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26 B29 C212 D215(3)(2013江西高考)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.自主解答(1)f(x)2xf(1)ln x，f(x)(ln x)2f(1)，f(1)2f(1)1，即f(1)1.(2)因为f(x)xx(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因
4、为数列an为等比数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.(3)令tex，故xln t，所以f(t)ln tt，即f(x)ln xx，所以f(x)1，所以f(1)2.答案(1)B(2)C(3)2【方法规律】导数运算的两个技巧(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，预防犯运算错误1若函数f(x)cos x2xf，则f与f的大小关系是()Aff BffCff.2(2014台州模拟)已知f1(x)sinxcosx，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2
5、(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 014(x)等于 ()Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x解析：选Cf1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)(sin xcos x)cos xsin x，f3(x)f2(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)f3(x)sin xcos x，f5(x)f4(x)sin xcos x.故fn(x)是以4为周期的周期函数，又2 01450342，f2 014(x)f2(x)sin xcos x.高频考点考点二 导数的几何意义1导数的
6、几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题2高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；(3)已知曲线求切线倾斜角的取值范围例3(1)(2012新课标全国卷)曲线yx(3lnx1)在点(1,1)处的切线方程为_(2)(2013广东高考)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.(3)(2013江西高考)若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.(4)(2014南京模拟)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾
7、斜角，则的取值范围是_自主解答(1)y3ln x1x3ln x4，ky|x14，故切线方程为y14(x1)，即y4x3.(2)f(x)ax2ln x，则f(x)2ax，f(1)2a10，得a.(3)求导得yx1，切线的斜率k，由点斜式得切线方程为y2(x1)切线经过原点(0,0)，2(1)，2.(4)y，y.ex0，ex2，y1,0)，tan 1,0)又0，)，.答案(1)y4x3(2)(3)2(4)与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略(1)已知切点求切线方程解决此类问题的步骤为：求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；由点斜式求得切线
8、方程为yy0f(x0)(xx0)(2)已知斜率求切点已知斜率k，求切点(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求切线倾斜角的取值范围先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决1已知直线ykxb与曲线yx3ax1相切于点(2,3)，则b的值为()A3 B9 C15 D7解析：选C将点(2,3)分别代入曲线yx3ax1和直线ykxb，得a3,2kb3.又ky|x2(3x23)|x29，b32k31815.2已知a为常数，若曲线yax23xln x存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A由题意知曲线上存在某点的导数为
9、1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a0时，需满足0，解得a0.综上，a.3若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_解析：设P(x0，y0)到直线yx2的距离最小，则y|xx02x01，得x01或x0(舍)P点坐标为(1,1)P到直线yx2的距离d.答案：课堂归纳通法领悟1个区别“过某点”与“在某点”的区别曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点4个注意点导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆(2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线yx3在其过(0,0)点的切线y0的两侧.
